運動參考系中量子Fisher 信息*

任亞雷 周濤

(西南交通大學物理科學與技術學院,量子光電實驗室,成都 610031)

量子參數估計中的基本理論——量子Cramér-Rao 不等式指出,參數估計的方差由量子Fisher 信息的倒數決定,量子Fisher 信息越大,參數估計的方差就越小,估計精度也就會越高.在非相對論量子力學中,量子Fisher 信息已被廣泛研究,但考慮相對論效應對量子Fisher 信息影響的研究相對較少.本文采用粒子態的相對論變換方法,數值計算和分析了運動參考系中單粒子態、雙粒子態振幅參數 θ 和相位參數 φ 的量子Fisher信息.結果表明,在運動參考系中,無論是使用單粒子態還是雙粒子態,量子Fisher 信息都會降低.對于相位參數,雙粒子態的量子Fisher 信息比單粒子態降低得更加顯著.然而,對于振幅參數,雙粒子態的量子Fisher 信息相對于單粒子態有所提高,該研究結果為在相對論效應的影響下提高參數估計精度提供了有價值的參考.

1 引言

參數估計是指間接地估計一個未知參數的值[1].在物理學中,很多物理量無法直接測量,而只能通過間接的方式進行估計[2,3].在我們估計這些物理量時,不可避免會產生估計誤差.而如何提高參數估計的精度,就成了參數估計領域所要研究的核心問題[4-15].在參數估計理論中,量子Cramér-Rao不等式表明,量子Fisher 信息(quantum fisher information,QFI)直接關系著參數估計的精度[16-19],其形式為

式中η為待估參數,F(η) 為參數η的QFI,N為對系統的測量次數,(Δη)2為待估參數的方差,反映測量誤差.從不等式可以看出,QFI 值越大,測量誤差就越小,估計精度也就越高[20].在量子參數估計的研究中,系統的參數信息通常被編碼到某種量子態上,從而對未知參數進行估計[10].為了盡可能提高參數估計的精度,一種方法就是需要尋找那些能夠使QFI 盡可能大的態[21-23].

在非相對論量子力學中,對QFI 進行了廣泛的研究,例如其在糾纏判據[24-26]、量子隱形傳態[27]中的應用等.同時,人們還致力于發展新的理論來計算QFI[28-30],為實現更高效的量子參數估計提供理論參考.另一方面,隨著相對論物理學和量子信息科學的交叉發展,人們開始考慮相對論效應對QFI 的影響[31-35].因為相對論效應可以改變粒子的量子態的特性[36,37],從而對量子參數估計產生影響.

本文考慮粒子態在不同慣性參考系下的相對論變換,分析了粒子態(包括動量自由度和自旋自由度)在運動參考系下的變換關系.選取在靜止坐標系下動量和自旋不糾纏的粒子態,發現在運動參考系下粒子態動量和自旋之間相互糾纏[36],編碼在自旋自由度上的參數信息也會隨之產生相應的變化.本文數值計算了單粒子態和雙粒子態在運動參考系中的QFI,結果顯示,不論是使用單粒子態還是雙粒子態,相對論效應都會導致編碼在其上的待估參數的QFI 下降,這意味著參數估計的精度受到相對論效應的影響.當考慮相位參數時,雙粒子態的QFI 降低得更加顯著.有趣的是,當考慮振幅參數時,雙粒子態的QFI 相對于單粒子態有所提高.這表明在對振幅參數進行估計時,雙粒子態能夠抑制相對論效應帶來的影響,從而提高參數估計的精度.

2 量子Fisher 信息

Fisher 信息是統計學中一個重要的概念,用來描述一個可觀測隨機變量攜帶未知參數信息量的多少,定義式為[7]

其中μ為待估參數,x為隨機變量觀測值,p(x|μ)為參數取μ時x的概率分布.

在量子力學中,當系統中含有參數μ時,系統的狀態用密度矩陣ρμ表示[24].對這個系統進行一組POVM{Mx}測量,Fisher 信息可以重新表示為[21]

在這里,引入對稱對數導數算符Lμ,其定義式為

在所有可能的POVM 測量中,得到的Fisher 信息存在一個最大的情況,這個最大的Fisher 信息被稱為QFI,其定義式為[20]

另一方面,假設待測系統的密度矩陣譜分解形式為

QFI 則可以被寫為[38]

其中pi是密度矩陣ρμ的本征值,而 |ψi〉是本征值pi對應的本征態.

3 運動參考系中粒子狀態的變換

首先定義有質量粒子在靜止參考系中的本征態[36]|0λ〉:

其中洛倫茲推動L(ξp) 滿足

在運動參考系中,粒子的狀態可以通過對靜止參考系中的粒子態施加洛倫茲變換得到[36,37],洛倫茲變換在物理Hilbert 空間中誘導出態矢量上的幺正線性變換U(Λ),其對粒子態的作用是[39]:

其中L(ξΛp)-1ΛL(ξp) 是一個 旋轉操 作,被稱為Wigner 轉動,它作用于靜止坐標系的自旋分量λ上[36].因此(14)式可以寫成如下形式:

本文將四維動量寫成球坐標系中的形式[E,psin(?)cos(γ),psin(?)sin(γ),pcos(?)],得到Wigner 轉動的具體形式:

?是球坐標系中的仰角,γ為方位角,m代表粒子態的質量,E和E′分別為粒子經過相對論變換前后的能量.

本文選取分布展寬為σr的“相對論高斯型”動量分布:

其中N(σr) 是歸一化系數,p表示p的大小.對于一組動量遵循“相對論高斯型”動量分布的本征態,態矢量可以寫成

將(21)式和(22)式代入(16)式,可求出自旋為1/2的有質量粒子的態矢量經過洛倫茲變換后的表達式為

在(24)式中,|ψ〉表示粒子的自旋態.

4 運動參考系中的QFI

4.1 單粒子態QFI

在單粒子態量子參數估計中,待估參數由自旋態攜帶,這里選取參數化的單量子比特自旋態,它可以寫成:

其中θ和φ是未知的待估計參數,分別表示振幅參數和相位參數.

首先計算在靜止參考系中兩個未知參數的QFI.對于純態,編碼在該態上的參數μ的QFI 可表示為[20]

很容易 計算出關于θ和φ的QFI為F(θ)=1,F(φ)=sin2θ.

相對論效應使粒子的動量和自旋相互糾纏[36],由于待估參數編碼在自旋態上,因此本文只考慮自旋態的變換.在變換后的態中自旋和動量兩個自由度都屬于這個變換態的子系統,要研究自旋態中的待估參數,需要關于自旋自由度的約化密度矩陣.通過對動量自由度求偏跡,得到關于自旋自由度的約化密度矩陣:

將其代入QFI 的計算(7)式,即可算出在運動參考系中未知參數θ和φ的QFI.

4.2 單粒子態計算結果與分析

在運動參考系中求解QFI 的解析解是一個非常困難的工作,所以考慮利用MATLAB 進行數值求解.本文分別計算了單粒子態相位參數的QFIF(φ) 和振幅參數的QFIF(θ),研究發現在運動參考系中,F(φ)和F(θ) 都與快度ξ、振幅參數θ,以及展寬σr與粒子質量m的比值σr/m有關.

首先考慮等振幅(θ=π/2 )的情況,即|ψθ,φ〉=如圖1(a),(b),當σr/m取1,2,3,4 時,F(φ)和F(θ) 都隨著快度ξ的增大而減小,當快度ξ趨向于無窮大時,二者都降低到某一個固定的值,固定值依賴于決定動量分布離散程度的展寬σr和粒子質量m的比值σr/m,其值越大,F(φ)和F(θ) 降低趨勢越明顯,且最終達到的固定值越小.這是因為相對論效應使粒子的動量和自旋相互糾纏,在不同的參考系看來,同一個粒子的自旋態是不同的.對于自旋 1/2 粒子,一般情況下質量是確定的,展寬σr增大意味著動量分布變得更加分散,對動量部分求偏跡,求得的自旋態的約化密度矩陣中包含的待估參數信息會隨之減少.因此隨著σr/m的增大,待估參數的QFI 下降的更加明顯.

圖1 運動坐標系中單粒子態的QFI (a) θ=π/2,σr/m=1,2,3,4 時,F (φ)隨ξ 的變化;(b) θ=π/2,σr/m=1,2,3,4時,F (θ)隨ξ 的變化;(c) σr/m=1,F (φ)隨θ,ξ 的變 化;(d) σr/m=1,F (θ)隨θ,ξ 的變化Fig.1.Quantum Fisher information for one-particle state in moving frames:(a) F (φ) is plotted as a function of ξ forθ=π/2 and σr/m=1,2,3,4 ;(b) F (θ) is plotted as a function of ξ for θ=π/2 and σr/m=1,2,3,4 ;(c) F (φ) is plotted as a function of θ and ξ for σr/m=1 ;(d) F (θ) is plotted as a function of θ and ξ for σr/m=1 .

對于單量子比特系統,其振幅參數同樣會對相位和振幅的估計和測量產生影響.如圖1(c),(d),這里取σr/m=1,當它的振幅參數取 [0,π] 時,它們的QFI 也會發生變化.當振幅參數越接近π/2時,相位參數的QFI 越大,而振幅參數的QFI 越小,都在θ=π/2 時達到極值,且F(φ)和F(θ) 都關于θ=π/2 呈現一定的對稱性,原因在于粒子態選取的動量分布具有對稱性.

4.3 雙粒子態計算結果與分析

為了盡可能提高參數估計的精度,降低相對論效應對參數估計的影響,本文嘗試尋找那些能使QFI 盡可能大的態.在目前已有的研究中,利用量子系統特有的量子糾纏性質,可以提高量子態的QFI.因此,本研究將編碼未知參數的自旋態選為參數化的二量子比特糾纏態:

兩個有質量的自旋為 1/2 的粒子的態矢量可以寫成[36]:

其中,|pλ〉A與|qσ〉B分別表示A 粒子與B 粒子的動量-自旋本征態,且gλσ(p,q) 滿足:

經過相對論變換后,求得自旋態的約化密度矩陣為

將其代入QFI 的計算公式,數值計算雙粒子態相位參數的QFIF(φ) 和振幅參數的QFIF(θ) .結果顯示,雙粒子態的相位參數QFIF(φ) 和振幅參數QFIF(θ) 也與快度ξ、振幅參數θ和σr/m有關,且F(φ)和F(θ) 隨三者的變化關系和單粒子態類似.圖2 展示了當σr/m=1 時,等振幅情況下雙粒子態和單粒子態F(φ)和F(θ)隨ξ的變化對比圖.有趣的是,雙粒子態相位參數的QFI 下降的更為顯著,而振幅參數的QFI 相比于單粒子態則有所提高.這表明隨著粒子數增加,相位參數的估計精度降低的更加顯著,而振幅參數的估計精度則有所提高.

圖2 運動坐標系中單粒子態與雙粒子態的QFI 對比(a) σr/m=1,θ=π/2 時,F (φ)隨ξ 的變化對比;(b) σr/m=1,θ=π/2 時,F (θ)隨ξ 的變化對比Fig.2.Quantum Fisher information for one-particle state versus that for two-particle state in moving frames:(a)F (φ)is plotted as a function of ξ for σr/m=1 and θ=π/2 ;(b) F (θ) is plotted as a function of ξ for σr/m=1 and θ=π/2.

5 結論

本文研究了相對論效應對量子參數估計精度的影響,結果發現,不論是單粒子態還是雙粒子態,相對論效應都會導致其攜帶的待估參數QFI 下降,從而降低參數估計的精度.在考慮相位參數時,隨著粒子數的增加,QFI 降低得更為顯著.然而在考慮振幅參數時,雙粒子態的QFI 相對于單粒子態有所提高.這表明在運動參考系中進行量子參數估計時,攜帶未知參數的粒子態選用雙粒子態,同時待估參數編碼在自旋態的振幅參數上,可以降低相對論效應對參數估計精度的影響.這一結果提供了一種抑制相對論效應噪聲的方法.接下來可以進一步研究多粒子態的QFI 的變化情況[34],嘗試得出一個在相對論變換下計算多粒子態QFI 的解析結果,這將在量子參數估計理論領域產生重要的價值.