混合多策略改進的樽海鞘群算法及其應用

張家瑋，李 琳+，張奇志

(1.西安石油大學 電子工程學院，陜西 西安 710065；2.西安石油大學 陜西省油氣井重點測控實驗室，陜西 西安 710065)

0 引 言

近年來，源于自然現象的群智能優化算法迅速發展[1]，如海鷗算法(seagull optimization algorithm，SOA)[2]、麻雀搜索算法(sparrow search algorithm，SSA)[3]和黏菌算法(slime mound algorithm，SMA)[4]。這些群智能算法具有靈活性、無梯度機制、簡單性和避免局部最優等優點。樽海鞘群優化算法(salp swarm algorithm，SSA)由Mirjalili等提出[5]，SSA算法模擬了樽海鞘的生活習性和捕食習性，其數學模型可分為兩組：一組為領導者，另一組為跟隨者。領導者是樽海鞘鏈中的第一個樽海鞘，在這條鏈中其余樽海鞘為跟隨者。在算法尋優中，領導者帶領種群尋找最優食物，而跟隨者則跟隨最近的樽海鞘，由于樽海鞘之間的相互作用，樽海鞘不會輕易傾向一個局部可行的解，很大程度地避免局部最優，其尋優精度和收斂性能的效果比傳統遺傳算法、粒子群算法、灰狼算法更好[6]。此外，其結構簡單和控制參數少使得它正在成為算法領域的熱門研究[7]，引來許多學者研究并將其應用于不同領域，如訓練多層感知器[8]、電力系統調度優化[9]和能源管理策略優化[10]等。這些都反映了SSA算法在某些領域的突出性能，驗證該方法的高靈活性和可靠性。

1 相關工作

雖然SSA算法在很多領域都表現出了出色的性能，但它存在收斂速度慢、局部最優停滯等缺點。多年來，研究人員提出了許多改進的SSA算法，以獲取更好的性能。文獻[11]中通過改進混沌Tent映射機制對種群化初始化，同時加入動態學習使算法跳出局部最優，提升其尋優能力。文獻[12]引入衰減因子和動態學習機制分別對領導者和追隨者的位置更新進行優化，有效提升局部開發和全局搜索能力。

這些改進在一定程度上提高了SSA算法尋優能力，但仍存在計算精度低和局部最優停滯等缺陷。本文提出一種混合多策略的改進樽海鞘群算法(improved slap swarm algorithm with hybrid multi-strategy，ISSA)。在前期利用佳點集策略生成初始化種群，增強種群空間分布的均勻性，減少種群隨機性的影響；將反向學習和自適應t分布融入到領導者的位置更新中，使得領導者擺脫以往的限制，不僅在迭代前期具有更大的全局搜索空間，而且在后期具有更好的局部開發能力；在種群位置更新的最后階段引入精英反向學習策略，選取適應度較優的個體來參與算法的下一次迭代，種群由精英個體引導，更有可能地找到全局最優解。將ISSA算法與其它算法在測試函數上對比性能以驗證ISSA算法的優勢，并采用Wilcoxon秩和檢驗評價算法之間的差異性。

2 樽海鞘群算法

樽海鞘群優化算法與其它基于群體的智能優化算法相似。首先，隨機初始化種群，樽海鞘的位置被定義在N維搜索空間中，樽海鞘群X可以表述一個N×D維矩陣，如式(1)所示。F在搜索空間中被設定為目標向量或者食物源，領導者位置的每次更新都是朝著食物源，更新公式如式(2)所示

(1)

(2)

(3)

式中：l是當前迭代次數，Lmax是定義的最大迭代次數，追隨者的運動是由領導者引導，追隨者位置更新公式如下所示

(4)

3 改進樽海鞘群算法

3.1 基于佳點集的種群初始化

任何一種元啟發式算法都是為了在全局優化過程中找到收斂性和多樣性之間的平衡而設計，這種權衡對于成功執行優化算法至關重要[13]。一般來說，良好的多樣性表示種群對探索整個搜索空間具有很強的優勢。標準SSA算法的種群初始化主要依靠隨機方式生成，而隨機初始化會造成種群在搜索空間的非均勻分布。因此，本文結合均勻設計思想，引入佳點集策略來改進SSA算法。佳點集理論由華羅庚先生提出[14]，利用佳點集策略生成初始化群體，可得到以下公式

(5)

式中：d表示變量的維數，p是滿足p≥2d+3的最小素數。假設N為群體規模，第i個樽海鞘可由下式產生

(6)

式中：{γji} 表示γji的小數部分。ubj，lbj分別是搜索范圍的上下限。

3.2 領導者更新機制變化

SSA算法中，所有領導者向食物源靠近，受食物源牽引的領導者可以加快算法的收斂速度。但由式(2)可知，其搜索范圍太窄，導致領導者對搜索空間的勘探不充分，造成搜索精度不足。

反向學習(opposition-based learning，OBL)是由Tizhoo提出[15]，反向學習是一種旨在提高元啟發式算法性能的機器智能策略，它是在當前個體中間找到一個更有效的解，求得反向解，計算它們的適應度值，選擇最優解進行下一次迭代。本文受反向學習的啟發，將反向學習的思想融入到領導者的更新機制，在搜索最優值的過程中，使得算法擁有更好的全局開發能力和局部開發能力。融入反向學習的領導者位置更新公式如下所示

(7)

3.3 自適應t分布權重

SSA算法主要依靠領導者進行覓食尋優，領導者的移動主要受參數c1控制，因此，c1是影響整個算法尋優能力的重要指標。隨迭代次數的增加，c1是[0，2]之間遞減的非線性函數，在迭代前期，算法具有較大的全局搜索空間；但在迭代后期，算法的局部開發能力減弱，導致算法的精度不高。受文獻[16]啟發，本文引入t分布用來替換c1參數，在概率學中，t分布又稱學生分布。t分布曲線的形狀與自由度n有關，與標準正態分布相比，自由度越小，曲線越平坦。如果曲線中間較低，那么曲線兩邊的尾部較高。自由度n越大，t分布越接近正態分布。柯西分布和高斯分布是t分布邊界處的兩個特殊情況分布，3個函數分布如圖1所示。

圖1 高斯分布、柯西分布和t分布的概率密度曲線

從圖1中可以看出，t分布的兩端形狀長而平坦，接近0的過程相對平緩。速度和峰值均介于柯西分布和高斯分布之間，使得t分布吸取了柯西分布和高斯分布的優點。因此，在領導者位置更新公式中引入t分布突變，利用t分布突變的擾動能力提高全局優化的能力。具體公式如下所示

(8)

式中：t(iter) 表示具有迭代次數itert的t分布，將迭代次數iter視為參數自由度。

3.4 精英反向學習機制

精英反向學習(elite opposition-based learning，EOBL)是OBL的改進版本，EBOL定義請見文獻[17]。利用EBOL策略可以擴大算法的搜索范圍，提升算法的尋優性能，并且EBOL已經成功應于改進其它群體智能算法[18]。

本文利用EOBL策略來提高SSA算法的全局搜索能力。設每輪迭代更新后的樽海鞘都是精英個體，精英個體公式如下所示

(9)

其反向解公式如下所示

(10)

如果反向解超越邊界，則利用隨機生成將其重置，重置公式如下所示

(11)

計算精英樽海鞘和反向精英樽海鞘的適應度，保留適應度更優的前N個樽海鞘，將其作為新的樽海鞘種群參與下一次更新迭代。

3.5 算法步驟

ISSA算法的具體執行步驟如下：

步驟1 設置種群規模N和迭代次數Lmax等初始變量。

步驟2 利用3.1節的佳點集策略生成初始種群。

步驟3 計算每個個體的適應度值，選擇最優的個體作為食物源位置。

步驟4 根據式(8)更新領導者的位置，式(4)更新跟隨者的位置。

步驟5 計算個體的動態邊界，根據式(10)生成反向解并添加到種群中。

步驟6 從融合的種群中保留適應度更優的前N個樽海鞘，將其作為新的樽海鞘種群參與下一次迭代，并將最佳位置設為食物源。

步驟7 判斷條件，若符合，則得到結果；否則，跳到步驟4。

ISSA算法的流程如圖2所示。

圖2 ISSA算法的流程

4 實 驗

4.1 實驗參數設置

為驗證ISSA算法的有效性，將ISSA算法與標準樽海鞘群算法(SSA)和標準海鷗算法(SOA)對比性能；同時為了突出ISSA算法的競爭優勢，選取3種改進SSA算法，即基于衰減因子和動態學習的改進樽海鞘群算法(SSA based on reduction factor and dynamic learning，RDSSA[12])、基于混沌映射動態慣性權重的改進樽海鞘群算法(SSA based on chaotic map and dynamic inertia weight，I-SSA[19])和基于高斯分布估計策略的改進樽海鞘群算法(SSA based on Gaussian distribution estimation strategy，CDESSA[20])，進行對比研究。它們的具體參數設置見表1。

表1 算法實驗參數設置

4.2 測試函數及測試環境

基準函數測試是衡量智能算法性能的常用方法，本文選取的8個基準測試函數來展示所改進算法的優越性能，F1～F4是單峰函數，這類測試函數只存在一個最優解。這類型的搜索空間適用于測試收斂速度和搜索的能力。F5～F8是多峰值的基準函數，多峰值的基準函數存在局部最優值，這使得它們適合于對比算法的局部最優回避和全局探索行為。它們的具體信息分別見表2和表3。

表2 單峰基準測試函數

表3 多峰基準測試函數

本文的實驗環境是基于Intel(R)Core i5處理器以及4 G內存的計算機，仿真軟件是MatlabR2016b。所有測試的初始條件均相同：種群規模N=60，迭代次數Lmax=1000。每種算法在函數中獨立運行30次，其結果取最優值、平均值和標準差，如表4所示。

表4 測試函數結果

4.3 實驗結果及分析

由表4可以看出，在單峰基準函數F1～F4的測試結果中，ISSA算法都取得了較好的效果，ISSA算法的3個指標相比其它算法都具有顯著的優勢。如在函數F1的測試結果中，標準SSA算法和改進算法中結果較好的I_SSA算法的平均值分別為8.97E-09和3.02E-74，而ISSA算法的平均值達到了9.7695E-244，相較I-SSA算法提高近150個數量級，較SSA算法更是提高近230個數量級，其結果表明本文提出的改進策略能有效提高SSA算法的收斂精度。

由表4可知，在多峰基準函數的測試結果中，ISSA算法在函數F5和F7上都達到理論最優值，均值和標準差的值都是0，ISSA算法在函數F6的結果比RDSSA算法和I_SSA算法的效果略差，但在函數F8的結果上強于其它改進算法。總的來說ISSA算法在多峰基準函數上表現出較好的結果，驗證其具有良好的避免局部最優的能力。

綜上所述，在求解單峰和多峰基準函數過程中，ISSA算法相對其它5種算法具有更好的尋優效果。為了更好地體現算法的尋優性能，本文給出6種算法在8個基準函數的收斂曲線圖，分別如圖3和圖4所示。

圖3 單峰函數上的收斂曲線

圖4 多峰函數上的收斂曲線

由圖3和圖4的收斂曲線可以直觀地看出，SSA算法在尋優迭代過程中，收斂曲線很難向下探索并且探索的速度較為緩慢，并且在求解每個函數的過程中都出現停滯，只是它們的程度不同，表明SSA算法容易陷入了局部最優。由圖3(a)～圖3(d)所示單峰函數的收斂曲線看出，ISSA算法的收斂曲線呈直線型快速向下探索，由此可以驗證本文改進SSA算法在收斂速度上有較為明顯的改善；由圖4(a)～圖4(d)所示多峰函數的收斂曲線可知，ISSA算法的收斂曲線下降速度較快且曲線存在拐點，驗證提出的改進方法能明顯提高其全局搜索能力和局部勘探能力，有效地避免陷入局部最優的情況。由于I-SSA算法在函數F5和F7上迅速收斂到最優值，因此圖中沒有I-SSA算法的收斂曲線。

4.4 Wilcoxon秩和檢驗

僅僅是平均值和標準差不足以體現算法之間的差異，為了驗證ISSA算法與其它5種算法在求解復雜優化問題時是否存在顯著差異，采用Wilcoxon秩和檢驗比較兩種算法的性能測試特征。Wilcoxon秩和檢驗是一種非參數零假設檢驗統計方法，用于評價算法的公平性和魯棒性[21]。表5列出獨立運行30次后的Wilcoxon秩和檢驗結果的p值，其中N/A表示不適用。

表5 Wilcoxon秩和檢驗p值

由表5可以看出，ISSA算法的p值大部分小于0.05，說明ISSA算法的性能與其它算法相比具有較強的競爭能力，驗證該算法在不同函數優化問題上的優勢。綜上所述，ISSA算法與其它5種算法有顯著不同，其結果具有統計學意義，表明ISSA算法的性能不是偶然的。

4.5 ISSA算法在拉伸/壓縮彈簧設計問題中的應用

為了進一步驗證ISSA算法的性能，將ISSA算法應用到拉伸/壓縮彈簧設計的工程優化問題，該問題的設計模型如圖5所示。該問題通過考慮最小擾度、剪切應力和喘振頻率等約束來最小化彈簧的質量。這個模型有3個連續優化變量，分別是導線直徑d、線圈直徑D和有源線圈個數N，其數學模型如下所示。

圖5 拉伸/壓縮彈簧問題的設計

假設

(12)

(13)

0.05≤x1≤2，0.25≤x2≤1.3，2≤x3≤15

(14)

6種算法對拉伸/壓縮彈簧設計問題的優化結果見表6。

表6 彈簧設計問題的優化結果

從表6可以看出，在彈簧設計的問題上，ISSA算法的優化結果要優于其它算法。

5 結束語

為提高標準SSA算法的搜索效率、收斂精度和穩定性。本文在標準SSA算法的基礎上，提出一種融合佳點集策略、反向學習、自適應t分布和精英反向學習的改進樽海鞘群算法(ISSA)。ISSA算法采用佳點集策略生成初始化種群，具有更強大的搜索能力；通過將反向學習和自適應t分布融入領導者位置更新中，既利用領導者和跟隨者的位置優勢，又利用t分布的優勢，使得種群盡可能地尋找最優解；加入精英反向學習，篩選出更好的種群參與下一次迭代。在8個基準函數上測試了ISSA算法的有效性，其仿真結果說明該算法在求解尋優的能力優于其它算法，同時Wilcoxon秩和檢驗的結果表明ISSA算法相比SSA算法及其它算法存在顯著差異。在一些實際的工程優化問題中，ISSA算法也表現出較好的效果。下一步會將ISSA算法應用到更多的工程優化問題中，并且嘗試不同的改進策略，獲得更優的結果。