各向異性電離層中沿地磁場取向有限長柱體目標的近場散射

林朱紅 顧婷婷

（1.浙大城市學院, 杭州 310015；2.浙江大學信電學院, 杭州 310027；3.毫米波全國重點實驗室, 南京 210096）

0 引 言

電離層是指從離地面約50 km開始一直伸展到約1 000 km高度的地球高層大氣空域[1]。由于電離層中存在相當多的自由電子和離子，其能改變無線電波的傳播速度，使之發生折射、反射和散射，產生極化面的旋轉和受到不同程度的吸收。根據2005年提出的國際參考電離層(International Reference Ionosphere，IRI) 參數模型，電離層中電子密度、粒子濃度等環境要素在垂直方向上，隨高度發生劇烈變化。隨著觀察高度的增加，電離層區域可細分為D層、E層和F層等區域。其中，F區電離層主要指120 km以上直到數百甚至上千千米的區域，也是電離層散射通信的主要區域。

早在20世紀60年代前后，國外學者便展開了關于電離層中的散射理論研究，例如等離子體散射[2]、等離子鞘套散射[3-4]、層狀介質體散射[5]等。國內研究機構相繼出版和影印了不均勻介質中電磁波輻射、散射和繞射等系列經典專著[6-7]。近年來，甚低頻(very low frequency，VLF)電磁波理論在對流層通信[8-9]、電離層調制[10]和衛星探測[11]等方面的應用地位越來越重要，國內學者和研究機構也展開了VLF電磁波在電離層中的輻射[12]和傳輸特性分析[13-14]以及調制激勵的理論機制和計算方法研究[15-16]，但有關電離層中目標探測和VLF電磁波散射的理論分析和計算研究相對較少。盡管自由空間規則物體的電磁波散射理論已非常成熟，例如方形柱體散射[17-19]和有限長介質柱體散射[20-21]等，但由于VLF電磁波在各向異性電離層中的傳播特性受到磁場強度、地磁傾角、地理緯度和太陽天頂角等多種環境因素影響[22]，其電磁散射機理研究更為復雜。采用常用的數值方法可求解不規則、不均勻散射體在復雜環境中的電磁散射問題，但缺乏物理機理的解釋[23-24]。事實上，散射的本質即為二次天線輻射問題。近年來，星載VLF天線在F區電離層中的輻射特性研究得到了國內外學者的關注和認可。最新發表的各向異性電離層中VLF天線理論研究表明，電離層中的星載VLF天線能激勵不同模式的表面電流[25-30]，目前已得到電離層中線天線、環天線和帶狀天線的表面電流分布和輸入阻抗。

本文沿用文獻[25-30]中的參數模型和相關表面電流公式，進一步分析各向異性電離層環境中VLF波對有限長柱體的散射作用。受地磁場的影響，電離層除了呈現明顯的各向異性，還隨高度、地磁傾角等因素發生變化，考慮目標的尺寸遠小于電離層變化的尺度且求解范圍在近區，可近似地將電離層看作各向異性等離子體構成的均勻介質空間。通過對均勻各向異性電離層中沿地磁場取向有限長柱體目標的近場散射分析，本文所提供的計算方法和數值結果為運用VLF波實現電離層中散射通信和目標探測奠定了基礎。

1 各向異性電離層中有限長金屬柱體的VLF電磁波近場散射

1.1 各向異性等離子體電離層環境參數模型

如引言所述，本文將電離層近似為均勻的等離子體環境。由于受地磁場影響且在VLF頻段，電離層呈各向異性，且參數隨電離層高度劇烈變化。根據文獻[31]提供的計算方法，復介電常數可寫作如下形式：

式中：常數ε0為自由空間中的介電常數；矩陣I和矩陣M分別為3×3單位矩陣和電極化矩陣。在不同的電離層參數下，矩陣M中各元素Mij(i，j=1, 2, 3)有不同取值(見附錄1)。

若考慮電離層中柱體取向為沿地磁場方向，電極化矩陣可簡化為如下形式：

式中：ν為電離層有效碰撞頻率；ω為角頻率；ω0為等離子體頻率；ωH為電子回旋頻率。

式中：ne為電子密度；me為電子質量；e為電子電荷量；B0為地磁場強度(通常取值為0.025～0.065 mT)。由式(3)角頻率ω定義(ω=2πf)，可知等離子體電離層環境參量還與入射電磁波有關。

1.2 VLF電磁波在電離層中的散射矩陣

當VLF電磁波垂直入射(波矢量垂直于地磁場，入射角為90°，方位角為φ′=0°)金屬柱體時，柱體作為散射體進行二次輻射，激勵產生的散射場不會產生交叉分量。但當平面波斜入射時，入射波中的電型波和磁型波相互耦合。由于各向異性電離層的影響以及邊界條件，散射電磁場將產生交叉極化分量，散射電場分量和磁場分量不再相互分離而相互關聯、耦合。通過散射矩陣可知：

式中：SEE，SHH分別為電型波和磁型波散射系數；SEH，SHE分別為電型波和磁型波交叉散射系數。

同時，平面波在任意傳播方向上有兩個不同極化的特征波存在，即尋常波(O波)和非尋常波(E波)。O波為倏逝波，在所有傳播方向上衰減較快；E波在不超過臨界角(θ=89°)的傳播方向上具有較小衰減率，兩者極化關系滿足如下方程[31]：

由于地磁場的影響， “地-電離層”波導和電離層呈現各向異性；換言之，表示為張量。然而，在真實的電離層中，地磁傾角并非恒定不變的，當其變化時將變為滿元素矩陣。地磁傾角變化會導致O波和E波極化不同，當地磁場方向沿z軸方向時，介電常數張量可直接寫作如下[25-30]：

式中，

根據Appleton-Hartree[21]公式，E波的波數可寫為

1.3 VLF電磁波在有限長金屬柱體附近的散射場

有限長金屬柱體放置在各向異性電離層中的模型如圖1所示。VLF波矢量位于x-z平面，入射角為θ′， 方位角為φ′=0°。首先，本節討論VLF電磁波斜入射有限長金屬柱的近區散射電場和磁場分量。當VLF電磁波斜入射到有限長柱體時，在目標處的入射電場和磁場可寫為

圖1 有限長金屬柱體放置在各向異性電離層示意圖Fig.1 Physical model of a finite-length conducting cylinder in anisotropic ionosphere

式中：z′為入射點垂直分量坐標；E0和H0分別為入射波電場和磁場幅度；ke為入射波的波數(即E波的波數)。

1.3.1 散射場分析

考慮耦合散射場，當VLF電磁波斜入射至有限長金屬柱體時，散射電場和感應電流的關系式為

而散射磁場和感應電流的關系為

式中：I(z′,φ′)為柱體表面產生的感應電流；G(z-z′,φ-φ′)為電離層中核函數，其表達式[32]為

因此，導出如下積分方程：

1.3.2 基于MoM求解有限長金屬柱表面電流分布

在柱坐標系下，根據J=n×H，可知：

當平面波斜入射柱體時，柱體表面將包含z方向的軸向電流以及φ方向的徑向電流。本文考慮柱體長度遠大于半徑，柱體表面主要以軸向電流為主，徑向電流近似均勻緩變。綜合考慮徑向電流和軸向電流分布特征，有限長柱體的表面電流可表示為

令[25]：

式中，ko,z,ke,z分別為軸向電流中O波和E波分量的波數，

令：

式中，Ij(z′,φ′)=IzjIφ(j=1,2,3,4,5,6)。在此情況下，式(11)和式(12)可進一步表示為：

在式(21)和式(22)的兩端同時乘以Ii(z′,φ′)(i=1,2,3,4,5,6)，并對z在-h和h之間進行積分，對φ在0和2π之間進行積分，再聯立式(14)定義的邊界條件，可得：

式中：為入射點處的電流矢量；為待求系數；為6×6矩陣。

式中：下標i,j=1,2,3,4,5,6；“T”表示矩陣的轉置。

2 各向異性電離層中有限長介質柱體的VLF電磁波近場散射

2.1 VLF電磁波在均勻等離子體中的“面元”等效理論分析

本節研究VLF電磁波斜入射位于均勻等離子體中有限長介質柱體的近區散射，如圖2所示。由于介質柱體和金屬柱體的邊界條件不同，當平面波入射金屬柱時，總場的切向分量在邊界處為零。然而，當平面波入射介質柱體時，切向分量不為零，入射場和散射場的和應等于介質柱體的內部場。我們引入面等效原理，具體等效如圖3所示。

圖2 有限長介質柱體放置在各向異性電離層示意圖Fig.2 Physical model of a finite-length dielectric cylinder in the anisotropic ionosphere

圖3 面等效邊界示意圖Fig.3 The schematic of the field equivalent principle

假設一列平面波照射在背景介質?1中的目標體?2上，背景介質?1中的電磁參數為ε1和μ1，而目標體?2的電磁參數為ε2和μ2；?1中電磁場為(E1,H1)，?2中的電磁場為(E2,H2)。面等效原理分為外等效與內等效兩個問題。其中外等效問題求解原理為：將?2中的電磁場替換為零場，即?2中的媒質換成?1中的參量，同時保持?1中的參數不變。同理，對于內等效問題，將?1中的電磁場替換為零場，?1中的參數替換成?2的參數，保持?2中的參數不變。通過面等效原理，進而可計算近區的散射場和目標表面電流。

2.2 斜入射有限長介質柱的VLF近區散射場

假設VLF電磁波斜入射介質柱體時的入射電磁場為式(10) ，則散射電場和內部電場的表達式可寫為

相應地，其散射磁場和內部磁場表達式可寫為

式中：G2(z-z′,φ-φ′)為柱體內部的核函數，表達式為[16]

式中：R=[ρ′2+ρ2-2ρ′ρcos(φ-φ′)+(z-z′)2]1/2；k2d=k02εd。由邊界條件可知：

2.3 基于MoM求解有限長介質柱表面電流分布

根據等效源定義，背景介質和目標體的電流密度關系為

因此，柱體表面電流也存在如下關系：

式中：I1為柱體外表面的感應電流；I2為柱體內表面的感應電流。

則式(25)和式(26)可進一步表示為：

在式(33)～(34)的兩端同時乘以Ii(z′,φ′)(i=1,2,3,4,5,6)，并對z在-h和h之間進行積分，對φ在0和2π之間進行積分，再聯立邊界條件（式(28)），可得

式中，

3 各向異性電離層中沿地磁場取向有限長柱體VLF電磁波近場與耦合散射計算

3.1 VLF電磁波斜入射各向異性電離層中的有限長金屬柱體散射特性

入射電磁波工作頻率均選擇為f= 12.5 kHz；考慮金屬柱體沿地磁場放置，各向異性電離層環境參數依據公式(7)定義的復介電常數；地磁場強度為|B0| = 0.5×10-4T；電離層中的電子密度和電子碰撞頻率分別為ne= 1.4×1012m-3和ν = 103s-1。由公式(4)知：等離子體頻率和磁旋頻率分別為：ω0=6.6×107arcs/s，ωH=8.6×106arcs/s。

根據電型波散射系數SEE和交叉散射系數SEH的定義，圖4給出了不同長度金屬柱體的散射系數和交叉散射系數隨入射角度的變化情況。可以看出，散射系數在數值上遠大于交叉散射系數，隨著入射角度增大，交叉散射系數趨于0，說明由斜入射導致的耦合散射特性在接近垂直入射方向上逐漸減弱。

圖4 散射系數與交叉散射系數隨入射角度的變化Fig.4 The variation of the co- and cross-polarization scattering coefficients vs.different incident angles

圖5對比了各向異性電離層中有限長金屬柱體歸一化表面電流密度差的實部和虛部隨入射角度變化情況。歸一化電流密度差定義為?I/I′=(I-I′)/I′(I表示有耦合，I′表示無耦合)。金屬柱體半徑1.2 m，高31 m，入射角選擇θ′=45°，60°，75°。圖中橫坐標表示入射點位置和柱體長度的比值，縱坐標表示歸一化表面電流密度差?？梢钥闯觯ㄟ^歸一化電流密度差可反映柱體不同高度位置的耦合特性。耦合散射場以改變表面電流分布的方式，除了與環境參數、入射角度等相關，還與柱體形態、觀測位置等因素有關。歸一化電流密度差在柱體四分之一長度處達到最大值，柱體中間處呈最小值。此外，歸一化電流密度差數值較小，說明耦合散射場在總場中占比小。

圖5 有限長金屬柱體的歸一化電流密度差隨入射角度的變化Fig.5 Normalized current density difference (in real and imaginary part) of a finite conducting cylinder varying with different incidence angles

3.2 VLF電磁波斜入射各向異性電離層中的有限長金屬柱體與介質柱體表面電流

圖6給出了斜入射(與z軸夾角依次為θ′=45°，60°，75°)和垂直入射（θ′=89°）時有限長金屬柱體和介質柱體表面的電流分布計算結果。根據2.1節中的面等效理論分析，計算介質柱體的表面電流分布可類比金屬柱體的情況。圖6中實線和虛線分別對應表面電流的實部和虛部，縱坐標表示入射點位置和柱體長度的比值，橫坐標表示表面電流幅度。入射電磁波工作頻率f= 12.5 kHz；暴露在均勻等離子體環境中的金屬柱體和介質柱體半徑均為1.2 m，高度31 m；柱體介質的相對介電常數為3.25。圖6(d)和圖6(h)分別表示VLF電磁波垂直(z軸)入射金屬和介質柱體表面的電流分布情況，金屬和介質柱體的表面電流呈對稱分布。圖6(a)~(c)和(e)~(g) 中隨著入射角度變大，表面電流分布不再對稱，這是因為平面波斜入射時，波面上每一點的入射波的相位不同。此外，介質柱體的表面電流隨入射角度變化規律與金屬柱體幾乎一致，但在幅度上略小于金屬柱體。

圖6 有限長柱體表面電流(實部和虛部)在不同入射角度下的分布情況Fig.6 Current distributions (in real part and imaginary part) of a finite cylinder at different incident angles

3.3 VLF電磁波垂直入射有限長金屬柱體外部散射場與級數展開法驗證

本節計算了不同工作頻率下的VLF電磁波垂直入射有限長金屬柱體的近區散射場空間分布，如圖7所示。入射電磁波頻率依次為f= 10 kHz，20 kHz，30 kHz，金屬柱體半徑為1.2 m，高度為31 m?？梢钥闯?，沿地磁場方向上傳播的電磁波具有“凝聚”現象，即沿恒定磁場方向(即z方向)的電磁場遠大于其他傳播方向的強度。同時，E波的散射場的幅度遠大于O波的場值，這也說明在近區場中E波占據主導地位。此外，由于有限長金屬柱體具有“截斷”效應，散射場在柱體兩端幅度減小。

圖7 有限長金屬柱體的O波和E波近區散射場空間分布Fig.7 Spatial distribution of O- and E-wave near-field scattering from a finite length conducting cylinder

為了進一步分析和驗證本文提出的利用積分方程方法計算各向異性電離層中有限長柱體散射的可行性，圖8分別采用本文積分方程法和級數法計算了電磁波垂直入射同一半徑、不同高度柱體時，表面電流隨散射角的變化情況。在VLF頻段，根據式(4)計算可知：ω?ωH?ω0。因此，式(8)中各參數可近似為: ε1≈ω20/ω2H；ε2≈-ω20/(ωωH)；ε3≈-ω20/ω2。此時，VLF波頻段的電離層呈現明顯的各向異性；在高頻電磁波波段，式(8)定義的等離子體參數可近似退化為各向同性的情況。圖8中入射電磁波頻率為f= 3 GHz，入射波垂直入射金屬柱體，柱體半徑為1.2 m，高度分別為31 m和42 m。根據計算結果可知，由積分方程法得到的電流分布結果逼近級數法所得到的電流分布，除了金屬柱體“截斷”誤差，等離子體環境的各向異性特性在高頻入射的情況下作用很小，這也證明本文的方法正確有效。

圖8 級數法和本文積分方程法的表面電流隨散射角的變化Fig.8 Comparison of surface current variation with scattering angles between the series integral equation method and the method proposed in this paper

4 結 論

為了研究VLF電磁波對各向異性電離層中的有限長金屬和介質柱體的近場散射特性，本文分析了各向異性電離層中的散射矩陣并計算了電離層中有限長柱體的散射系數和交叉散射系數；采用積分方程法和MoM分別推導并求解了金屬和介質柱體的近區散射場和表面電流分布；分析和計算得出了不同入射角和不同散射模式下的近場散射特性。計算結果表明：在各向異性電離層中，VLF電磁波斜入射有限長柱體會產生耦合散射。耦合散射的強度與散射系數和交叉散射系數、電離層環境參數、地磁傾角和柱體形態等相關；表面電流分布受到電離層環境、柱體形態和入射角的影響。當入射傾角為89°，表面電流分布的形狀呈現對稱性。隨著入射傾角的增加，表面電流產生偏移現象，且表面電流幅度隨角度增加而增加。同時，介質柱體表面電流幅度略小于金屬柱體表面電流幅度；各向異性電離層中有限長柱體沿地磁場方向的近區散射場具有“凝聚”現象，同時，E波分量占據主導地位。最后，我們將本文所采用的積分方程法和級數法進行對比，驗證了本文方法的正確性。本文所提到的方法和結果，有望為電離層目標探測、散射通信等提供理論依據。

附錄 1 電離層中的尋常波與非尋常波

不失一般性，可將磁化等離子的介電張量寫為

各元素可由麥克斯韋方程組本構關系確定得出：

本文中，考慮柱體取向選擇z軸并與B0平行，因此，k矢量位于x-z平面，k與B0的夾角為θ，可簡化得到如下關系：

將式(A.3)代入(A.1)可得介電張量。

展開得到k2的二次方程：

式中：

對于無損耗的各向異性介質，式(A.5)的解為

式(A.9)代表了兩個獨立的解，對應于能在此介質中傳播的兩種特征平面波，即O波和E波。接下來，本文把問題退化成特殊情況，即電磁波和外加磁場垂直，于是波動方程可表示為

顯然，第一個非零解的色散特性方程為

這個特征波的磁場對外加磁場方向漂移運動的電子或離子沒有任何作用。這個波通過等離子的傳播與無磁化磁場時的特性完全一樣，是一個純橫電磁波，稱這個特征波為尋常波(O波)。

第二個非零解的色散特性方程為：

由此可見，第二個特征波是在x-y平面內橢圓極化的波，稱這個波為非尋常波(E波)。

垂直于磁場傳播的特征波的一些特點如下：對于O波的傳播特性，由于不受磁場的任何作用，其傳播特性與各向同性介質中的波完全相同。對于E波的傳播特性，由于受到磁場的作用，電磁波在垂直磁場平面是橢圓極化的。由文獻[6]可知，O波和E波的傳播波數可表示為

在VLF頻段上當沿λ實軸增加時，K+接近于一個正實數，有一個小的虛部；而K-接近于一個正虛數，有一個小的實部。E波和O波在電離層中的衰減特性是大不相同的，E波為可傳播的弱衰減波，而O波為速衰減的倏逝波。