改進型PID算法在磁懸浮控制系統中的應用

張倫生 趙科杰 陳澍國

（珠海格力電器電機系統技術研究院 珠海 519070）

引言

磁浮軸承由于具有無接觸和不需要潤滑和密封等一系列優良品質，從根本上改變了傳統的支承型式。它在能源交通、機械工業、航空航天、機器人等高科技領域具有廣泛的應用前景。磁懸浮軸承是涉及機械結構學、轉子動力學、控制系統、電磁學等多方面技術，是典型的機電一體化系統。

磁懸浮軸承原理是通過線圈通電產生磁力作用在轉軸上使轉子懸浮，通常采用PID算法實現壓縮機靜態和旋轉部件間無任何機械接觸，保證磁懸浮壓縮機穩定運行。當轉子受到外界擾動力干擾，會產生位移波動，這時PID算法會通過位移反饋來自動調節控制電流輸出，使轉子懸浮位置趨于穩定。但是在實際的應用中，常規的PID控制算法存在一些弊端，例如，存在實時參數可調性差、抗干擾能力較弱和容易超調等問題。針對上述問題，本文提出一種更適用于磁懸浮軸承控制系統的改進型PID控制算法，并對其進行仿真研究分析和應用。

1 常規PID磁懸浮控制算法

1.1 單自由度磁懸浮控制原理

一個簡單主動磁懸浮軸承的組成部分及其功能一個典型的主動磁軸承是由轉子、電磁鐵、傳感器、控制器和功率放大器組成。傳感器檢測出轉子偏移參考點的位移，作為控制器的微處理器將檢測的位移信號變換成控制信號，然后功率放大器將這一控制信號轉換成控制電流，控制電流在執行磁鐵中產生磁力從而使轉子維持其懸浮位置不變，如圖1所示。

圖1 單自由度磁懸浮控制簡圖

1.2 常規PID算法的磁懸浮控制仿真模型

常規PID算法主要由比例、積分和微分環節組成，誤差通過三個環節，產生不同作用的控制量，將三個控制量相加得到總控制量，就可以達到控制的目的。傳統的PID算法輸出時域表達式為：

根據上式，寫成差分方程，即：

在磁懸浮控制系統中，可以通過PID控制算法來實現轉子的懸浮，依據磁懸浮軸承的控制系統結構，運用MATLAB/SIMULINK仿真軟件可搭建出常規PID控制策略的控制系統結構框圖，如圖2所示。

圖2 常規PID控制策略仿真模型

2 改進型PID磁懸浮控制算法

改進型PID控制算法主要在比例控制環節、積分控制環節以及微分控制環節進行優化，使其更適用于磁懸浮軸承控制系統，以提高系統的動態響應性能、抗干擾能力和防止控制超調。改進型PID控制算法的表達式如下：

上述算法主要包括變速比例控制環節，梯形積分控制環節以及改進型微分控制環節。

2.1 變速比例控制環節

變速比例控制環節是在常規的比例環節中加入對誤差大小的判斷與分析，相對應地補償比例控制環節，以提高系統的響應速度。特別是當磁懸浮轉子受到較大干擾或者處于起浮階段的時候，轉子位移誤差比較大，此時變速比例控制環節會放大比例控制參數，縮短系統響應時間，及時消除擾動對磁懸浮軸承的影響；當磁懸浮轉子懸浮穩定之后或者受到的干擾較小，此時變速比例控制環節會減小比例控制參數，使磁懸浮控制系統的輸出小于補償前控制系統的輸出，以避免過度調節造成振蕩，縮小調節時間，增強魯棒性，具體的表達式如下:

將其離散化可得：

式中：

β—補償系數；

A、B、C和D—人為設定的參數且A＜B。

在磁懸浮控制器的軟件編程應用中可以按如下流程實現該功能，如圖3所示。

圖3 變速比例控制流程圖

2.2 改進型積分控制環節

在PID算法中，積分項就是對誤差的積累，它的作用就是為了消除穩態誤差，故而提高積分項的運算精度能更好的提高磁懸浮軸承的控制精度。在實際的磁懸浮軸承控制器編程應用中，對于積分運算通常使用累加的形式，也就是矩形積分，即如下算式：

但是上述式子在PID算法中并不是這樣的，這就要從最原始的PID算法開始說起，其表達是如下：

將其離散化，我們將時間t當做一個時刻，即第一時刻，第二時刻，第三時刻，用k表示，相鄰兩個時刻之間的時長為T，比如說T=1s，那么第一時刻即k=1時表示第一秒，第二時刻即k=2時表示第二秒，于是：

但是，從嚴格意義上積分項應該為：

在磁懸浮軸承控制器的軟件編程中，為方便編程計算，把系數項全部整合在一塊，稱之為積分系數，所以就把T省略了。積分從圖像上來看，其本質就是求面積。因此在控制器編程中計算積分的思路就是把圖形劃分為寬度為T高度為e(n)的 n個等份，然后將所有矩形面積相加便可近似為求積分的過程。T越小矩形面積和越接近于積分運算，但在磁懸浮控制工程中，T不可能太小，因為T實際上就是位移信號的采樣時間，也是PID的計算周期，T過小會加大控制器的運算負擔。所以這樣的計算方式精度較低，誤差大，對于高精度的磁懸浮軸承控制系統，會產生較大的負面影響，降低轉子的懸浮精度。假設偏差error在某段時間服從函數error=-a*t+b，如圖4所示。

圖4 函數error=-a*t+b

那么積分運算就是指：

由此可知，每個矩形上面陰影部分的三角形都參與了計算，這使得積分環節運算的精度大大降低，為避免出現過大的誤差或者進一步提高控制的精度，引入改進型積分控制環節，只計算error曲線以下的部分，即梯形的面積，表達式如下：

當偏差error不服從線性關系，或者是其他一些曲線，所以不會像示例中那般毫無誤差，仍會有些許誤差無法計算到，但是磁懸浮軸承控制器的程序運算的精度已經得到了很大的改善，所以在程序應用中我們可以把控制磁懸浮位移的積分項改為：

2.3 改進型微分控制環節

在微分控制中，磁懸浮軸承控制器的輸出與輸入誤差信號的微分（即誤差的變化率）成正比關系。可在誤差信號出現之前就起到修正誤差的作用,有利于提高輸出響應的快速性,減小被控量的超調和增加系統的穩定性，常規的微分項表達式為：

由上式可知，微分項的變化量主要和當前的誤差與上一次的誤差的差值有關。在磁懸浮控制系統中，為防止停浮控制時，軸承轉子直接下落導致軸承損傷，往往采用緩慢停浮控制方式，逐減改變轉子懸浮的控制位置，直到穩定停浮在軸承底部；或者是在懸浮的過程中，為了避免轉子受到外界擾動，往往需要實時的改變轉子懸浮的控制位置。但在以上控制過程中，由于改變懸浮的控制位置，會直接引入較大誤差變化，微分控制環節出現較大突變，導致控制出現較大超調紋波。對此，我們可以用，即使因改變參考位置出現較大誤差也不會直接影響到微分項，該微分項表達式推導如下：

ref(t)為實時參考位置，fdb(t)實時位移信號反饋值輸入，兩者想減就是誤差，當參考位置不變時，，由上式可得：

圖5 改進型微分控制仿真模型

兩種算法的控制參數與轉子模型參數均保持相同，待在轉子懸浮穩定后，改變其控制位置，對比與常規PID的效果，仿真結果如圖6、7所示。

圖6 改進型微分控制的位移信號仿真結果

圖7 常規PID控制的位移信號仿真結果

分析仿真結果，在改變控制位置時，改進型微分控制的控制效果明顯優于常規微分控制，有效減小位移控制超調，防止轉子與軸承發生碰撞。

3 兩種控制策略的實測控制效果分析

將常規PID算法和改進型PID算法分別編寫成程序軟件應用到磁懸浮壓縮機（圖8）的軸承控制系統中，并在轉子的靜態懸浮階段和旋轉階段分別進行實驗，以驗證改進型PID算法的優越性。

圖8 實驗用磁懸浮壓縮機

3.1 靜態懸浮階段的控制效果分析

控制轉子懸浮到指定的位置，這個過程必定會引入一個較大的誤差，這時變速比例控制環節會根據此誤差來選擇不同放大比例系數，改進型積分控制環節會使積分控制更加精準細膩，加快響應速度，另外改進型微分控制環節會大大減小控制的位移超調，兩種算法的靜態懸浮階段的控制效果如圖9、10。

圖9 常規PID算法的靜態位移信號波形

圖9和圖10均為采集的位移電壓信號波形圖，由實驗結果可知，采用常規PID算法的響應時間為84 ms，超調量明顯；采用改進型PID算法的響應時間僅為25 ms，基本上無超調量。

圖10 改進型PID算法的位移信號波形

3.2 旋轉階段的控制效果分析

當轉子懸浮穩定后，電機控制轉子旋轉，這時轉子在旋轉的過程中會產生位移波動，試驗中采集了兩個方向（轉子的前端與后端）的位移信號以分析驗證改進型PID算法的動態響應性能，兩種算法的旋轉階段的控制效果如圖11、12。

圖11 常規PID算法的動態位移信號波形

由圖11和圖12的實驗結果可知，采用常規PID算法的前端位移電壓信號波動為330 mv，采用常規PID算法的前端位移電壓信號波動為208 mv，而位移電壓信號直接反映了轉子懸浮的精度，所以，相對于常規PID算法，在相同轉速下，轉子的懸浮精度提高了約37 %。

圖12 改進型PID算法的動態位移信號波形

4 結束語

本文深入研究了改進型PID算法控制的工作原理以及對磁懸浮軸承性能的影響，提出了該算法的應用方法，并將改進型PID控制策略應用到磁懸浮壓縮機的軸承控制系統中，通過與常規PID控制算法進行對比分析，可以得出采用改進型PID控制算法可以加快控制的響應速度，大幅度降低位移超調量，提高旋轉時的動態懸浮精度的結論。