凸多面體的空間分割定理*
——從新教材一道課后習題引發的探究

北京師范大學貴陽附屬中學(550081) 李鴻昌

貴陽市烏當中學(550018) 陳啟健

我們知道,一個平面將空間分成2 個部分,兩個平行平面將空間分成3 個部分,兩個相交平面將空間分成4 個部分.那么,一個凸多面體能將空間分割成幾個部分呢? 是否具有一般的公式可以直接求解呢? 本文從新教材一道課后習題出發,來探究這個問題.

1 課后習題與正方體分割空間問題

2019 年人教A 版《數學必修第二冊》132 頁習題5:

正方體各面所在平面將空間分成幾部分?

解析如圖1 所示,將正方體各面所在的平面進行延展,按規律可數得,正方體各面所在的平面將空間分成27個部分.

圖1

圖2

評析反過來,正方體的頂點數V=8,面數F=6,棱數E=12,正方體本身T=1,分成的27 個部分可表示為P=V+F+E+T.那么,這個公式對其他的凸多面體是否也成立呢? 是否具有一般性呢?

2 凸多面體的空間分割定理

定理如果一個凸多面體(最簡單的為四面體)的棱數為E,那么它將空間分成的部分數為P=2E+3.

證明設凸多面體T的頂點數為V,面數為F,棱數為E,將T的各面延展得到一個空間分圖.經過研判,多面體T的每一個面,每一條棱,每一個頂點“向外”都對應著空間的一個部分,加上多面體T本身,則T將空間分成的部分是P=V+F+E+1.由歐拉定理(其證明見文[1])知V+F-E=2,∴P=V+F+E+1=2E+3.

評析定理的結論只與凸多面體的棱數有關,且簡潔、漂亮,給解決問題帶來了很大的便利.

3 定理的特例

案例1 四面體棱數E=6,則它將空間分成P=2×6+3=15 個部分.

案例2 正方體的棱數E=12,則它將空間分成P=2×12+3=27 個部分.

案例3 五棱錐的棱數E=10,則它將空間分成P=2×10+3=33 個部分.

4 定理的應用

應用1 一個凸多面體的頂點數為10,面數為7,則它將空間分成( )個部分.

A.30 B.31 C.32 D.33

解析∵V=10,F=7,V+F-E=2,∴E=10+7-2=15,故它將空間分成了P=2×15+3=33 個部分,選D.

應用2 一個凸多面體不可能將空間分成的部分數是( ).

A.35 B.39 C.43 D.46

解析由P=2E+3知S是奇數,故選D.

應用3 一個凸多面體將空間分成35 個部分,設它的頂點數為V,面數為F,則的最小值為____,此時,該凸多面體的頂點數V=____,面數F=____.試畫出滿足這個條件的多面體(答案不唯一).