大質量比滾控式變質心飛行器動力學特性分析

孫佳慧，胡玉東，高長生，荊武興

（哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150001）

0 引言

再入飛行器的常規姿態驅動采用氣動舵控制［1-2］和噴氣推力控制［3-4］兩種方式。對于氣動舵控制，在再入段高超聲速飛行環境下存在舵面燒蝕問題［5-6］；而對于噴氣推力控制，燃料作為額外負荷會降低再入飛行器的承載能力［7］。為彌補兩種傳統控制技術在再入飛行器應用方面的不足，近年來，變質心控制技術被提出。變質心控制通過移動安裝在飛行器內部的質量塊來改變系統質心的位置，氣動力臂便隨之改變，從而產生附加氣動力矩來實現飛行器的姿態機動。相比于氣動舵控制，變質心控制的執行機構安裝在飛行器內部，從而保證了飛行器良好的氣動外形，在減小飛行阻力的同時避免了舵面燒蝕問題；相比于噴氣推力控制，變質心控制利用再入階段所受氣動力矩來改變姿態而無需消耗額外燃料。

1996 年，Petsopoulos等［8-9］首次將變質心控制應用于再入飛行器滾轉控制中。該飛行器采用固定配平傾斜轉彎（BTT）的機動方式，通過單活動體的運動來改變飛行器的滾轉姿態。所設計的滾控式變質心再入飛行器在最大程度上減少了控制通道，并且避免了過于復雜的氣動外形，為飛行器結構設計及控制系統設計帶來便利，因此該構型一經提出，便受到廣泛的關注與研究。文獻［10］進一步討論了該滾控式變質心再入飛行器的控制機理，并給出了3種提高飛行器機動能力的途徑。文獻［11］針對該構型存在的欠驅動控制問題設計了一種改進的欠驅動自抗擾控制器，該控制器充分利用了單個活動體的控制能力，提高了飛行器系統的抗干擾能力。近年來，為了提高飛行器的機動能力并優化飛行器內部空間，文獻［12］提出了一種改進的大質量比滾控式變質心再入飛行器構型，并初步驗證了該構型的有效性。然而，這一改進帶來了兩個亟需解決問題：首先由于活動體質量增加，其轉動慣量不可忽略，文獻［8-9］中將活動體視為質點的假設不再成立，需要單獨建立活動體運動學模型。此外，固定配平BTT 控制模式下的滾轉-偏航耦合問題在大質量活動體的影響下更加明顯，這會增加飛行軌跡與預設軌跡的偏差，甚至產生不穩定的飛行狀態。因此有必要進行系統動力學分析，以探究系統參數和偏航運動之間的關系，通過優化設計飛行器系統參數來減輕滾轉機動對偏航運動造成的耦合影響。

傳統變質心飛行器動力學分析將系統簡化為線性模型并應用線性微分方程理論進行處理。例如，文獻［13-14］將系統模型在平衡點處線性化，然而這一方法對于大質量比變質心飛行器這一強耦合、強非線性系統顯然不再適用。在活動體運動的影響下，飛行器姿態響應存在多頻振動現象，而不同的系統參數亦會引起狀態響應的多值現象。故而有必要對活動體運動學與飛行器姿態動力學構成的非線性自治系統的解定量分析。多尺度法作為一種可以直觀給出系統參數和運動規律之間關系的手段，被廣泛應用于建筑工程［15-16］，材料科學［17-18］，電力工業［19-20］等領域。在飛行器性能及動力學行為分析領域，文獻［21］研究了無人機大迎角飛行的縱向動力學，并通過多尺度法獲得的近似解確定了影響穩定性的關鍵參數。文獻［22］將馬格努斯力矩假設為攻角的三次函數，并用多尺度法分別分析了對稱和非對稱再入飛行器的滾轉運動響應。文獻［23］通過飛行器俯仰姿態動力學方程揭示了多尺度法如何分離飛行器運動相關的各種特征時間。

本文建立了包含活動體偏轉運動的完整飛行器姿態伺服動力學模型并對其進行非線性動力學分析，以此來優化飛行器的結構設計。

1 動力學模型

如圖1 所示，本文的研究對象大質量比滾控式變質心再入飛行器主要由面對稱載體B和內部大質量比活動體P組成，P的一端O1與載體鉸接，另一端O2可在伺服機構作用下沿固定在xbO1zb平面的橫向導軌移動。活動體的偏轉會導致系統質心S偏移，在穩定的飛行條件下，載體的面對稱氣動外形會在縱對稱面內產生固定配平攻角和作用在壓心上的升力。由于氣動力臂由S的位置決定，因此改變S的位置可控制滾轉力矩，以實現飛行器的滾轉機動。此外，由于缺乏俯仰姿態的控制輸入，載體的非軸對稱外形產生的固定配平攻角并不能被主動控制。為了描述變質心飛行器的動力學模型，定義慣性坐標系OXYZ，載體坐標系O1xbybzb和活動體固連坐標系O1xpypzp分別如圖所示。其中O1xpypzp可由O1xbybzb繞二者公共軸線O1yb(yp)逆時針旋轉δ角度得到，其中δ為活動體偏轉角。因此從O1xbybzb到O1xpypzp的轉換關系為：

圖1 大質量比變質心再入飛行器示意圖Fig.1 Sketch of high-mass-ratio moving mass reentry vehicle

變質心飛行器動力學模型推導所涉及的符號定義如下：

1)mP和mB分別為活動體質量和載體質量，mS=mB+mP為系統總質量?；顒芋w占系統的質量比為μP=mP/mS。

2) 載體坐標系下P和B相對O1點的位置分別為=[-LPcosδ0LPsinδ]T和=[-LB0 0]T，其中LP和LB分別表示P和B到O1的距離，活動體安裝位置參數可表示為ΔBP=LP-LB。S相對O1點的位置為=+(1 -μP)。

3) 在載體坐標系下，載體的慣性角速度表示為ωB/I=[ωx ωy ωz]T，活動體相對載體的轉動角速度表示為ωP/B=[00]T，活動體的慣性角速度為ωP/I=ωP/B+ωB/I。

4)IB=diag(IBx，IBy，IBz)表示載體坐標系下載體繞O1的慣性張量，IP=diag(IPx，IPy，IPz)表示活動體固連坐標系下活動體繞O1的慣性張量。

5)q=ρV2/2 為動壓，其中ρ為大氣密度，V為飛行器飛行速度大小。

6)S和L分別為飛行器特征面積和特征長度。

7)α，β和γ分別表示攻角，側滑角和滾轉角。

9) (?)′表示載體坐標系下的時間導數。

10) 矩陣a=[a1，a2，a3]T的叉乘算子表示為

1.1 系統動力學模型

根據動量定理，系統相對于質心S的動量矩慣性導數為：

式 中：rSP=MB和Faero分別為作用在系統壓心上的氣動力矩和氣動力，分別在載體坐標系和速度系（x軸與飛行器速度矢量重合，y軸位于飛行器縱對稱面內指向上，z軸與x，y軸構成右手直角坐標系）下表示為：

最后，將式（5）～（6）代入式（3）可得載體坐標系下系統姿態動力學方程：

式中：

從式（7）中可看出，對于大質量比變質心再入飛行器，活動體的慣性張量IP在載體坐標系下的投影JP不可忽略，這導致了和的增大，從而分別使得飛行器姿態間的耦合以及活動體偏轉運動與飛行器姿態運動間的耦合增強。

1.2 活動體動力學模型

鑒于大質量比活動體的運動對系統動態特性影響顯著，因此有必要建立活動體偏轉的動力學模型。根據動量定理，活動體相對于質心P 的動量矩在慣性系下的導數可表示為

根據牛頓第二定律，活動體質心P和系統質心S的平動動力學為

式（7）和式（12）構成了大質量比滾控式變質心飛行器的完整姿態伺服動力學模型。從式（12）中可看出，由于活動體的轉動慣量和質量不可忽略，其偏轉運動使飛行器的滾轉-偏航姿態耦合更加明顯。由于滾轉通道為主控姿態，但滾轉-偏航耦合會導致在控制滾轉機動的同時對偏航造成干擾，進而使飛行器飛行軌跡出現偏差。上述問題對飛行器的構型設計提出要求，即如何優化設計變質心飛行器的構型參數來降低控制輸入對飛行器偏航通道的影響。

2 飛行器姿態動力學分析

對于固定配平BTT 控制模式，欠驅動俯仰通道的穩定性是獲得有效滾轉控制的前提，而對于所提出的滾控式大質量比變質心再入飛行器，討論俯仰穩定性與活動體配置參數之間的關系具有重要意義。此外，從上一節的完整姿態伺服動力學模型簡要分析中可看出，大質量活動體勢必會加劇飛行器滾轉-偏航姿態耦合及活動體偏轉運動與飛行器姿態運動之間的耦合。因此，本節首先分析了所提出的滾控式大質量比變質心飛行器的縱向靜態穩定性和耦合特性。

為了定量分析，作如下假設：

1) 縱向靜穩定性分析中，側滑角β在原點處穩定，側滑角速度ωy可忽略；

2) 活動體偏轉角δ為小量（cosδ≈1，sinδ≈δ），其高階項可忽略。

2.1 縱向靜穩定性分析

本節考察活動體配置參數，即質量比μP和安裝位置ΔBP=LP-LB對飛行器縱向靜穩定性和固定配平攻角的影響，據此來設計活動體的配置參數。

根據假設1），攻角α的導數可簡化為：

俯仰姿態動力學可簡化為：

式 中：Ix=JPx+(1 -μP)mPLPδ(LP-LB)，Iz=IBz+JPz+(1 -μP)mP(LB-LP)2。

聯立式（12）～（13）可得攻角的微分方程：

式中：

由式（15）知，A1，A2和B0取決于飛行器的氣動參數、構型參數和速度，B表示由不可忽略的附加相對轉動慣量引起的俯仰通道和滾轉通道耦合項。

根據Routh 準則構造Routh 判據，可以得到系統的縱向靜態穩定條件為A1>0，A2>0。根據>0，Cx>0,<0，可知A1>0 成立。A2>0 可由以下不等式給出：

給定氣動參數Cx=0.110 7，=0.1，=-0.005 5，=-2.682，飛行器參數S=1.5 m2，L=5.3 m，V=3 400 m/s，飛行器縱向靜態穩定性區域由圖2 給出。由圖可知在縱向靜穩定區域內，不同活動體質量比μP給定，其安裝位置參數ΔBP將會受到限制。因此，為了保證俯仰姿態穩定，應合理地選擇活動體質量比及其安裝位置。圖3給出了在滾轉穩定和零初始條件下，依據圖2 選擇不同活動體配置參數的攻角動態響應，從中可以看出，攻角在氣動配平力矩下快速收斂。

圖2 縱向靜穩定區域Fig.2 Longitudinal static stable region

圖3 靜穩定參數下攻角響應Fig.3 Angle of attack under static stability parameters

顯然，配平攻角隨活動體配置參數μP和ΔBP而變化，因為這些參數影響決定氣動力臂的系統質心位置，進而產生不同的氣動配平力矩和不同的配平攻角。因此，變質心再入飛行器的構型參數不僅要保證縱向靜態穩定性，還要根據給定飛行條件下的預期配平攻角進行選擇。

2.2 姿態耦合分析

本節將對大質量比滾控式變質心飛行器姿態耦合及活動體偏轉運動對飛行器姿態運動的耦合影響進行初步定量分析。由式（7）可知，飛行器姿態角加速度和滑塊偏轉角加速度通過慣量矩陣和耦合，這種耦合關系可以通過改寫式（7）表示如下：

顯然Φ=[f1f2f3]反映了飛行器姿態角加速度與滑塊偏轉角加速度之間的耦合關系。由于=[00]T，為了測量這一關系，定義耦合指數σ(δ)=‖‖f22，其與活動體的質量比μP和活動體偏轉角δ密切相關。圖4為不同μP下耦合指數隨δ變化曲線。從圖中可以看出，耦合隨活動體質量比的增加而增大，當μP=0.24 時，耦合指數曲線近似為直線，耦合不受活動體位置的影響；當μP<0.24時，曲線為凹形，此時δ接近0 時耦合減至最??；當μP>0.24時，曲線為凸形，此時δ接近0時耦合最大。

圖4 耦合指數曲線Fig.4 Coupling index curve

式（20）從系統整體姿態動力學的角度分析了活動體偏轉與飛行器姿態間的耦合程度，為了充分考慮飛行器各姿態間的耦合，將式（7）改寫為滾轉、偏航、俯仰3通道姿態動力學形式：

從式（23）可以看出俯仰姿態動力學只有由慣性張量Izx和Ixy引起的角速度耦合項，并不受活動體偏轉的影響，可由第2.1節的分析保證其穩定性。然而根據式（21）～（22），除角速度耦合項外，滾轉通道的控制輸入δ也作用于偏航通道，說明在活動體偏轉進行滾轉機動時，偏航通道將不可避免地產生耦合效應。給定氣動參數Cx=0.110 7，=-0.005 5，=0.1，=-2.682；飛行器參數V=3 400 m/s，S=1.5 m2，L=5.3 m，IB=diag(100，500，500) kg·m2；活動體構型參數IP=diag(30，200，200) kg·m2，μP=0.3，ΔBP=0.5 m。圖5 給出了當偏航通道受到影響而產生β0=3°的初始偏差后若停止姿態機動，即無控制輸入下系統俯仰、偏航、滾轉通道的開環響應。由圖可知，在無控狀態下（δ===0），系統俯仰通道可在氣動阻尼力矩下快速達到平衡，偏航通道雖最終穩定在平衡點附近，但依然做小幅震蕩。

圖5 俯仰、偏航、滾轉姿態的開環響應Fig.5 Open loop response of pitch，yaw，and roll attitudes

圖6給出了零初始攻角和側滑角在非零活動體偏轉角下的響應。如圖6（a）所示，活動體連續偏轉3°時，攻角和側滑角首先做減幅振蕩。盡管攻角和側滑角依賴于縱向靜穩定性和航向靜穩定性在一段時間后趨于穩定，但如果飛行環境需要頻繁的活動體偏轉，將不可避免地導致耦合系統不穩定。在圖6（b）所示的偏轉角為7°情況下，側滑角受到活動體連續偏轉的嚴重影響而快速振蕩，同時導致攻角的發散。因此，在前述給定的飛行器及活動體設計參數下，當活動體發生較大的頻繁偏轉或側滑角產生較大初始偏差時，側滑穩定性的假設就不再成立。那么，如何設計大質量比滾控式變質心飛行器的構型參數來使得活動體偏轉實現滾轉姿態控制時對偏航姿態耦合盡可能小，便能在飛行器結構的優化設計上提高飛行器的可控性能，降低控制器設計的難度。

圖6 不同δ下的俯仰偏航姿態響應Fig.6 Pitch and yaw attitude response under different δ

3 活動體偏轉與偏航姿態耦合振動分析

由前述飛行器姿態耦合分析可知，活動體偏轉控制滾轉姿態的同時會對偏航通道產生耦合影響。對于偏航姿態動力學和活動體偏轉動力學構成的非線性多自由度系統，自由度間的耦合振動不可避免，而該耦合振動會對飛行器的穩定飛行造成不利影響。此外，驅動活動體的伺服力作為耦合系統的外激勵，其不同頻率可造成耦合系統狀態的不同穩態振動。針對上述問題，本文采用多尺度法對活動體偏轉角和飛行器側滑角可能出現的共振情形進一步分析。對于不同外激勵頻率產生的內共振定常解，探究其幅頻特性和系統參數間的關系，以通過設計飛行器構型參數和活動體配置參數來減輕系統耦合振動，進一步優化系統動力學特性。

由式（7）與（12）可得包含活動體偏轉動力學的非線性偏航通道動力學：

式 中：Iy2=Iδ1=JPy+mP(1 -μP)LP(LP-LB)，Iδ2=JPy+mP(1 -μP)；F為驅動活動體的伺服力大??；為活動體長度。

側滑角的變化規律為：

由式（28）知，在伺服力F的激勵下，活動體偏轉與飛行器偏航姿態耦合系統是立方非線性二自由度受迫系統。系統自然頻率可通過求解剛度矩陣的特征值得到：

為探究該非線性動力學響應，采用多尺度法進行攝動分析。在多尺度框架下，將外激勵表示成簡諧激勵形式F=fcos(ωt+φ)，并引入小參數ε，則式（28）可改寫為：

式中：Mj=，j=1，2。

設式（31）的解的形式為

式中：T0=t和T2=ε2t分別為多尺度框架下的快時間尺度和慢時間尺度。

將式（32）代入式（31）并引入導算子?/?Tj=Dj，j=0，2。按ε與ε3合并同類項，可得：

方程（32）的解可表示為如下復數形式：

式中：ηj=ρ2/(-k2)，j=1，2；fcc代表前面所有項的復共軛。

將式（35）代入式（34）有：

由式（36）知，當變質心飛行器參數和飛行參數使得系統自然頻率滿足ω1=3ω2時會發生1∶3 內共振，此時作用在活動體偏轉模態的外激勵會通過能量轉化作用到飛行器偏航姿態上。而外激勵F的頻率與系統自然頻率相同時，則又會產生主共振。當ω1≈3ω2時，引入調諧參數σ1：

由系統自然頻率可知主共振產生有ω≈ω1和ω≈ω2兩種情況，接下來將分別討論不同主共振情況下系統的一階近似定常解。

3.1 ω ≈ω1的系統一階近似定常解

當驅動活動體的外激勵頻率ω≈ω1時，引入調諧參數σ2：

為消除長期項，設式（36）的特解為：

將式（38）～（39）代入式（36），比較等式兩端ω1和ω2的系數，有：

根據式（40）的可解性條件有：

將式（41）代入式（42）得到消除長期項條件：

令Λj=，j=1，2。代入式（43）后分離實部和虛部，則系統一階近似解的振幅和相位滿足：

式中：(?)′表示對T2求導；ψ1=3θ2-θ1-σ1T2，ψ2=σ2T2-θ1+φ。

3.2 ω ≈ω2的系統一階近似定常解

當驅動活動體的外激勵頻率ω≈ω2時，同樣引入調諧參數σ2：

按照與式（36）～（43）相似的步驟求解得到系統一階近似解的振幅和相位滿足：

由式（46）及式（49）可知，飛行器參數、活動體配置參數以及驅動活動體的伺服力均可影響系統的幅頻響應，故合理設計變質心飛行器的構型參數對于降低飛行器非線性耦合程度，提高飛行器控制性能尤為重要。

3.3 數值仿真

下面將對式（46）及式（49）表示的系統一階近似解的穩態幅頻特性進行仿真分析。仿真氣動參數為Cx=0.110 7，=-2.682，=-0.005 5，=0.1，飛行器參數為V=3 400 m/s，S=1.5 m2，L=5.3 m，IB=diag(100，500，500) kg·m2。根據以上參數求得系統自然頻率為ω1≈34.90 rad/s，ω2≈12.42 rad/s。

1)ω≈ω1的主共振

外激勵頻率接近系統第一自然頻率時，圖7 給出了不同μP下系統的幅頻響應曲線，其中實線代表穩定響應，虛線代表不穩定響應。在非線性影響下，幅頻響應曲線向右彎曲并形成多值性，且隨著μP的增加右彎明顯，最大振幅對應頻率更加偏離ω1。

圖7 ω ≈ω1時不同質量比下的幅頻響應Fig.7 Amplitude frequency response versus different mass ratios under ω ≈ω1

圖8 給出了不同活動體安裝位置ΔBP對系統幅頻響應曲線的影響。根據ΔBP的定義可知ΔBP越大，活動體安裝越靠后。與不同活動體質量比對系統幅頻響應的影響類似，由圖可知幅頻響應曲線隨活動體安裝位置的后移而向右彎曲，且活動體安裝位置越靠后，最大振幅越大，其對應頻率更加偏離ω1。

圖8 ω ≈ω1時不同安裝位置的幅頻響應Fig.8 Amplitude frequency response versus different installation positions under ω ≈ω1

2)ω≈ω2的主共振

當ω≈ω2時，類似地，首先給出不同活動體質量比μP下系統幅頻響應曲線，如圖9 所示。由圖可知，系統幅頻響應曲線峰值對應的頻率隨μP增加而右移，且隨著μP增大，響應幅值增加明顯。為了降低系統的耦合振動，活動體質量不宜過大。但這與增大活動體質量以增強變質心飛行器機動性和控制能力相矛盾。故活動體質量比應結合飛行器的機動能力需求和耦合共振約束來折衷選取。

圖9 ω ≈ω2時不同質量比下的幅頻響應Fig.9 Amplitude frequency response versus different mass ratios under ω ≈ω2

圖10給出了活動體不同安裝位置ΔBP對系統幅頻特性的影響曲線。由圖可知，活動體安裝越靠前，即ΔBP越小，系統耦合共振幅值越小。故為了減輕活動體偏轉對偏航通道的影響，活動體安裝位置不宜太靠后。但活動體安裝越靠前，配平攻角也越小，這會造成變質心飛行器所受升力減小。而根據滾控式變質心飛行器的控制機理，活動體偏轉產生的滾轉控制力矩主要由升力提供，這會造成變質心飛行器的控制性能降低。故而活動體安裝位置設計需綜合考慮飛行器控制性能需求和耦合共振約束。

圖10 ω ≈ω2時不同安裝位置的幅頻響應Fig.10 Amplitude frequency response versus different installation positions under ω ≈ω2

4 結論

本文針對大質量比滾控式變質心再入飛行器，建立了包含活動體偏轉運動的完整飛行器姿態伺服動力學模型，并探討了大質量比變質心飛行器與小滑塊變質心飛行器相比在動力學上具有更強的非線性和耦合特性的原因。為了減少大質量比變質心飛行器姿態動力學中的耦合效應，避免飛行器出現不穩定的飛行情況，采用多尺度法獲得了不同構型參數下活動體偏轉和偏航姿態耦合系統的近似解析解，進而提出了考慮滾轉-偏航耦合約束的飛行器構型設計方案，以減少對偏航通道的干擾，提高系統性能，并最終通過數值仿真驗證了方案的有效性。研究結果揭示了系統耦合特性的機理和變化規律，為面向性能的飛行器構型設計提供了理論依據。