人體手臂靜止性震顫的負剛度吸振效果研究

劉海平 ，劉慶生 ，韓東航 ，姜宇 ，吳鶴鳴

［1.北京科技大學 機械工程學院，北京 100083；2.北京科技大學 順德創新學院，廣東 佛山 528300；3.北京大學 第三醫院骨科，北京 100191；4.骨與關節精準醫學工程研究中心，北京 100191；5.脊柱疾病研究北京市重點實驗室，北京 100191；6.南京醫科大學 附屬南京醫院（南京市第一醫院），江蘇 南京 210002］

人體手臂靜止性震顫在臨床上表現為一種非自愿型，按一定節奏做近似正弦式的往復擺動運動［1］.其中，帕金森病是最典型的靜止性震顫之一.據不完全統計［2］，75%的患者在3～7 Hz 頻率范圍內發生靜止性震顫，60%的患者在5～12 Hz頻率范圍內發生姿勢震顫，雖然該癥狀本身不致命，但會導致患者出現肢體活動障礙，甚至嚴重影響其生活質量.目前，最有效的治療方法主要是腦深部電刺激術［3］或神經外科手術，但是，高昂的手術費用給患者及其家庭帶來沉重的經濟負擔.另外，隨著可穿戴技術發展，科研人員開發出多種可穿戴式靜止性震顫抑制裝置［4-7］.從振動控制角度，多數可穿戴設備屬于主動抑振技術范疇，需要輸入能量，成本較高且系統復雜，傳感器靈敏度和精確度不夠，極大限制了該類設備的推廣應用.

綜合經濟性和震顫抑制效果，被動抑振裝置已成為熱點研究領域之一，已有方案包括線性吸振器［8-10］（Linear Dynamic Vibration Absorber，LDVA）、非線性能量阱［11］、顆粒阻尼器［12］、空氣彈簧［13］等.對比發現，被動線性抑振裝置有效工作頻帶寬度有限，而非線性抑振裝置則存在穩定性不足的問題.

針對前述缺陷，科研人員提出負剛度吸振器（Dynamic Vibration Absorber with Negative Stiffness，DVA-NS）的概念.在基礎理論方面，主要集中于參數優化［14-16］和組合多種力學元件［17-18］探索改善其減振性能的研究；在工程應用方面，已在海洋船舶［19］、軌道交通［20-21］和風力發電［22］等工程領域開展研究.但是，現有研究均將負剛度吸振器與“大地”連接；顯然，從實際出發很難實現負剛度“接地”.因此，考慮負剛度吸振器的非接地特征［23］，通過優化設計和不同類型吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）對比研究，發現非接地負剛度吸振器的減振效果顯著優于傳統線性吸振器.

綜上，本文首次提出采用非接地負剛度吸振器抑制人體手臂靜止性震顫.首先，建立含負剛度吸振器的人體手臂耦合動力學模型；然后，推導給出各關節位置的動態響應；進一步利用序列二次規劃算法獲得負剛度吸振器的最優設計參數，并與傳統線性吸振器進行對比，對其振動控制效果展開討論.本文相關研究成果可為開發面向人體手臂靜止性震顫的可穿戴治療裝備奠定理論基礎.

1 負剛度吸振器介紹

本文提出的負剛度吸振器結構方案，如圖1 所示.由圖1 可見，負剛度吸振器主要由裝置外殼、慣性質量、滾球、鋼絲繩、壓蓋接頭、橡膠、支承質量、豎直導軌等組成.慣性質量通過兩個支承彈簧與裝置外殼相連；同時，為防止結構運動偏移及不利影響，兩側通過滾球導向并減小接觸摩擦.其中，負剛度由預緊后的鋼絲繩提供；鋼絲繩穿過支承質量，兩端與慣性質量連接.支承質量通過壓蓋接頭與底部橡膠相連，并提供正剛度和阻尼.另外，在裝置外殼底部安裝豎直導軌，實現支承質量在固定平面內滑動，保證支承質量在運動過程中始終垂直于前臂.

圖1 負剛度吸振器結構示意圖Fig.1 Structural diagram of the DVA-NS

2 理論建模

為了方便研究，本文所建人體手臂理論模型滿足如下假設［11，24］：

1）肘部鎖定，限制胳膊與前臂之間繞著肘關節的相對運動，即：當前臂與上臂處于一條直線時，限制肘關節發生超伸現象；

2）不考慮肌肉的彈性特征；

3）不考慮胳膊的空間三維運動；

4）手部與前臂等效為一體，不考慮手部與前臂的相對運動.針對人體手臂空間多自由度震顫研究不屬于本論文的討論范圍.

基于所建人體手臂模型，本文主要針對負剛度減振方案進行研究，建立“含負剛度吸振器—兩自由度人體手臂”耦合動力學模型，如圖2 所示.其中，負剛度吸振器對應的理論模型中m3、m4、c3、k3、k4、ka分別對應圖1 中的支承質量、慣性質量、豎直橡膠塊提供的阻尼、豎直橡膠塊提供的剛度、支承彈簧的剛度、鋼絲繩提供的負剛度.而且，H、J 分別代表肩關節和肘關節；m1、m2分別為上臂質量、前臂質量；l1、l2、a1、a2、la分別為上臂段和前臂段的長度以及肩關節到上臂質心、肘關節到前臂質心和吸振器安裝點到肘關節的距離；k1、k2、ks、c1、c2和cs分別為各部分肌肉剛度和阻尼系數；θ1、θ2、x2和x3分別為上臂關于肩關節和前臂關于肘關節的角位移，以及m3和m4相對于前臂的位移.

圖2 含負剛度吸振器的人體手臂模型Fig.2 Model of human arm with DVA-NS

結合所建坐標系，可得負剛度吸振器安裝點坐標為：

將安裝點處的速度沿垂直于前臂方向（x2方向）分解，最終可得到安裝點沿x2方向上的速度表達式：

綜上，可以得到安裝負剛度動力吸振器的人體手臂耦合動力學模型的動能Ek、勢能Ep以及耗散函數D分別為：

式中：第四項、第五項分別是質量塊m3和m4的動能.

式中：第四項、第五項和第六項是吸振器上彈簧對應的彈性勢能；第七項及之后各項是相應的重力勢能.式中：第一項為肩關節處的阻尼做功；第二項為肘關節處的阻尼做功；第三項為雙關節處的阻尼做功；第四項為吸振器上阻尼做功.

對于手臂不同關節，其任意位置可以表示為θi=θ0i+θsi（其中，θ表示手臂不同關節位置的角位移，i=1和2 分別表示肩關節和肘關節，θ0i表示初始角位移，代表人體手臂的初始姿態，θsi表示角位移變化量，代表上臂和前臂的旋轉角度）.假設，人體手臂以小幅角位移運動，故sinθi≈θi、cosθi≈1.因此，為了便于研究，忽略高階項，將非線性運動方程進行線性化處理.

利用拉格朗日方程，得到人體手臂運動微分方程.

而且，I1和I2分別為上臂和前臂質心的轉動慣量；F1和F2分別為作用于肩關節和肘關節的外部激勵力矩的幅值，ω表示激勵力矩頻率，外部激勵力矩由手臂震顫時肌肉伸縮產生的力矩與關節處的阻力矩共同構成.

引入參數：λ1=ω/ω1，ν1=p2/p1，ν2=ω3/p1，ν3=ω4/p1.求解式（8），可得肩關節和肘關節振幅X1和X2：

對式（9）進行無量綱化處理，引入靜態位移δ1，肩關節振幅放大系數A1和肘關節振幅放大系數A2，可得：

根據文獻［10］，人體手臂設計參數如表1所示.

表1 設計參數［10］Tab.1 Designing parameters［10］

3 優化設計

由于傳統固定點理論過程復雜，且較難獲得解析解，本文選擇采用序列二次規劃算法，通過求解最大值最小化問題獲得最優設計參數，該算法的有效性已經在文獻［15］、文獻［25］中得到驗證.

由于人體手臂兩自由度模型中，肩關節和肘關節的幅頻曲線存在兩個諧振峰，H∞優化的最終目標是等峰降幅，本質上是最大值最小化問題，利用 fminimax 函數編寫優化程序.具體優化設計思路：為使肩關節和肘關節振幅放大系數A1和A2的峰值達到最??；選取質量比μ2為0.028，設計變量為負剛度吸振器的剛度比α3和α4取值范圍為（-1，0），阻尼比ξ3為（0，1），頻率比v2為（0，10）.對應負剛度吸振器的優化數學模型定義為：

式中：肩關節和肘關節振幅放大系數A1和A2為由負剛度吸振器剛度比α3、α4，阻尼比ξ3和頻率比v2作為變量的目標函數.

利用上述優化方法計算得到負剛度吸振器的最優設計參數如表2 所示.同時，為方便后續與傳統線性吸振器進行對比，選取質量比μ2為0.028，線性吸振器設計變量頻率比v2的取值為（0，5），阻尼比ξ3為（0，1），利用上述優化算法得到線性吸振器的最優設計參數如表2所示.

表2 吸振器最優設計參數Tab.2 Optimal designing parameters of dynamic vibration absorber

4 計算結果分析

4.1 頻響曲線

為了研究負剛度吸振器對人體手臂肩關節和肘關節動態響應的控制效果，與傳統線性吸振器最優結果進行對比，計算得到幅頻響應曲線，分別如圖3和圖4 所示.可以看出，人體手臂未安裝吸振器時，肩關節和肘關節的頻響曲線均呈現兩個諧振峰.其中，頻率比為0.6附近的諧振峰對應人體靜止性震顫的特征頻率約為5 Hz，頻率比為1.3附近諧振峰對應人體姿勢震顫的特征頻率約為11 Hz.人體手臂安裝負剛度吸振器比傳統線性吸振器對應肩關節和肘關節的共振峰顯著降低，且有效抑振頻帶更寬.

圖3 幅頻響應曲線（肩關節）Fig.3 Amplitude-frequency response curves（shoulder joint）

圖4 幅頻響應曲線（肘關節）Fig.4 Amplitude-frequency response curves（elbow joint）

此外，對于肩關節而言，安裝負剛度吸振器和線性吸振器在全頻段內均未放大系統響應.對于肘關節而言，在頻率比為0.65～0.85 時，安裝負剛度吸振器和線性吸振器均會放大系統響應；在頻率比為0.5～0.65 和頻率比為1.1～1.6 的范圍附近，相比線性吸振器，安裝負剛度吸振器抑振效果更好，且有效抑振頻帶更寬.

4.2 數值驗證

為保證上述優化結果的正確性，采用龍格庫塔方法求解系統響應的數值解.代入表2 的最優設計參數，分別得到安裝不同類型吸振器時肩關節和肘關節的幅頻響應曲線，并與解析解曲線進行對比，如圖5 和圖6 所示.從圖中可以看出，安裝不同類型吸振器時人體手臂耦合動力學模型的幅頻響應曲線解析解和數值解完全吻合，解析解計算結果正確.

圖5 幅頻響應曲線解析解與數值解對比（肩關節）Fig.5 Comparison of analytical solution and numerical solution of amplitude-frequency response curves（shoulder joint）

4.3 時域響應

現實中，環境激勵多為隨機激勵，從實際工況考慮，本部分重點研究隨機激勵條件下安裝不同類型吸振器對人體手臂震顫的控制效果.

首先，構建50 s 服從正態分布的隨機力矩激勵，作用于肩關節處，均值為0，方差為1，力矩幅值為0.5 N·m，如圖7所示.

圖7 隨機力矩激勵信號Fig.7 Random torque excitation signal

利用所建理論模型分別計算得到安裝吸振器前、后人體手臂的時域動態響應結果，如圖8 和圖9所示.從圖中可以看出，不同類型吸振器均可有效控制人體手臂的動態響應；其中，負剛度吸振器的控制效果優于傳統線性吸振器.

圖8 安裝吸振器前、后肩關節時程角位移曲線Fig.8 Angular displacement curves of shoulder joint with/without absorbers in time domain

圖9 安裝吸振器前、后肘關節時程角位移曲線Fig.9 Angular displacement curves of elbow joint with/without absorbers in time domain

為了直觀對比不同類型吸振器對人體手臂靜止性震顫的控制效果，將人體手臂各關節部位在時間域動態響應的均方根作為評價指標，計算結果如圖10 和圖11 所示.可見，傳統線性吸振器和負剛度吸振器可以分別使肩關節角位移均方根衰減約為36.5%和44.1%；使肘關節角位移均方根衰減約為34.8%和46.5%.顯然，負剛度吸振器的振動抑制效果優于傳統線性吸振器.

圖10 安裝吸振器前、后肩關節角位移均方根Fig.10 The mean square root values of angular displacement of shoulder joint with/without absorbers

圖11 安裝吸振器前、后肘關節角位移均方根Fig.11 The mean square root values of angular displacement of elbow joint with/without absorbers

5 結論

針對人體手臂震顫的響應特征，本文提出一種負剛度吸振器并建立耦合動力學模型，分析研究該方案用于抑制人體手臂震顫的可行性.利用所建理論模型，采用序列二次規劃算法求得負剛度吸振器的最優設計參數.在此基礎上，分別得到正弦激勵和隨機激勵條件下，人體手臂各關節位置的動態響應.根據計算結果可以得到如下結論：

1）受正弦激勵，負剛度吸振器對人體手臂不同關節部位的動態響應控制效果顯著優于傳統線性吸振器.

2）受隨機激勵，負剛度吸振器對窄帶隨機激勵的控制效果優于傳統線性吸振器.

3）以時間域隨機振動響應的均方根作為評價指標，負剛度吸振器對人體手臂各關節位置動態響應的衰減率分別為44.1%和46.5%，優于傳統線性吸振器的控制效果.

上述研究工作可為后續研制基于負剛度吸振原理的人體手臂靜止性震顫可穿戴治療裝備提供參考和理論基礎.另外，下一階段將利用已有人體手臂震顫模擬系統開展負剛度吸振器抑振效果測試及評估.