“四畫”數學——構建“畫中有話”課堂

安徽馬鞍山市含山縣環峰第二小學（238100） 肖安群

小學生的思維以形象為主，數學的深層認識卻需要抽象思維，兩者之間就存在“層差”，加上基于小學數學多數結論的形成以歸納為主，發展學生的邏輯推理能力是一個大難點。另外，基于數學問題解決及模型運用的需要，學生要用數學信息表達生活內容，但因其綜合度高，小學生難以完成，需要給小學生一個適合的元認知策略，以輔助他們完成。這些問題可以通過畫數學這一手段來解決：把抽象的數學具象化，在畫中厘清結構、洞察關系、感悟本質、提升思維，最終提升學生的數學素養。

一、畫異同——明白內在一致性

（一）畫出整數、小數和分數運算的一致性

整數、小數和分數的計算算理有著內在統一性，這個內在統一性可以通過畫數學的方式統一起來，建立結構化教學方式。

例如，教學42÷2 時，教材是采取“分一分”的方法來呈現思考過程的，即先把4 捆小棒（4 個十）平均分兩份，每份2 捆（2 個十），再把2 根小棒（2 個一）平均分兩份，每份1 根（1 個一），這是按照“十”與“一”兩個計量單位上的量的多少進行平均分。筆者將教材例題改編為32÷2 和35÷2 進行教學：對于32÷2，由于3 個十不能平均分為2 個整十，要“拆整為零”，在對2 個十進行平均分后，把剩下的1 個十拆開，與個位上的2 個一合為12 個一后再平均分，這樣把高級單位降為低級單位，可以創造繼續平均分的條件（如圖1）；對于35÷2，有兩次這樣的降位過程，第一次是十位余下1 個十到個位，第二次是1 個一余到十分位，這兩次降位，可以利用元和角之間的關系，用畫圖策略厘清算理（如圖2）。

圖1

圖2

對比這3 個算式的教學，抓住計數單位這個根本原理，通過畫圖，用降位的方式，按計數單位逐位平均分，算理上便形成了一致性，使平均分的軌跡得以顯現，計算背后的道理也得以形象化。

（二）畫出數與運算的一致性

數與運算是一致的，終極指向都是計數單位上的量的多少。例如，教學9+7 時，可以從兩個角度來理解計算過程。首先，“分”與“合”算理的理解，把7分為1和6，其中的1和9合成1個十，再和剩下的6 個一合成16，可以通過圈小棒圖來理解“滿十進1”的道理。其次，是在計數器上畫一畫，將這一抽象概括的過程清晰地展示出來：滿十進1 后，這個1 在十位，表示1 個十，6 在個位，表示6 個一，合起來是16，這是個兩位數，每個數位上的位值不同，計數單位也就不同。

學生通過畫能夠真正明白：加法計算時要“滿十進1”，這是計算的法則，同樣也是計數和數數的要求，兩者道理是相通的。所以說，數與運算具有一致性。

二、畫思路——悟出本質和道理

解決問題的方法背后，往往有著深奧的道理。通過畫數學，學生能將模糊的思維畫清晰，頓悟相關條件之間的內在聯系，能透過表面洞察知識背后的本質。

（一）畫出數學方法背后的道理

例如，在教學“搭配問題”中，用2 件不同的上衣和3 條不同的褲子搭配，共有6 種不同的搭配方式，算式是2×3=6，那為什么算式恰好是2×3=6？直接理解這個乘法算式的道理對學生來說很難，但通過畫圖和連線，能讓知識變得形象（如圖3）。

（二）畫出數學現象背后的本質

在探究除法豎式的秘密中，俞正強老師問學生：“加、減、乘法都是把需要計算的數寫成上下兩排，再畫一道橫線，最后把結果寫在橫線下面，那為什么除法的結果是放在算式的最上面？”俞正強老師解釋：其中的關鍵是除法的豎式能有效展現平均分的過程。為了說清這個道理，俞正強老師正是用畫數學的方式來解釋。如將6個桃子平均分給3只小猴，每只小猴拿到幾個桃子？畫出的思路如圖4所示：第一行的圖示表示被除數6，即原來有6個桃子；第二行的圖示表示6個桃子被3只小猴拿走了，每只小猴拿到2個桃子，即2×3=6；第三行的圖示表示原有的6 個桃子都被拿走了，剩下0 個桃子，即6-6=0（個）。

圖4

很少有人去質疑除法豎式為什么這樣寫，大都認為這樣的格式是天然生成的，但若細問成因，則難究其根。而用畫圖的策略，則能明白過程、直達本質、答疑解惑。

三、畫過程——豐富模型意識

畫數學的過程往往會運用到思維模型。學生會調用自己的生活經驗和模型策略經驗，不自覺地將問題對象模型化。以乘法分配律教學內容為例。

師：通過計算，我們知道了2×（5+3）和2×5+2×3的結果相等，它們的結果為什么相等呢？有什么辦法來說明呢？

生1：我是畫購買筆和練習本的情況來理解的（如圖5）。

圖5

圖6

圖7

師：你們畫得非常棒！對于算式2×（5+3）=2×5+3，你認為對嗎？又該怎樣說明呢？

生4：這個算式是錯的，可以用錢數來說明（如圖8）。

圖8

數學模型是對生活原型的概括和提煉，它是以合適的數學符號和數學語言，精準表達事物的特征、相互關系和存在的規律。數學學習的基本過程之一就是自主建立數學模型，對小學生來說，依據生活經驗和模型經驗，由具體的情境素材提煉成抽象的數學模型，再經歷畫的過程，可使原先堵塞的環節被打通，學習思路豁然開朗。

四、畫重點——形成高階思維

日本數學家米山國藏認為，學生所學的數學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數學，出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學思想和方法等隨時發揮作用，使他們終身受益。然而在實際教學中，多數教師都有這樣的苦惱：用怎樣的方式才能有效促使學生擁有深刻的數學思維呢？研究表明，后天的經歷和學習對思維的提升有很大的幫助。針對小學生的年齡特征，畫數學可以有效地提升學生的思維層次。

（一）經歷畫的過程，讓探究深一些

教學要求學生畫出圓柱（如圖9-1）的展開圖。

圖9-1

生1：這個圓柱的展開圖是1個正方形和2個圓。

生2：不對，這個圓柱的展開圖是1個長方形和2個圓。

生3：這個圓柱的展開圖是1 個長方形和2 個圓，長方形的長等于圓的周長（πd），長方形的寬等于圓柱的高。由于長方形的長比圓的直徑的3 倍多一些，所以我畫的圖示中長方形的長比圓的3 段直徑的長度長一些（如圖9-2）。

圖9-2

生1 只感受到展開圖的大致形狀，卻把握不住展開圖與立體圖形之間的內在聯系；生2 能夠修正生1的錯誤，知道展開圖的長不是對應著直徑；生3在畫圖中，能將長方形的長準確對應圓的直徑的3倍多一些的關系，思維層級明顯上升。這樣的作圖分析過程，能讓學生把抽象的對應關系在具體的圖示中顯現出來，助力思維的提升。

（二）經歷畫的過程，讓算理淺顯易懂

隔位退位減法是教學的一大難點，學生難以理解借1的必要性和借1的方法。以“201-186”為例，筆者和學生共同畫圖（如圖10-1）。結合圖示，筆者組織學生進一步討論：201-186 的豎式中有兩個退位點，這兩個退位點在圖示中的哪里？基于討論，筆者和學生繼續完善圖示（如圖10-2）。

圖10-1

圖10-2

通過這個完善過程，將抽象的退位對應關系用流程圖表達出來，用形的變化表達數的變化過程，把問題的本質形象地展示出來，使抽象的算理與圖的軌跡一一對應，讓算理變得淺顯易懂。

（三）經歷畫的過程，讓思維轉向

數與形的對應，還可以設計為逆向思考形式。例如，教學折線統計圖后，讓學生將原龜兔賽跑故事以及將故事新編設計成折線圖（實線表示烏龜的運動軌跡，虛線表示兔子的運動軌跡）。

生1：我是按原故事來畫折線圖的，烏龜最終贏得了比賽（如圖11-1）。

圖11-1

生2：我將故事進行新編，兔子雖然偷懶了，但它乘勝追擊，最終兩者同時到達終點（如圖11-2）。

圖11-2

生3：我也將故事進行新編，兔子沒有偷懶，迅速到達了終點。當然，烏龜很有毅力，最終也堅持到達了終點（如圖11-3）。

從讓學生看圖說意到畫圖表意，開放性的教學讓學生的思維更廣闊、創新點更多、思維層級更高。

（四）經歷畫的過程，學會推導結論

部分教師在教學3 的倍數的特征時，讓學生在百數表中通過猜想和歸納得出結論后，就結束探究活動，迅速進入應用練習環節，原因是這部分教師認為這個特征只能用中學代數知識來證明，小學生推導起來難度太大。

筆者在教學這一課時，運用畫圖的策略，將每個數位上的算珠3 個3 個地圈起來后，在余下的算珠中找到了“數字和”，用畫圖支持了“數字和”的判斷結論，打破了小學生不能講清數字和道理的論斷。

經歷畫的過程、看形想數，學生能進一步明確對應關系，找到數量關系的聯結點，讓條件之間的隱形對應關系顯性化，提升思維層級。畫數學，如同一臺“X 光機”，讓看不見的深層理論關系浮出水面，凸顯成像。

孔凡哲認為，數學認知結構是有主觀能動性的組織，人形成一定的數學認知結構后，一旦出現新的數學信息，就會立即用相應的數學認知結構對所面臨的信息進行加工處理，從而表現出數學認知結構的能動性，其中，同化和順應是學生原有數學認知結構和新的學習內容相互作用的兩種基本形式。而畫出思維的過程，特別容易實現這種同化和順應（如圖12）。

圖12

綜上所述，畫出數學學習的過程，打開數學思考的大門，就是為思維搭梯子，為方法找鑰匙，為拓展開窗戶。由圖出發，不止于圖，圖思結合，螺旋上升，走向抽象和邏輯推理，數學學習將會變得無比有趣。