時間約束三維超螺旋滑模制導(dǎo)控制一體化方法

李雪，王青，2

（1.北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)國際創(chuàng)新學(xué)院，杭州 311115）

0 引言

為了在制導(dǎo)任務(wù)中協(xié)調(diào)多個飛行器，時間約束下的制導(dǎo)控制得到了廣泛的研究［1］，攻擊時間控制制導(dǎo)（Impact-time-control guidance，ITCG）及協(xié)同制導(dǎo)方面，現(xiàn)有的研究成果十分豐富。一類文獻采用經(jīng)典導(dǎo)引方法（如比例導(dǎo)引及其變體），以及最優(yōu)控制理論。文獻［2］提出一種包含最優(yōu)三維比例導(dǎo)引項和剩余時間誤差反饋項的制導(dǎo)律；文獻［3］利用前置角法制導(dǎo)下剩余時間與規(guī)定的前置角之間的確定關(guān)系，設(shè)計了基于前置角法的ITCG；文獻［4］設(shè)計了一種采用碰撞時間匹配策略的最優(yōu)協(xié)同誘導(dǎo)解析制導(dǎo)律。另一類則采用非線性控制理論設(shè)計方法，如文獻［5］針對三維六自由度問題，提出了非奇異的滑模ITCG，并突破了小角度限制；文獻［6］則采用反饋線性化方法設(shè)計制導(dǎo)律。

上述ITCG 研究成果大多在二維情境下展開設(shè)計，而二維平面內(nèi)的飛行是理想化假設(shè)，三維場景下的制導(dǎo)控制則具備更強的研究價值和實際意義。此外，由于剩余時間估計值表達式的局限性，多數(shù)文獻中提出的制導(dǎo)方法要求前置角為小角度，這限制了初始航向和期望剩余時間的大小，縮小了相應(yīng)制導(dǎo)方法的可用范圍。同時，絕大多數(shù)ITCG 文獻止步于對制導(dǎo)律的研究，而制導(dǎo)與控制分環(huán)設(shè)計的思想雖然能夠簡化設(shè)計過程，但也可能導(dǎo)致制導(dǎo)與控制系統(tǒng)不匹配，進而造成整個系統(tǒng)的機動性降低、制導(dǎo)性能變差，甚至造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定［7］。為解決分環(huán)設(shè)計中存在的問題，制導(dǎo)控制一體化（Integrated guidance and control，IGC）受到研究，在IGC 框架下，姿態(tài)和過載等綜合信息被用于飛行器舵偏的反饋控制設(shè)計中，最終有效提升制導(dǎo)品質(zhì)［8-9］。針對二維協(xié)同攻擊的制導(dǎo)控制一體化問題，文獻［10］提出了基于滑模控制器的設(shè)計方案；文獻［11］針對二維平面內(nèi)的攔截時間約束問題，提出了基于滑模控制的制導(dǎo)控制一體化方案，但未考慮三維和大前置角的情況；文獻［12］采用控制障礙函數(shù)約束算法及反步法和動態(tài)逆方法，研究了過程約束下的三維IGC 問題；文獻［13］在動態(tài)面控制的框架下設(shè)計了基于一致性理論和結(jié)合擴張狀態(tài)觀測器的分布式一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制律。可以看到，現(xiàn)有的時間約束制導(dǎo)控制一體化相關(guān)研究文獻較少，且多數(shù)仍局限于二維和小前置角場景，還有很大的研究空間。

非線性控制方法中，滑模控制因其對擾動和模型不確定性的魯棒性，得到了廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典滑模控制方法包含非連續(xù)的切換控制項，容易造成系統(tǒng)狀態(tài)抖振，進而降低控制性能。超螺旋算法（Super-twisting algorithm，STA）是一種連續(xù)滑模控制方法，能夠應(yīng)對李普希茨有界的擾動，并確保系統(tǒng)具有有限時間穩(wěn)定性，在制導(dǎo)［14-16］與制導(dǎo)控制一體化［17］中也得到了應(yīng)用，但其與時間約束制導(dǎo)控制一體化的結(jié)合尚未得到研究。

本文首先給出制導(dǎo)控制一體化模型，隨后設(shè)計了一種針對大前置角的新型滑模面，并提出一種基于超螺旋算法和反步法的制導(dǎo)控制一體化方案，采用數(shù)值仿真驗證了方案的有效性。

1 問題描述

為研究飛行器終端時間約束下的制導(dǎo)控制一體化問題，本節(jié)對所研究的被控系統(tǒng)進行數(shù)學(xué)建模。

1.1 彈目相對運動關(guān)系

首先建立末制導(dǎo)三維彈目相對運動模型。考慮三維場景，如圖1所示。圖中，慣性參考坐標系記為Oxyz；r為彈目相對距離，qε為視線高低角，qβ為視線方位角，V為飛行器運動速度大小，σ為前置角。在設(shè)計時，為簡單起見，忽略V隨時間的變化，認為其大小恒定不變。

圖1 三維彈目關(guān)系示意圖Fig.1 Three-dimensional missile-target diagram

記θ為航跡傾角，ψV為航跡偏角。為簡化表達，記η=ψV-qβ，三維彈目相對運動學(xué)方程如下［18-19］：

三維場景下的前置角σ定義為飛行器速度與視線之間的夾角，其范圍為[0，π ]。根據(jù)坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系，前置角可由下式計算：

因此，式（1）中的第1式可簡化為：

將cosσ對時間求導(dǎo)，有：

式中：θ與ψV的時間導(dǎo)數(shù)可根據(jù)式（6）獲得。為方便表示，記：

飛行器的切向加速度amy，amz由氣動力及重力mg產(chǎn)生：

式中：Q是動壓，S為參考面積為升力系數(shù)對攻角α的偏導(dǎo)數(shù)為側(cè)力系數(shù)對側(cè)滑角β的偏導(dǎo)數(shù)。

1.2 飛行器運動學(xué)與動力學(xué)方程

飛行器運動學(xué)和動力學(xué)方程如下［19］：

式中：γ是滾轉(zhuǎn)角，?是俯仰角，γV是航跡滾動角；Jx，Jy，Jz為轉(zhuǎn)動慣量；ωx，ωy，ωz為體坐標系轉(zhuǎn)動角速度；Mx，My，Mz為俯仰、滾轉(zhuǎn)與偏航力矩，其值可近似為：

1.3 制導(dǎo)控制一體化模型

本文的設(shè)計目標為：設(shè)計控制律u=[δx，δy，δz]T，使得飛行器在期望的終端時刻擊中目標，該控制律應(yīng)具有一定的魯棒性，并且能夠在大前置角的情況下實現(xiàn)打擊任務(wù)。結(jié)合式（1），（7），（8），記狀態(tài)ξ=狀態(tài)方程可簡記為：

式中：dq，d2，d3為外部干擾和未建模動態(tài)構(gòu)成的總擾動項，

式中：K=4N-2，N為比例導(dǎo)引中的導(dǎo)航比，取值為3～5。根據(jù)其形式，當(dāng)且僅當(dāng)(Tf)=0，有r(Tf)=0。因此et=tgo-收斂于0 能夠保證在期望的終端時刻擊中目標。該表達式在小前置角的假設(shè)下推出［20］，在平面［10］和三維［2，5］場景下都得到了充分的應(yīng)用，并且不局限于采用比例導(dǎo)引的情況。然而，該表達式只在前置角較小的情況下有效。本文將在2.1 節(jié)中給出一個改進的狀態(tài)變量，使其不受前置角大小的約束。

2 制導(dǎo)控制一體化設(shè)計

本節(jié)針對終端時間約束下的制導(dǎo)控制一體化問題，給出一種新的滑模面，并證明該滑模面能夠使飛行器在期望時間擊中目標；隨后，給出基于超螺旋算法的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方案，其中包含一種控制分配算法；算法的魯棒性及有限時間收斂特性得到了理論證明。

2.1 一種針對大前置角的新型滑模面

前文提到，式（19）僅在前置角較小，即sinσ≈σ時有效［2］，該要求局限了這一時間估計方法的適用范圍。即使初始前置角滿足要求，當(dāng)所需的剩余時間較大時，前置角也可能超過π/2，給時間估計造成困難。為了打破這一局限性，給出一種針對大前置角的新型滑模面，該滑模面使σ嚴格遞減，并最終降為0，即速度方向指向目標。這樣，系統(tǒng)在前置角不滿足小角度要求時仍能在規(guī)定時間擊中目標。

記?x?p=|x|psgnx，定義一個新的滑動流形：

ε0>0 為超參數(shù)。顯然，當(dāng)σ≤π/2 時，s1即轉(zhuǎn)化為結(jié)合式（3），（4），將s1對時間求導(dǎo)得：

定理1.考慮彈目相對運動關(guān)系（1），及滑動流形（20），若系統(tǒng)狀態(tài)滑模運動，即s1=0，前置角σ將始終減小，且當(dāng)且僅當(dāng)r=0時，有σ=0。

證.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)位于滑模面上，有s1=0=0，顯然，σ≠π/2，也即cosσ≠0。整理式（22）得：

當(dāng)σ<π/2時：

式中：sin2σ>0，cosσ>0，cos(σ/2) >0，sin(σ/2) >0，由于K>2 >2cosσcos2(σ/2)，故上式大于0。

當(dāng)σ>π/2時：

顯然，等號右側(cè)大于0。因此，cosσ總是隨時間增大，即σ始終減小。

再研究σ=0 的條件。考慮σ≤π/2，由式（23）及式（1）的第1式可得：

顯然，式（28）當(dāng)且僅當(dāng)cosσ= 1時為0。因此，若系統(tǒng)狀態(tài)位于滑模面上，當(dāng)且僅當(dāng)r= 0 時，有σ= 0。證畢。

注1.當(dāng)期望的剩余時間大于r/V(1 + 1/K)時，狀態(tài)運動到滑模面，前置角σ將大于π/2。ε0的選擇將決定滑模面上前置角的大小，在相同的期望剩余時間下，ε0越大，s1= 0 對應(yīng)的cosσ越小，則系統(tǒng)滑模運動所需的σ越小，飛行器運動軌跡的彎曲程度越低；然而，過大的ε0將導(dǎo)致所需的控制量隨之增大。因此，合理選取ε0，才能實現(xiàn)控制需求。

注2.若不采用改進的滑模面（20），則當(dāng)飛行器以式（19）跟蹤時，一旦σ> π/2，飛行器將繼續(xù)按背離目標的方向運動，導(dǎo)致無法擊中目標。而采用改進的滑模面（20），僅在σ≤π/2 時等于式（19），即剩余時間跟蹤誤差s1=-；當(dāng)σ> π/2時，s1不能代表剩余時間跟蹤誤差，但能夠使σ隨時間嚴格遞減，最終到達σ< π/2。在其繼續(xù)降低的過程中，式（19）對時間估計的準確性逐步提升［20］，最終，飛行器將在預(yù)定的終端時刻擊中目標。

注3. 在時間約束的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計中，可以實現(xiàn)的期望的終端時刻Tf要大于等于初始前置角下的終端時刻，即當(dāng)σ< π/2時：

當(dāng)σ≥π/2時：

2.2 基于超螺旋算法和反步法的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計

基于反步法和STA，給出一種制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方案，使系統(tǒng)狀態(tài)運動到2.1節(jié)提出的滑模面，進而在期望時間擊中目標。

STA［15］可簡述如下：對于降階系統(tǒng)=v+ρ，選取合適的k1> 0，k2> 0，構(gòu)成控制輸入：

則降階系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)收斂至s==0：

式中：ρ為李普希茨有界的總擾動項，即存在L> 0使得≤L。與其他滑模控制方法相比，STA 的優(yōu)勢在于能夠保證有限時間收斂，且能處理李普希茨有界的擾動，而不局限于有界擾動；其控制輸入連續(xù)，不直接包含切換項，同時無需微分器觀測

針對一般的系統(tǒng)（33），為說明一定存在k1，k2，使得該系統(tǒng)穩(wěn)定，定義輔助狀態(tài)變量z=[?s?1/2，w]T，有以下引理：

引理1［21］. 對于非負連續(xù)函數(shù)V(x(t)) =xTPx，其中P∈Rn×n為正定對稱矩陣，x∈Rn，若存在正定對稱矩陣Q∈Rn×n，使得-≤‖x‖-1/2xTQx成立，則有≤-?V1/2。若系統(tǒng)以V為李雅普諾夫函數(shù)，則從初始狀態(tài)x(0)出發(fā)的軌跡在有限時間內(nèi)收斂到原點，收斂時間小于T(x(0)) =(2/?)，其中：

引理2［21］. 假設(shè)系統(tǒng)（33）中的擾動有上界L，則對任意L> 0，都存在k1，k2，使得原點s= 0為全局有限時間穩(wěn)定的平衡點，且存在正定對稱矩陣P，使得V=zTPz是系統(tǒng)（33）的李雅普諾夫函數(shù)，其時間導(dǎo)數(shù)幾乎處處滿足：

式中：Q為正定對稱矩陣。為方便后續(xù)分析，記：

以下介紹本文提出的反步STA 制導(dǎo)控制一體化的具體設(shè)計過程。

步驟1.針對本文研究的時間約束的制導(dǎo)控制一體化問題，首先將改進的新型滑模面（20）作為狀態(tài)變量，第一個子系統(tǒng)為：

根據(jù)STA原理，設(shè)計虛擬控制量ν*：

式中：ka1>0，ka2>0 是待設(shè)計的STA 控制增益，根據(jù)引理2，令w1=v1+，ka1，ka2及相應(yīng)的正定對稱矩陣Pa∈R2×2，Qa∈R2×2可通過研究下述輔助子系統(tǒng)獲得：

虛擬控制量（41）中，ζa定義為：

對ν*進行控制分配［5］，考慮代價函數(shù)：

式中：κ>0為分配權(quán)重。對β*求偏導(dǎo)得：

令?J/?β*=0得：

根據(jù)式（40）可知，當(dāng)且僅當(dāng)σ=0 時，上式分母為0，結(jié)合定理1，在理想的滑模運動中，σ=0 當(dāng)且僅當(dāng)r=0，上述控制律不會出現(xiàn)奇異值。然而，在考慮系統(tǒng)動力學(xué)特性后，s1=0 不一定時刻成立。飛行器接近目標時，σ接近0，速度可能在視線附近振蕩，導(dǎo)致式（46）分母過小，α*，β*出現(xiàn)振蕩。為了在飛行的最后階段維持速度穩(wěn)定指向目標，考慮一個超參數(shù)?r>0，令r≤?r時，控制任務(wù)切換為穩(wěn)定ξ，即進入第二階段。假設(shè)式（10）中|

虛擬控制量（47）中，ζq定義為：

式中：上標(i，*)表示矩陣第i行，后文中出現(xiàn)的上標(*，i)則表示第i列。

步驟2.記定義滑動流形s2=x2-即x2的跟蹤誤差，則由式（10），第2 個子系統(tǒng)可以變形為：

虛擬控制量（50）中，定義?b1如下：對于第1階段，有：

對于第2階段，有：

式中：μq∈R2，

定義?b2，ζb如下：

式中：s3=x3-即x3的跟蹤誤差。

步驟3.由式（10），第3個子系統(tǒng)可以變形為：

式中：控制增益Kc1，Kc2為對角陣，對角線上的元素(i=1，2，3)同樣根據(jù)引理2設(shè)計，并有相應(yīng)的正定對稱矩陣Pci∈R2×2，Qci∈R2×2。

控制律（57）中，定義?c1，?c2如下：

2.3 有限時間穩(wěn)定性分析

對2.2節(jié)中所設(shè)計的控制器的有限時間穩(wěn)定性進行分 析。根 據(jù)2.1 節(jié) 及2.2 節(jié)，記w1=v1+，w2=v2+d2，w3=v3+d3，wq=vq+dq，則第1 階 段閉環(huán)系統(tǒng)整理如下：

第2階段如下：

定理2.考慮閉環(huán)系統(tǒng)（61），（62），系統(tǒng)狀態(tài)將分別在有限時間內(nèi)收斂至平衡點，收斂時間分別不超過：

式中：ts為1、2階段切換時刻，

證.首先分析第1 階段。對V1，V2i及V3i分別求時間導(dǎo)數(shù)，有：

式中：W1，W2i與W3i為：

根據(jù)引理2，有：

將式（43），（54），（55），（59）代入式（65）可得：

這樣，可得V01的時間導(dǎo)數(shù)：

由式（51），（58）可得：

代入到式（69），并結(jié)合式（66）可得：

由引理1可知：

對于第2階段，同樣有：

與第一階段同理可得：

綜上所述，依據(jù)引理1，系統(tǒng)狀態(tài)有限時間穩(wěn)定，系統(tǒng)（61）的狀態(tài)在T之內(nèi)收斂到平衡點，系統(tǒng)（62）的狀態(tài)在Tq之內(nèi)收斂到平衡點。證畢。

注4.由于控制律（50），（57）中包含虛擬控制量的時間導(dǎo)數(shù)及，為避免“微分爆炸”［12］問題，使用高階滑模微分器對其進行觀測。變量x的k階時間導(dǎo)數(shù)有上界Ld，則其k-1階高階滑模微分器［22］的一般形式如下：

式中：zi是對x的i階時間導(dǎo)數(shù)的觀測，i=0，…，k，λi>0 為控制參數(shù)，可根據(jù)文獻［23］選取。與通常采用的動態(tài)面控制相比，該方法用高階滑模微分器代替1 階線性濾波器，利用滑模微分器的有限時間穩(wěn)定性，較1階濾波器產(chǎn)生更小的濾波誤差，從而降低對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響。

3 仿真驗證

通過數(shù)值仿真，在多種不同初始條件下，對照以未經(jīng)改進的剩余時間估計式（19）為狀態(tài)變量的控制方案，驗證本文提出的時間約束的制導(dǎo)控制一體化的有效性。表1 列出了初始狀態(tài)，目標位于[0，0，0]Tm。控制參數(shù)見表2，其中對于虛擬控制量時間導(dǎo)數(shù)的觀測采用5階微分器。

表1 初始狀態(tài)Table 1 Initial states

表2 控制參數(shù)Table 2 Control parameters

3.1 固定期望終端時刻仿真結(jié)果

表3 初始角度Table 3 Initial angles

圖2 飛行器運動軌跡Fig.2 Trajectory of the flight vehicle

從圖2中可以看到，對于不同的初始航向，本文提出的方法控制的飛行器飛行軌跡有所不同，但總能擊中目標；圖3 顯示，初始剩余時間低于Tdf，隨后成功跟蹤期望剩余時間；圖4顯示，前置角在仿真初期增大，這是因為剩余時間估計值需要增大以跟蹤期望剩余時間，隨后，在實現(xiàn)了剩余時間跟蹤的情況下，前置角減小，并最終收斂到0，這符合本文的分析。同時，在飛行過程中，可能出現(xiàn)超過90°的前置角，說明本文提出的制導(dǎo)控制一體化算法能夠突破小前置角限制，使飛行器在大前置角情況下仍能擊中目標。而對照組在第5組中初始前置角較大的情況下，飛行軌跡背離目標，不能實現(xiàn)預(yù)期的飛行任務(wù)，這說明了本文所作改進的有效性。

圖3 估計剩余時間Fig.3 Estimated time remaining

圖4 前置角Fig.4 Heading angles

3.2 固定初始航向仿真結(jié)果

飛行器初始條件固定，如表1所示，初始航跡傾角θ0=-10°，航跡偏角ψV0=20°，以不同期望終端時刻飛行。各飛行器的期望終端時刻分別為10 s，15 s，20 s，25 s和30 s。圖5～7為仿真結(jié)果，包括飛行軌跡、剩余時間估計、彈目相對距離、前置角、攻角、側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角、角速度及舵面偏轉(zhuǎn)角度。

圖5 飛行器運動軌跡Fig.5 Trajectory of the flight vehicle

由圖5可見，隨著期望終端時刻的增加，飛行器飛行軌跡更彎曲；由圖6可知飛行器總能夠在期望的時間擊中目標；圖7 表明前置角最終總能收斂到0。而對照組，在期望攻擊時間為15 s，20 s，25 s和30 s時，由于期望攻擊時間較大，前置角增大至超過90°后向著遠離目標的方向飛行。仿真結(jié)果符合預(yù)期，顯示出本文提出的制導(dǎo)控制一體化方案的有效性。

圖6 估計剩余時間Fig.6 Estimated time remaining

圖7 前置角Fig.7 Heading angles

3.3 蒙特卡洛仿真結(jié)果

由于名義模型通常不能準確表示實際系統(tǒng)，為研究所提出的制導(dǎo)控制一體化方案在氣動參數(shù)存在不確定性時的魯棒性，采用蒙特卡洛方法進行分析。初始條件如表1所示，飛行器初始航向為θ0=-10°，ψV0=20°，期望終端時刻=10 s，當(dāng)r<1 m 時停止仿真，脫靶量根據(jù)r(Tf)=rsinσ估算，終端時刻按照Tf=t+rcosσ/V估算。針對空氣動力系數(shù)，名義值和實際值存在±20%均勻分布的誤差的情況，進行1 000 次仿真，對仿真結(jié)果中的脫靶量和終端時刻誤差如圖8～9所示。

圖8 脫靶量Fig.8 Miss distances

圖9 終端時刻誤差Fig.9 Impact time errors

由圖8～9 可以看到，在1 000 次仿真中，r(Tf) <1 × 10-3m，|Tf-|<5 × 10-3s，這表明本文所提出的制導(dǎo)控制一體化方案對氣動參數(shù)不確定性是魯棒的。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于超螺旋算法和反步法的新型制導(dǎo)控制一體化方法，以解決時間約束三維制導(dǎo)控制一體化問題。通過理論分析和仿真驗證，本文提出的新型滑模面能夠滿足大前置角和大的期望剩余時間下的時間約束制導(dǎo)要求，保證前置角在滑模運動中收斂到0。所提出的新型制導(dǎo)控制一體化方法能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂，并對李普希茨有界的不確定性具備魯棒性，最終使得飛行器在規(guī)定時刻擊中目標。