基于最小二乘法的平面度測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)

彭 壯，顏 強(qiáng)，朱 巖，羅 漢，解 鏊

（湖南云箭集團(tuán)有限公司 湖南 長(zhǎng)沙 410100）

0 引言

在現(xiàn)代制造業(yè)中，平面度是一個(gè)重要的表面質(zhì)量指標(biāo)，是指被測(cè)實(shí)際表面所有測(cè)量點(diǎn)相對(duì)其最小二乘平面的變動(dòng)量［1］，用于評(píng)估零件表面的平整程度。 平面度誤差的評(píng)定方法主要有三點(diǎn)法、對(duì)角線法、最小區(qū)域法和最小二乘法等。 最小二乘法是一種基于數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化方法，通過(guò)最小化測(cè)量殘差的平方和來(lái)擬合實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)與理想模型之間的關(guān)系，來(lái)評(píng)估零件表面的平整度［2］。 由于最小二乘法具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)和可靠的測(cè)量結(jié)果，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的測(cè)量任務(wù)。 倍福可編程邏輯控制器（programmable logic controller，PLC）是一種先進(jìn)的自動(dòng)化控制設(shè)備，具有高精度和高可靠性的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)制造領(lǐng)域［3］。 本文設(shè)計(jì)一種基于最小二乘法的平面度測(cè)量系統(tǒng)，用于實(shí)現(xiàn)高效而準(zhǔn)確的平面度測(cè)量，取代人工測(cè)量，大大提高了平面度測(cè)量的精度和穩(wěn)定性。

1 算法原理

最小二乘法又稱(chēng)為最小平方法。 它是一種尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)的匹配方法［4］。 它常用于數(shù)據(jù)分析和回歸分析，可以幫助確定未知數(shù)據(jù)，并使得這些數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差的平方和最小化。 它能在確定的數(shù)據(jù)點(diǎn)集合中，通過(guò)擬合一個(gè)函數(shù)模型，使得該函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的誤差最小化。 首先，可以假設(shè)一個(gè)函數(shù)模型，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算該函數(shù)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差，然后，通過(guò)最小化這些誤差的平方和來(lái)確定函數(shù)模型中的參數(shù)。最后，最小二乘法的應(yīng)用可以擴(kuò)展到評(píng)估平面度誤差。 平面度誤差是指在表面測(cè)量中，評(píng)估表面平整度的一種方法。 最小二乘法可以用來(lái)擬合一個(gè)平面，作為評(píng)估基準(zhǔn)平面，并計(jì)算實(shí)際表面與該基準(zhǔn)平面之間的平面度誤差［5］。最小二乘平面的建立方法為：

設(shè)最小二乘平面方程為式（1）所示：

式（1）中，A、B、C為方程系數(shù)。 只要確定了A、B、C的值，就確定了平面方程。

設(shè)實(shí)測(cè)工件平面上各點(diǎn)的坐標(biāo)為Pi（xi，yi，zi）（i ＝1，2，…，k）。 根據(jù)最小二乘法原理可知，實(shí)測(cè)平面上各點(diǎn)的值Pi（xi，yi，zi） 與最小二乘平面上各點(diǎn)的Z向距離平方和為最小。Z向距離平方和方程為式（2）所示：

根據(jù)極值原理，要使F的值為最小，則要使F對(duì)A、B、C的偏導(dǎo)值為零。 即式（3）所示：

整理矩陣化可得式（4）：

則可解得最小二乘平面方程系數(shù)A、B、C為式（5）所示：

進(jìn)一步整理可得式（6）：

其中，

根據(jù)以上求解得到A、B、C的值就建立了最小二乘平面方程，分別求出平面上各測(cè)點(diǎn)對(duì)最小二乘平面的偏移量ZDi＝Axi＋Byi＋C－zi，判斷找出Di的最大值Dmax和最小值Dmin，則被測(cè)平面的平面度誤差為式（8）所示：

2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

2.1 硬件設(shè)計(jì)

（1）PLC 單元選擇。 此測(cè)量系統(tǒng)開(kāi)發(fā)平臺(tái)采用倍福可編程邏輯控制器PLC 平臺(tái)CX－5130。 CX－5130 是倍福公司推出的一款基于PC 的PLC。 它是一款高性能、高可靠性的嵌入式控制器，用于工業(yè)自動(dòng)化和控制系統(tǒng)。 它采用Intel Atom 雙核處理器和高速內(nèi)存，提供強(qiáng)大的計(jì)算能力，適用于需要處理復(fù)雜數(shù)據(jù)和實(shí)時(shí)反饋的應(yīng)用。 它的運(yùn)算處理器頻率為1.75GHz，主內(nèi)存為4GB，具有多種接口，包括以太網(wǎng)、USB、串口等，方便與其他設(shè)備進(jìn)行通信和連接。 它還支持多種外部模塊和擴(kuò)展卡的添加，支持EtherCAT 現(xiàn)場(chǎng)總線。 EtherCAT 是一種高性能的現(xiàn)場(chǎng)總線通信協(xié)議，用于實(shí)時(shí)控制和自動(dòng)化領(lǐng)域。 它基于以太網(wǎng)技術(shù)，通過(guò)一個(gè)主站和多個(gè)從站之間的通信，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)傳輸控制數(shù)據(jù)和實(shí)時(shí)反饋數(shù)據(jù)。 EtherCAT 的通信速度非常快，可達(dá)到100 Mbps 以上，同時(shí)具備很低的通信延遲。 這使得它適用于需要高實(shí)時(shí)性的工業(yè)自動(dòng)化系統(tǒng)。EtherCAT 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)靈活，支持線性、環(huán)形、星形以及混合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。 這使得布線和擴(kuò)展系統(tǒng)變得更加簡(jiǎn)單，可以根據(jù)需要增加或減少?gòu)恼尽?EtherCAT 支持標(biāo)準(zhǔn)以太網(wǎng)硬件和協(xié)議，可以與其他以太網(wǎng)設(shè)備進(jìn)行集成。 此外，EtherCAT 還提供了大量的設(shè)備配置和通信診斷工具，方便系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)和調(diào)試［6－7］。

（2）傳感器選擇。 測(cè)量傳感器選擇歐姆龍激光位移傳感器。 通過(guò)激光反射測(cè)量物體位移和距離。 測(cè)量范圍為30±2 mm，重復(fù)精度高達(dá)±2 um。 支持EtherCAT 現(xiàn)場(chǎng)總線。

（3）運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)。 結(jié)構(gòu)配備有高精度的定位夾具和高精度全閉環(huán)松下伺服驅(qū)動(dòng)模組，來(lái)實(shí)現(xiàn)工件的移位與傳感器的移位。 結(jié)構(gòu)采用雙測(cè)量頭、單X 軸和雙Y 軸的結(jié)構(gòu)架構(gòu)，實(shí)現(xiàn)一次測(cè)量2 個(gè)工件的同時(shí)還能進(jìn)行另一工位的上下料，最大限度提高運(yùn)行效率。

（4）存儲(chǔ)器設(shè)計(jì)。 考慮到PLC 主內(nèi)存偏小，設(shè)計(jì)增加外部擴(kuò)展存儲(chǔ)器。 采用了金士頓閃存盤(pán)／64G 移動(dòng)U 盤(pán)作為存儲(chǔ)媒介，以實(shí)現(xiàn)大容量生產(chǎn)數(shù)據(jù)的記錄。 同時(shí)，為了確保數(shù)據(jù)的安全性和穩(wěn)定性，倍福PLC 還配備了不間斷電源（uninterruptible power supply， UPS），它能在電網(wǎng)供電異常或斷電時(shí)，為PLC 等設(shè)備提供一定時(shí)間可靠的供電，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的完整性。

PLC 平臺(tái)通過(guò)EtherCAT 現(xiàn)場(chǎng)總線控制伺服驅(qū)動(dòng)和激光傳感器。 測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.2 軟件設(shè)計(jì)

TwinCAT （ The Windows Control and Automation Technology）是倍福公司開(kāi)發(fā)的一款用于工業(yè)自動(dòng)化系統(tǒng)的軟件開(kāi)發(fā)環(huán)境。 它基于Windows 操作系統(tǒng)和標(biāo)準(zhǔn)的IEC 61131－3 編程語(yǔ)言，為用戶(hù)提供了一個(gè)強(qiáng)大而靈活的平臺(tái)，用于開(kāi)發(fā)、編程和配置工控系統(tǒng)。 IEC 61131－3 標(biāo)準(zhǔn)的編程語(yǔ)言是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言，包括梯形圖、指令列表、功能塊圖、結(jié)構(gòu)化文本和順序功能圖等。 用戶(hù)可以根據(jù)自己的需求選擇合適的編程語(yǔ)言。 該系統(tǒng)采用結(jié)構(gòu)化文本語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)控制流程的開(kāi)發(fā)。

系統(tǒng)控制流程為：首先，PLC 通過(guò)控制X 軸和雙Y 軸伺服驅(qū)動(dòng)將傳感器瞄準(zhǔn)工件上的測(cè)量位置，并獲取激光傳感器的實(shí)時(shí)測(cè)量值。 然后，根據(jù)記錄的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)位置以及激光測(cè)量值來(lái)計(jì)算最小二乘平面系數(shù)、測(cè)點(diǎn)至最小二乘平面的平面度誤差。 最后，判斷平面度誤差是否在允許范圍內(nèi)，并輸出OK／NG 結(jié)果。 控制流程如圖2 所示。

根據(jù)以上流程得到被測(cè)工件上10 個(gè)均勻分布的采樣點(diǎn)P1～P10 的X、Y、Z位置坐標(biāo)，通過(guò)程序算法計(jì)算得到最小二乘平面方程系數(shù)A、B、C和被測(cè)工件平面度誤差結(jié)果。 坐標(biāo)點(diǎn)位如表1 所示。

表1 測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)

程序計(jì)算解得最小二乘平面方程系數(shù)A、B、C分別為－0.000 096 428，0.000 533 62，1.861 282 758。 根據(jù)求解的最小二乘平面方程系數(shù)A、B、C，即可計(jì)算出此被測(cè)工件的平整度誤差結(jié)果為0.111 mm。

3 應(yīng)用實(shí)例

本研究針對(duì)某制造廠的金屬框產(chǎn)品進(jìn)行了相關(guān)性的測(cè)試。 通過(guò)采用10 個(gè)均勻分布的采樣點(diǎn)測(cè)量方式，分別得到32 件不同的金屬框工件的本系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)和專(zhuān)用三位測(cè)量?jī)x的測(cè)量數(shù)據(jù)。 其相關(guān)性測(cè)量結(jié)果如表2 所示。

表2 相關(guān)性結(jié)果

數(shù)據(jù)顯示，此測(cè)量系統(tǒng)的重復(fù)精度±0.01 mm，其測(cè)量結(jié)果與專(zhuān)用三維測(cè)量?jī)x測(cè)量結(jié)果基本一致。 測(cè)量周期時(shí)間1.75 s／pc，解決了人工測(cè)量速度慢、誤判率高的問(wèn)題。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于最小二乘法設(shè)計(jì)的平面度測(cè)量系統(tǒng)成功應(yīng)用。 經(jīng)過(guò)應(yīng)用證明，系統(tǒng)運(yùn)行可靠性和生產(chǎn)效率高。 在設(shè)計(jì)與使用中，本測(cè)量系統(tǒng)具有以下特點(diǎn)：

（1）通過(guò)最小二乘法的擬合算法，能精確、高效地測(cè)定平面的平面度誤差，測(cè)量精度達(dá)±0.01 mm，有效地提高了平面度測(cè)量的精度和穩(wěn)定性，解決手工速度慢、準(zhǔn)確性差等問(wèn)題。 實(shí)現(xiàn)高效的自動(dòng)化生產(chǎn)。

（2）采用倍福PLC 運(yùn)動(dòng)控制器作為平臺(tái)，掃描周期快，總線連接控制方便，控制精度高，開(kāi)發(fā)周期短，功能強(qiáng)大，接線少，易于使用和維護(hù)。

（3）結(jié)構(gòu)硬件配置遵循簡(jiǎn)單化、模塊化的原則，提高了整個(gè)系統(tǒng)的可擴(kuò)展性、可靠性和可維護(hù)性。