色味鎖夸克物質(zhì)與夸克星*

初鵬程 劉鶴 杜先斌

(青島理工大學(xué)理學(xué)院,青島 266033)

討論了零溫、強(qiáng)磁場下基于準(zhǔn)粒子模型的奇異夸克物質(zhì)、色味鎖夸克物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì).結(jié)果表明色味鎖夸克物質(zhì)比奇異夸克物質(zhì)更穩(wěn)定,壓強(qiáng)會隨著色味鎖態(tài)能隙常數(shù)的增大而增加.并且發(fā)現(xiàn)強(qiáng)磁場下磁星的最大質(zhì)量會隨著色味鎖夸克物質(zhì)的能隙常數(shù)的增加而增加,磁星的潮汐形變率會隨著能隙常數(shù)的增加而增加,磁星最大質(zhì)量的中心密度會隨著能隙常數(shù)的增加而降低.結(jié)果還說明考慮色味鎖態(tài)得到的磁星質(zhì)量半徑關(guān)系可以滿足最近實驗觀測 PSR J0740+6620,PSR J0030+0451,和 HESS J1731-347 所給出的質(zhì)量半徑約束.

1 引言

致密星以及其內(nèi)部構(gòu)成物質(zhì)的性質(zhì)是現(xiàn)代核物理與天體物理中的重要問題[1-4].在最新的實驗觀測結(jié)果中,大質(zhì)量脈沖星的質(zhì)量與半徑的范圍約束對構(gòu)成致密星體的物質(zhì)的物態(tài)方程提出了非常高的要求.例如2010 年觀測的PSR J1614-2230[5],其質(zhì)量達(dá)到了 1.97±0.04 M⊙,接近兩倍太陽質(zhì)量,需要致密星體物質(zhì)的物態(tài)方程足夠硬才能支撐;2013 年用shapiro delay 測得的PSR J0348+0432脈沖星,其質(zhì)量為 2.01±0.04 M⊙[6],為近年來精確探測的大質(zhì)量脈沖星之一;五年后測得的脈沖星PSR J2215+5135,質(zhì)量達(dá)到了脈沖星PSR J0740+6620 的觀測結(jié)果中,2021 年更新的質(zhì)量范圍為 2.08±0.07 M⊙[8-10];在LIGO/Virgo合作組測得GW190814 引力波事件中[11],伴隨天體 m2的質(zhì)量可以達(dá)到 2.50 M⊙—2.67 M⊙(90%置信度),這可能是目前最大致密星體的探測結(jié)果候選者.致密星體的代表為中子星,其內(nèi)部可能是結(jié)合的更緊密的核子,甚至是絕對穩(wěn)定的奇異夸克物質(zhì).理論上只由奇異夸克物質(zhì)構(gòu)成的奇異夸克星也可能存在,其可能存在的證據(jù)現(xiàn)在仍是核物理與天體物理關(guān)注的重點,還不能夠被排除[12-18].構(gòu)成奇異夸克星的夸克物質(zhì)是由β 平衡的u,d,s 味夸克和電子、μ 子組成的電中性奇異夸克物質(zhì)[19-23].以往的工作中,人們采用增加矢量道、修改勢能項、質(zhì)量密度相關(guān)等方法可以得到較大質(zhì)量夸克星[24-33],但從最新實驗觀測和模擬的大質(zhì)量脈沖星的質(zhì)量半徑約束來看,夸克星物質(zhì)的物態(tài)方程能否支撐近期觀測和模擬的大質(zhì)量、大半徑的致密星還面臨著很大的挑戰(zhàn).另一方面,色味鎖夸克物質(zhì)被視為最對稱的基態(tài)[34-36],有可能存在于混合星或者夸克星中[37,38].如果在致密星中考慮色味鎖夸克物質(zhì),u,d,s 三味夸克的粒子數(shù)密度相同,色味鎖態(tài)下將不存在輕子,色味鎖夸克物質(zhì)有可能比奇異夸克物質(zhì)更穩(wěn)定[39,40].

致密星體的重要性質(zhì)之一是孕育在非常強(qiáng)的磁場中,在計算其性質(zhì)的時候應(yīng)考慮磁場下致密星體物質(zhì)的性質(zhì).在前人工作中[41-43]致密星體表面的磁場有可能達(dá)到B≈1014G (1 G=10-4T),內(nèi)部則有可能會增加到B≈1018G[44]至B≈1020G[45].磁星內(nèi)部可以采用密度相關(guān)磁場[46-51]來模擬從星體表面到中心磁場隨著磁星物質(zhì)密度的增加而增大的情況.另一方面,磁星內(nèi)部磁場方向的分布,對磁星物質(zhì)以及磁星的性質(zhì)影響也會很大.在過去的幾十年里,雖然大量的工作致力于磁場對磁星性質(zhì)的影響,如核物質(zhì)狀態(tài)方程[52-54]、磁制動[55-58]、冷卻或加熱[59,60],但磁場的起源問題仍然不清楚.關(guān)于磁星強(qiáng)磁場的解釋有多種,比如發(fā)電機(jī)效應(yīng)、化石假說和中子星演化模型等.致密星中的夸克物質(zhì)順磁可能會產(chǎn)生超強(qiáng)磁場,壓強(qiáng)的各向異性與磁化物質(zhì)的磁化強(qiáng)度有關(guān)[61,62].色味鎖態(tài)下磁星物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)對于色味鎖磁星的性質(zhì)影響也是本文著重討論的問題.

本文的結(jié)構(gòu)如下:首先基于準(zhǔn)粒子模型給出零磁場、強(qiáng)磁場下奇異夸克物質(zhì)與色味鎖夸克物質(zhì)的理論推導(dǎo)結(jié)果;之后列出色味鎖夸克物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)的計算結(jié)果(包括物態(tài)方程、有效夸克質(zhì)量、化學(xué)勢等),并計算色味鎖磁星的性質(zhì),給出結(jié)論.

2 理論推導(dǎo)

從Farhi 與Jaffe[16]的研究中可以得到,奇異夸克物質(zhì)比正常核物質(zhì)更穩(wěn)定,且構(gòu)成奇異夸克物質(zhì)的u,d,s 三味夸克與輕子(電子與μ 子,后者很難在夸克星物質(zhì)中被激發(fā))需滿足β 穩(wěn)定條件與電中性條件,具體可寫為

方程(1)中的μi表示第i個粒子對應(yīng)的化學(xué)勢,ni為第i個粒子的粒子數(shù)密度.對于奇異夸克物質(zhì)人們一般還要求其滿足絕對穩(wěn)定條件,即零溫時奇異夸克物質(zhì)的每核子能量應(yīng)低于自然界中最穩(wěn)定的核素M(56Fe) 的對應(yīng)能量930 MeV.此條件可以大幅減少一般的唯象夸克模型的模型參數(shù)空間.

不同色、味的夸克“成對”可以產(chǎn)生色超導(dǎo).理論上成對后最對稱的狀態(tài)人們稱之為“色味鎖(color-flavor locked)”態(tài),簡稱CFL 態(tài).色味鎖夸克物質(zhì)會在系統(tǒng)的能量中通過吸引的色反對稱道引入一個夸克成對后的能隙常數(shù),進(jìn)而使系統(tǒng)更加穩(wěn)定.目前一般利用準(zhǔn)粒子模型來計算色味鎖狀態(tài)下的夸克物質(zhì),此模型源于硬密環(huán)單圈近似[63-66],不同于一般的質(zhì)量密度相關(guān)類的夸克模型、拉氏密度出發(fā)的模型(例如南部模型、同位旋夸克禁閉模型等)、袋常數(shù)類模型等[67-87],該模型將每味夸克的有效質(zhì)量與化學(xué)勢相關(guān),表達(dá)式如下:

其中mq0對應(yīng)每味夸克的流夸克質(zhì)量,μq為色味鎖夸克物質(zhì)的化學(xué)勢,g是強(qiáng)相互作用的耦合常數(shù).基于準(zhǔn)粒子模型的零溫零磁場情況下色味鎖夸克物質(zhì)的熱力學(xué)勢密度可以寫為

式中的Δ有別于奇異夸克物質(zhì)熱力學(xué)勢密度的結(jié)果,是色味鎖夸克物質(zhì)特有的能隙常數(shù),這里作為手?jǐn)[參數(shù)引入(需要說明的是,色味鎖的能隙常數(shù)在強(qiáng)磁場下會隨著磁場的增加而進(jìn)行振蕩,進(jìn)而影響色味鎖夸克物質(zhì)的物態(tài)方程與色味鎖磁星的性質(zhì).由于本文討論的磁星內(nèi)部磁場強(qiáng)度所引起的能隙常數(shù)以及其他物理量(如有效夸克質(zhì)量)的振蕩現(xiàn)象較小,所以這里將色味鎖能隙考慮為手?jǐn)[常數(shù)調(diào)節(jié));Ωi為每種粒子對熱力學(xué)勢密度的貢獻(xiàn),可以寫為

其中g(shù)i=6 是每味夸克的簡并度;Bm為夸克禁閉所具有的真空負(fù)壓項;Bi(μi) 是夸克的有效質(zhì)量化學(xué)勢相關(guān)產(chǎn)生的附加項,表達(dá)式可寫為Bi(μi)=此附加項的計算需要特別注意細(xì)節(jié),保證熱力學(xué)自洽.這里需要說明,由于零溫色味鎖夸克星物質(zhì)中的奇異夸克有效質(zhì)量不大,所以在文獻(xiàn)[25,38,88]以及后續(xù)的零溫色味鎖夸克星工作中,科研工作者們通過 small-Ms展開得到的熱力學(xué)勢密度等熱力學(xué)量在零溫色味鎖情況的附加項中只包括能隙常數(shù)Δ的二次冪項.若考慮有限溫度等更復(fù)雜的情況,在自由能密度、熱力學(xué)密度等特性函數(shù)中需要考慮能隙常數(shù)的四次冪貢獻(xiàn)[89],在接下來的色味鎖原生星工作中我們會進(jìn)行相關(guān)計算與討論.零溫色味鎖夸克物質(zhì)的粒子數(shù)密度可以寫為

這里kf是費米動量,μ的具體表達(dá)式為

可見三味夸克的化學(xué)勢在色味鎖態(tài)是相同的,這意味著色味鎖夸克物質(zhì)不含輕子,三味夸克的粒子數(shù)密度也相等,這是色味鎖相的特點.因此在之后的色味鎖磁星與色味鎖奇異星的計算中,不討論輕子的貢獻(xiàn).

色味鎖情況下的壓強(qiáng)可以通過熱力學(xué)關(guān)系得到:

總能量密度為

由于致密星體中孕育著強(qiáng)磁場,表面磁場可以達(dá)到 1014—1015G,內(nèi)部磁場甚至有可能高達(dá)1019—1020G[45],有觀點指出如此強(qiáng)的磁場可能是由包括夸克在內(nèi)的費米子的自旋極化引起的[90].若在強(qiáng)磁場下考慮色味鎖態(tài),夸克物質(zhì)會處于MCFL 態(tài),此時強(qiáng)磁場作用下夸克物質(zhì)的每味夸克的不同色自由度對應(yīng)的夸克電性會產(chǎn)生“旋轉(zhuǎn)、重新分配”現(xiàn)象[91-94],此時強(qiáng)磁場下不同色的同味夸克的電荷會重新賦值,于是考慮色味鎖夸克物質(zhì)的強(qiáng)磁場下的熱力學(xué)勢密度可以寫為

這里Ωcharged和Ωneutral為強(qiáng)磁場下重新分配電荷的夸克貢獻(xiàn),前者為帶電部分的熱力學(xué)勢密度,后者為不帶電部分的熱力學(xué)勢密度(相應(yīng)推導(dǎo)可參照零磁場下色味鎖夸克物質(zhì)結(jié)論).MCFL 態(tài)中帶電夸克的Ωi可以寫為

這里αν=2-δν,0,磁場設(shè)為z方向[46,47],每個色自由度的不同味夸克的費米能可以寫為

其中si(ν,B)引入強(qiáng)磁場后物理量會有朗道能級求和,νmax為朗道能級上限,定義為

這里的int[ ··· ]是求和函數(shù).

于是MCFL 夸克物質(zhì)中帶電夸克部分的總能量密度可以寫為

其中,B2/2 為磁場對能量密度的貢獻(xiàn).

由于強(qiáng)磁場會破壞O(3) 對稱性,磁場中的帶電夸克部分的壓強(qiáng)會劈裂為與磁場方向平行的縱向壓強(qiáng)P//以及與磁場方向垂直的橫向壓強(qiáng)P⊥[45,95-97],推導(dǎo)結(jié)果為

這里M=-?Ω/?B表示系統(tǒng)磁化率.

3 計算結(jié)果

3.1 強(qiáng)磁場下色味鎖夸克物質(zhì)熱力學(xué)性質(zhì)

利用第2 節(jié)的零磁場與強(qiáng)磁場下色味鎖夸克物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)的理論推導(dǎo)結(jié)果,本節(jié)給出相應(yīng)的夸克物質(zhì)與夸克星的計算結(jié)果.這里選定的準(zhǔn)粒子模型的 參數(shù)為g=2,MeV,定義為g-2.可以利用這組參數(shù)在零溫零磁場情況下描述大質(zhì)量致密星體PSR J0348+0432 (質(zhì)量為2.01±0.04 M⊙)為奇異夸克星(奇異夸克物質(zhì)組成),并滿足奇異夸克物質(zhì)的絕對穩(wěn)定調(diào)節(jié)[66].接下來基于g-2 這套參數(shù),調(diào)節(jié)色味鎖能隙常數(shù)Δ,進(jìn)而計算強(qiáng)磁場下色味鎖夸克物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì).

圖1 與圖2 中描述的分別是Δ=50 MeV與Δ=100MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的能量密度隨重子數(shù)密度與磁場的變化.從兩幅圖可以發(fā)現(xiàn),固定磁場強(qiáng)度下,色味鎖夸克物質(zhì)的能量密度會隨著重子數(shù)密度的增加而增大;固定重子數(shù)密度時,夸克物質(zhì)的能量密度會隨著磁場強(qiáng)度的增加而增大,這反映了磁場與重子數(shù)密度對能量密度的增益效果.當(dāng)Δ從50 MeV 增加到 100 MeV 時,可以發(fā)現(xiàn)固定磁場強(qiáng)度、重子數(shù)密度情況下的能量密度會隨著Δ的增加而減少,這說明考慮色味鎖情況下,系統(tǒng)的總能量密度相對于奇異夸克物質(zhì)情況會下降,可見色味鎖夸克物質(zhì)可能是比奇異夸克物質(zhì)更穩(wěn)定的QCD 基態(tài)的候選者.文獻(xiàn)[98]指出,在確定磁場強(qiáng)度和重子數(shù)密度情況下致密星體內(nèi)部可能存在其他的spin-one 色超導(dǎo)態(tài)物質(zhì),其穩(wěn)定性可能會比色味鎖夸克物質(zhì)更強(qiáng),我們會在后續(xù)工作中繼續(xù)探討研究.

圖1 Δ=50 MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的能量密度隨重子數(shù)密度與磁場的變化Fig.1.Energy density of CFL quark matter as functions of baryon density and magnetic field with Δ=50 MeV.

圖2 Δ=100 MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的能量密度隨重子數(shù)密度與磁場的變化Fig.2.Energy density of CFL quark matter as functions of baryon density and magnetic field with Δ=100 MeV.

圖3 與圖4 分別計算了Δ=50 MeV與Δ=100MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的壓強(qiáng)隨重子數(shù)密度與磁場的變化.從兩幅圖可以看到,在固定重子數(shù)密度的情況下,色味鎖夸克物質(zhì)的壓強(qiáng)會隨著磁場強(qiáng)度的增加而發(fā)生劈裂(橫向壓強(qiáng)大于縱向壓強(qiáng)),同時壓強(qiáng)的各向異性程度也會在固定磁場的情況下隨著重子數(shù)的增加而變大.對比圖3 與圖4 還可以看出橫向壓強(qiáng)P⊥與縱向壓強(qiáng)P//都會隨著能隙常數(shù)Δ的增加而增加,說明Δ會使得色味鎖夸克物質(zhì)的物態(tài)方程變硬,越大的Δ可能支持越大質(zhì)量的夸克星.

圖3 Δ=50 MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的壓強(qiáng)隨重子數(shù)密度與磁場的變化Fig.3.Pressure of CFL quark matter as functions of baryon density and magnetic field with Δ=50 MeV.

圖4 Δ=100 MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的壓強(qiáng)隨重子數(shù)密度與磁場的變化Fig.4.Pressure of CFL quark matter as functions of baryon density and magnetic field with Δ=100 MeV.

為了進(jìn)一步厘清壓強(qiáng)的各向異性與磁場、重子數(shù)密度、能隙常數(shù)Δ之間的關(guān)系,定義磁場下因壓強(qiáng)各向異性引入的不對稱度為由于橫向壓強(qiáng)始終大于縱向壓強(qiáng),所以δP的下限為零,對應(yīng)零磁場的情況.如果縱向壓強(qiáng)為負(fù)值,δP會遠(yuǎn)大于零.圖5 計算了Δ=50 MeV和Δ=100MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的壓強(qiáng)不對稱度隨磁場的變化,固定重子數(shù)密度為 0.5 fm-3(此重子數(shù)密度大于飽和密度且小于大多數(shù)致密星的中心密度).可以發(fā)現(xiàn)對于確定的能隙常數(shù),δP會隨著磁場的增加而增大,說明壓強(qiáng)的各向異性與磁場強(qiáng)度正相關(guān).當(dāng)固定磁場時,可以發(fā)現(xiàn)Δ=50 MeV的δP取值要大于Δ=100 MeV 的壓強(qiáng)不對稱度,并且Δ=50 MeV 情況下δP隨著磁場增加的幅度也略微大于Δ=100 MeV 的壓強(qiáng)不對稱度的增加量,如當(dāng)磁場增加到 4×1014T 時,Δ=50 MeV情況對應(yīng)的δP增加到9.81,而Δ=100 MeV的δP只增加到8.66.可以發(fā)現(xiàn),對比奇異夸克物質(zhì),考慮色味鎖態(tài)并增加能隙常數(shù)Δ可以降低強(qiáng)磁場下夸克物質(zhì)壓強(qiáng)的各向異性.

圖5 Δ=50 MeV和Δ=100 MeV 時色味 鎖夸克物質(zhì)的壓強(qiáng)不對稱度隨磁場的變化Fig.5.Pressure anisotropy of CFL quark matter as functions of magnetic field with Δ=50,100 MeV.

圖6 繪制了Δ=50 MeV和Δ=100 MeV 時色味鎖夸克物質(zhì)的u,d,s 三味夸克有效質(zhì)量隨磁場強(qiáng)度的變化規(guī)律,重子數(shù)密度固定為 0.5 fm-3.從圖中可以看出,在磁場強(qiáng)度B＜1014T 的區(qū)域,u,d,s 三味夸克的有效質(zhì)量保持基本穩(wěn)定,每味夸克的有效質(zhì)量會隨著能隙常數(shù)Δ的增加而減少.當(dāng)磁場強(qiáng)度大于 1014T 時,由于強(qiáng)磁場引入后的朗道能級求和上限隨著磁場強(qiáng)度的增加而下降,故u,d,s 三味夸克的有效質(zhì)量會產(chǎn)生“振蕩”現(xiàn)象,此現(xiàn)象會隨著磁場強(qiáng)度的增加而逐漸明顯.在振蕩現(xiàn)象發(fā)生后,Δ=100 MeV 情況每味夸克的有效質(zhì)量亦小于Δ=50 MeV 情況對應(yīng)的夸克有效質(zhì)量;從圖6 還能發(fā)現(xiàn),能隙常數(shù)Δ越大,u,d,s 三味夸克的有效質(zhì)量隨磁場增加而產(chǎn)生的振蕩波動越小.

圖6 Δ=50 MeV和Δ=100 MeV 時u,d,s 三味夸 克的有效質(zhì)量隨磁場的變化規(guī)律Fig.6.Equivalent quark mass for u,d,and s quarks as functions of magnetic fields B with Δ=50 MeV and Δ=100MeV.

圖7為Δ=50 MeV和Δ=100 MeV 時u,d,s 三味夸克的化學(xué)勢隨磁場的變化規(guī)律,重子數(shù)密度固定為 0.5 fm-3.可以發(fā)現(xiàn)夸克的化學(xué)勢在Δ=100 MeV 時的取值要小于Δ=50 MeV 情況對應(yīng)的夸克化學(xué)勢.這個現(xiàn)象產(chǎn)生的原因在于色味鎖態(tài)下夸克物質(zhì)的能量密度會隨著能隙常數(shù)的增加而下降,系統(tǒng)相對于奇異夸克物質(zhì) 的情況會更加穩(wěn)定,故化學(xué)勢降低.這同時也解釋了色味鎖態(tài)下準(zhǔn)粒子模型的有效夸克質(zhì)量隨著能隙常數(shù)增加而減少的原因.隨著磁場逐漸增加,夸克的化學(xué)勢出現(xiàn)了和圖6 中夸克有效質(zhì)量類似的情況,當(dāng)磁場強(qiáng)度大于 1014T 時,u,d,s 三味夸克的化學(xué)勢也產(chǎn)生了振蕩現(xiàn)象.當(dāng)固定磁場強(qiáng)度、增加能隙常數(shù)Δ時,u,d,s 三味夸克的化學(xué)勢的振蕩波動也會減少.

圖7 Δ=50 MeV和Δ=100 MeV 時u,d,s 三味夸 克的化學(xué)勢隨磁場的變化規(guī)律Fig.7.Chemical potential of u,d,and s quarks as functions of magnetic fields B with Δ=50 MeV and Δ=100 MeV.

4 夸克星計算結(jié)果

接下來利用色味鎖夸克物質(zhì)來計算色味鎖夸克星的相關(guān)性質(zhì).零溫色味鎖夸克星的性質(zhì)需要利用色味鎖夸克物質(zhì)的能量密度與壓強(qiáng),按照中心密度逐漸輸出質(zhì)量半徑關(guān)系,在這里需要求解Tolman-Oppenheimer-Volkov (TOV)方程[99]：

這里M(r) 為致密 星質(zhì)量,r是星體半徑,ε(r)和p(r)分別是能量密度和壓強(qiáng)密度,這里可以使用色味鎖夸克物質(zhì)的物態(tài)方程.

磁星是由強(qiáng)磁場來提供輻射能量的,部分磁星會向外釋放中等或者巨型的X 射線波段和軟γ射線波段的閃耀,會瞬時向外迸發(fā)巨大的能量,故實驗上觀測到的此類星體可作為磁星的候選者[100].在中子星核子相的電子簡并壓強(qiáng)研究中,高志福等[101]給出了超強(qiáng)磁場下的相對論電子壓強(qiáng)表達(dá)式;在之后的工作中[90],人們利用修正電子壓強(qiáng)討論了超強(qiáng)磁場下費米子自旋極化的現(xiàn)象.致密星體孕育在強(qiáng)磁場中,磁場下的夸克星性質(zhì)的計算還需要考慮磁星內(nèi)部磁場的強(qiáng)度的分布.由于從磁星中心到表面的磁場強(qiáng)度會隨著星體徑向方向從內(nèi)而外降低,所以這里采用密度相關(guān)磁場來描述磁星內(nèi)部磁場強(qiáng)度的分布[46,47,50,51],可以寫為

其中,磁星表面磁場定義為Bsurf=1×1014G,n0為核物質(zhì)飽和密度,B0是調(diào)節(jié)磁星內(nèi)部磁場強(qiáng)度的參考磁場(略大于磁星中心磁場取值).通過β0和γ來調(diào)節(jié)磁星內(nèi)磁場的重子數(shù)密度依賴,從而粗略模擬出磁星內(nèi)部磁場強(qiáng)度分布.在我們之前的工作中[102]通過反復(fù)比對發(fā)現(xiàn),γ=3,β0=0.001 這套參數(shù)可以給出比較合理且平滑的磁星內(nèi)磁場對重子數(shù)密度的依賴性.磁場的參考參數(shù)選取為B0=4×1018G,發(fā)現(xiàn)基于此套參數(shù)計算的磁星最大質(zhì)量中心密度處的磁場約為B=1×1018G,是比較合理的(我們定義此套參數(shù)為fast-B profile),所以在此工作的色味鎖夸克物質(zhì)磁星內(nèi)部磁場強(qiáng)度計算沿用了這套參數(shù).

對于磁星內(nèi)部磁場方向分布,使用先前工作中[102]定義的兩種磁星內(nèi)部磁場方向的極端分布方案:1)假定內(nèi)部磁場沿徑向從星體一端穿出、從另一極繞回,保證了磁場的無源性(由于磁星表面磁場強(qiáng)度非常低,可以忽略其表面磁場效應(yīng)以及星體外部磁場的磁效應(yīng)),這里定義為“徑向磁場”情況;2)假定星體內(nèi)部磁場分布在垂直于徑向的平面內(nèi)隨機(jī)分布,可定義為“橫向磁場”情況.本文將利用這兩種極端磁場方向分布方案求解色味鎖磁星的性質(zhì).

圖8 計算了強(qiáng)磁場與零磁場下色味鎖相夸克星質(zhì)量半徑關(guān)系,分別給出了g-2 參數(shù)下零磁場奇異夸克物質(zhì)、色味鎖夸克物質(zhì)(Δ=50 MeV和Δ=100MeV)分別對應(yīng)的夸克星質(zhì)量半徑關(guān)系.在強(qiáng)磁場下,選用了fast-B profile,給出了橫向磁場與徑向磁場對應(yīng)的Δ=100 MeV 情況下的質(zhì)量半徑關(guān)系.圖8 中加入了最近實驗觀測和模擬的致密星體質(zhì)量-半徑限制.其中和M=2.08±0.07 M⊙的灰色區(qū)域為PSR J0740+6620 給定的質(zhì)量半徑范圍約束[10],青色的質(zhì)量半徑區(qū)域來自于 PSR J0030+0451[103]的數(shù)據(jù),粉紅色的區(qū)域是HESS J1731-347[104]定義的范圍.圖中的藍(lán)色區(qū)域是LIGO/Virgo 合作組發(fā)布的GW 190814 的伴隨天體 m2的質(zhì)量范圍[11]2.50 M⊙—2.67 M⊙,可能是目前觀測到的超大質(zhì)量致密星.從圖8 中的質(zhì)量半徑曲線可以看出,考慮了色味鎖夸克物質(zhì)之后,色味鎖夸克星的質(zhì)量與半徑相比于同g-2 參數(shù)的奇異夸克物質(zhì)夸克星都有了顯著增加.從圖8 還可以發(fā)現(xiàn),g-2 參數(shù)對應(yīng)的奇異夸克星的質(zhì)量為2.01 倍太陽質(zhì)量,能在零溫零磁場情況下描述大質(zhì)量致密星體PSR J0348+0432 (質(zhì)量為 2.01±0.04 M⊙)為奇異夸克星.本文考慮色味鎖夸克物質(zhì)后,零磁場情況下的色味鎖夸克星的最大質(zhì)量分別達(dá)到了2.17 M⊙(Δ=50 MeV)與 2.51 M⊙(Δ=100 MeV).這與之前我們在零磁場壓強(qiáng)的色味鎖情況下得到的隨能隙常數(shù)的增加而增加的結(jié)果相呼應(yīng).圖8 中還發(fā)現(xiàn)零磁場情況下,奇異夸克物質(zhì)的夸克星的質(zhì)量半徑關(guān)系無法通過所有列舉的質(zhì)量半徑限制,而色味鎖夸克星在Δ=50,100 MeV 時即可通過所有列舉的質(zhì)量半徑約束范圍的左邊界(Δ=100 MeV時夸克星的質(zhì)量半徑曲線在通過所有的質(zhì)量半徑約束的情況下還可以描述 GW190814 的伴隨天體m2為夸克星).在Δ=100 MeV、強(qiáng)磁場情況下,選取γ=3,β0=0.001,B0=4×1018G 時,發(fā)現(xiàn)橫向磁場對應(yīng)的磁星最大質(zhì)量可以達(dá)到 2.57 M⊙,縱向磁場的最大質(zhì)量則降低至 2.46 M⊙.這個現(xiàn)象產(chǎn)生的原因可以通過前面分析的色味鎖夸克物質(zhì)的橫向或縱向壓強(qiáng)會隨著磁場強(qiáng)度的增大而增加或減少的結(jié)論進(jìn)行解釋.為了體現(xiàn)出磁星內(nèi)部磁場方向的兩種極端分布造成的磁星最大質(zhì)量的劈裂程度,定義磁星最大質(zhì)量的不對稱度為δm=其中橫向磁場情況與縱向磁場情況給出的磁星最大質(zhì)量分別為M⊥和M//.可以發(fā)現(xiàn)在選取γ=3,β0=0.001,B0=4×1018G時磁星最大質(zhì)量的不對稱度達(dá)到 4%,可以得出在色味鎖情況下磁星的最大質(zhì)量與磁星內(nèi)部的方向分布關(guān)系緊密,磁星的最大質(zhì)量會隨著橫向磁場情況或縱向磁場情況而增加或減少.

圖8 磁場與零磁場下色味鎖相夸克星質(zhì)量半徑關(guān)系Fig.8.Mass-radius relation of QSs with CFL quark phase under magnetic fields.

圖9 進(jìn)一步計算了奇異夸克星、色味鎖夸克星(Δ=50 MeV和Δ=100 MeV)隨B0的變化.討論了橫向磁場與徑向磁場兩種情況,從圖中可看出,磁星最大質(zhì)量會隨著Δ的增加而增加,色味鎖情況下的磁星質(zhì)量大于奇異夸克星的磁星質(zhì)量.可以發(fā)現(xiàn)在B0=2×1017G 之后磁星的橫向與縱向情況對應(yīng)的最大質(zhì)量逐漸開始劈裂,當(dāng)B0=4×1018G 時,色味鎖夸克星在Δ=50 MeV和Δ=100MeV 兩種情況下的磁星最大質(zhì)量不對稱度分別達(dá)到 5%與4% .此時以Δ=100 MeV 情況的縱向磁場與橫向磁場最大質(zhì)量為例,在B0=4×1018G 時,色味鎖磁星縱向與縱向磁場的最大質(zhì)量情況對應(yīng)的中心磁場分別為Bc=6.2×1017G與Bc=5.8×1017G,密度相關(guān)磁場會從磁星中心到表面迅速降低磁場強(qiáng)度.

圖9 奇異夸克星與色味鎖相磁星最大質(zhì)量隨磁場的變化關(guān)系Fig.9.Maximum star mass of magnetars as a function of magnetic field B0 with SQM and CFL quark phase by considering transverse magnetic field orientation and longitudinal orientation.

表1 列出了色味鎖磁星(B0=4×1018G)在不同磁場方向分布情況下磁星最大質(zhì)量中心密度、1.4 倍太陽質(zhì)量潮汐形變率隨Δ的變化.從表中可以發(fā)現(xiàn),磁星最大質(zhì)量所對應(yīng)的中心密度會隨著能隙常數(shù)Δ的增加而減少;徑向磁場情況的磁星最大質(zhì)量的中心密度要大于橫向磁場對應(yīng)的磁星最大質(zhì)量中心密度,且兩種磁星內(nèi)部磁場方向極端分布的最大質(zhì)量中心密度的差值也會隨著Δ的增加而減少.在引力波潮汐形變Λ1.4的計算結(jié)果中,發(fā)現(xiàn)潮汐形變率會隨著Δ的增加而增加,縱向磁場情況的潮汐形變率要小于橫向磁場情況的潮汐形變率.

表1 不同磁場方向分布情況下( B0=4×1018 G)磁星最大質(zhì)量中心密度、1.4 倍太陽質(zhì)量潮汐形變率隨Δ 的變化Table 1.The central density and tidal deformability of the magnetars considering “radial orientation”and “transverse orientation” at B0=4×1018 G with g-2 within quasiparticle model with different Δ.

5 總結(jié)

本文討論了零溫、零磁場下基于準(zhǔn)粒子模型的奇異夸克物質(zhì)、色味鎖夸克物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì).發(fā)現(xiàn)色味鎖夸克物質(zhì)比奇異夸克物質(zhì)在同樣的模型參數(shù)下更穩(wěn)定.零磁場與強(qiáng)磁場下的壓強(qiáng)皆會隨著能隙常數(shù)的增加而增加,并會進(jìn)一步支持 更大質(zhì)量的致密星體.考慮色味鎖態(tài)得到的夸克星質(zhì)量-半徑關(guān)系可以通過最近的實驗觀測和模擬所給出的大部分質(zhì)量、半徑約束區(qū)域.色味鎖夸克物質(zhì)的u,d,s 三味夸克的有效質(zhì)量和化學(xué)勢皆會隨著能隙常數(shù)的增加而降低,符合色味鎖情況下系統(tǒng)穩(wěn)定性提升的結(jié)論;結(jié)果還表明隨著能隙常數(shù)的引入,強(qiáng)磁場下物理量的“振蕩”幅度會在色味鎖態(tài)下減少,說明色味鎖態(tài)可以降低強(qiáng)磁場下的磁場效果.磁星的最大質(zhì)量和潮汐形變率會隨著磁星方向分布的選擇而發(fā)生變化.其中潮汐形變率會隨著能隙常數(shù)的增加而增加,磁星最大質(zhì)量對應(yīng)的中心密度會隨著能隙常數(shù)的增加而降低.

綜合以上觀點,結(jié)果表明色味鎖態(tài)的引入在零磁場與強(qiáng)磁場情況下對夸克物質(zhì)的物態(tài)方程、有效質(zhì)量、化學(xué)勢等物理量影響很大;考慮色味鎖態(tài)得到的奇異星與磁星質(zhì)量半徑關(guān)系可以滿足最近實驗觀測PSR J0740+6620,PSR J0030+0451,和 HESS J1731-347 所給出的質(zhì)量半徑約束.在后續(xù)的工作中,我們會研究有限溫度色味鎖夸克星與磁星的情況,本文的零溫條件下磁星內(nèi)部磁場強(qiáng)度與方向的分布可以為今后求解色味鎖原生磁星的工作提供冷卻階段終點的結(jié)果.