基于射線追蹤方法的電離層點對點傳播問題研究

李佳文 李慧敏 郭立新 江曉麗

（西安電子科技大學, 西安 710071）

0 引 言

短波通信借助了電離層對短波的折射和反射，是唯一不受網絡樞紐和有源中繼制約的遠程通信手段。可以使用射線追蹤技術來研究短波通信的傳播軌跡，主要有解析射線追蹤和數值射線追蹤[1-2]。解析射線追蹤雖然計算速度快，但要求忽略地磁場的影響，而數值射線追蹤可解決該問題。20世紀70年代Jones等人[3]開發了三維數值射線追蹤程序，其一直被廣泛使用。柳文等人[4]運用三維數值射線追蹤求解了分段準拋物(quasi parabolic segments, QPS)電離層模型中的射線軌跡，并解決了工程應用中的傳播問題。孫方等人[5]利用基于費爾馬原理的射線微分方程，采用直線幾何近似和變步長技術相結合的快速算法實現了電離層短波射線追蹤。侯維君等人[6]選用國際參考電離層(International Reference Ionosphere, IRI)模型以及國際地磁參考場，實現了電離層短波的三維數值射線追蹤。在使用射線追蹤技術研究短波傳播問題時，如何真實地表征電離層電子密度也是研究的重點之一。一般要根據不同的應用需求來選取電離層模型。

1968年，Croft等人[7]提出了準拋物(quasi para bolic, QP)電離層模型，此模型在不考慮地球磁場的影響下，可以找到球對稱電離層的射線路徑的解析解，但事實上從電離圖和非相干散射雷達等導出或測量出的電子濃度剖面發現實際電離層并不是簡單的QP形狀。隨后，Dyson 和 Bennett 提出QPS電離層模型[8]，其是QP模型的一種改進模型，比QP模型能更為精確地描述電離層情況，且可以通過解析方法來求解電離層參數。因此，近年來被廣泛應用于工程實踐中。但是，QPS電離層模型也只適用于描述相對簡單的電離層條件，對精度要求較高的應用是不合適的。IRI模型是由國際無線電科學聯盟(International Union of Radio Science，URSI) 和空間研究委員會 (Committee for Space Research, COSPAR)聯合工作組開發并一直改進和更新的一種經驗模型[9]，其是根據大量的地面觀測資料和多年累積的電離層研究成果建立起來的，是目前國際上應用最廣的電離層經驗模型。該模型提供從地面60～2 000 km高度的電子密度、電子溫度、離子密度、離子成分等電離層參數的月平均值，可以較好地反映電離層的平均狀態，但其計算復雜度較高。隨著計算機技術的發展，目前IRI模型在短波通信中被大量應用，以提高短波通信的可靠性。綜上，電離層模型本身的精度會對射線路徑造成較大的誤差，從而對短波通信中精度要求較高的應用有重大的影響。而電離層模型的高精度要求會導致模型的復雜度提高，影響其應用計算的效率。如何選擇合適的電離層模型滿足不同情況下的應用需求是本文研究的重點。

眾所周知，短波通信和電離層斜向探測本質上都屬于點對點傳播問題，即固定收發站之間的傳播問題。固定收發站的高頻短波傳播需要使用射線追蹤自導引技術確定發射機的發射仰角方位角，使射線可以準確投射到接收機位置[10-12]。Nickisch[13]采用單純形法進行三維點對點射線追蹤。曾中超等人[14]以IRI模型2007版以及國際參考地磁模型第11版為背景進行了點對點傳播仿真，實現了低角射線、高角射線以及不同層反射的射線的搜索，并與實測數據進行對比。基于變分方程，曾中超等人[15]對牛頓自導引算法進行改進，提高了自導引計算的收斂速度。由于點對點傳播模型的算法基礎是射線追蹤，因此點對點傳播模型的準確性和穩健性也受電離層模型的影響。

本文將研究兩種不同電離層模型-QPS電離層模型和IRI模型下的點對點傳播問題。首先，用QPS模型來擬合IRI模型下的電子密度，然后運用龍格-庫塔算法數值求解Haselgrove方程[16]，最后利用牛頓自導引算法實現點對點傳播，并比較兩種模型下點對點傳播算法的穩健性和精確性。

1 電離層模型

1.1 QPS模型

QPS電離層模型的電子密度剖面表達式為[8]

以上為QPS模型，其可以構建出E、F1、F2層的電子密度剖面。一般情況下E層的底層高度在距離地面90 km左右，所以本文使用QPS模型模擬的是距離地面90～400 km高度的電子密度分布。

1.2 IRI模型

IRI模型[17]將電離層的電子密度分為六個子區域，包括頂部、F2層部、F1層、中間區域、E層和D區域。

1.3 QPS擬合IRI模型給定的電子密度

為了研究QPS和IRI兩種模型對點對點傳播模型的影響，本文在90～400 km高度處使用QPS模型對IRI模型給定的電子密度進行擬合，使其最大峰值處的電子密度基本一致。選取作為背景電子密度的IRI模型，其輸入經緯度為(134.774 036°E，26.144 105°N)，高度范圍為90～400 km。得到不同時間下QPS模型的擬合結果如圖1所示。

圖1 不同時間下QPS模型擬合IRI模型電子密度的結果Fig.1 Results of QPS model fitting IRI model electron density at different times

本文考慮了不同年份以及不同季節的電離層電子密度，選取的時刻均為正午12:00時分。由圖1可以看出冬季電離層的電子密度要明顯小于其他季節，這主要是由于冬季太陽輻射強度較弱導致電離層的電離程度弱于其他季節。

不同時期QPS模型擬合IRI模型的誤差如表1所示，其均方根誤差均小于8×1010m-3，平均絕對百分比誤差均小于15%，擬合結果較為準確。且由圖1可以看出，所選取的四個時間下，在90～150 km的高度處，也即電離層E層所在高度處，QPS模型擬合IRI模型電子密度剖面的效果均較好，但在更高的高度也即F層擬合效果不如E層。本文選取的短波頻段的反射高度主要在E層，所以可用IRI給定的及QPS擬合的電子剖面圖分別進行點對點射線追蹤，并比較其結果以及誤差。

表1 四個時間下的擬合結果誤差對比Tab.1 Error comparison of fitting results under the four times

2 點對點射線追蹤

2.1 方法原理

點對點傳播模型的基礎是射線追蹤算法，而射線追蹤算法主要是求解Haselgrove方程。在球坐標系下，以電波傳播群路徑P′為參數的Haselgrove方程為

式中：r、θ、φ為射線路徑上的點在球坐標系下的坐標；kr、kθ、kφ為波矢量在球坐標系下的三個分量；c為光速。式(2)中前6個方程用于計算在球坐標系下射線路徑上點的坐標以及在此點的波矢量。最后一個方程為時變介質中電磁波的頻率漂移，由于電離層的時變性造成的頻率漂移量很小，所以在射線追蹤過程中每一步不需要調整頻率。

Haselgrove方程引入的哈密頓算符H與波矢量、相折射指數n的關系為

在考慮地磁和碰撞的情況下，折射指數為[18]

對于高頻電磁波，碰撞系數Z一般非常小，可以忽略，忽略碰撞系數后折射指數可以表示為

若既不考慮地磁場的影響，又不考慮碰撞的影響，尋常波的折射指數可以進一步簡化為

上述Haselgrove方程組可以利用龍格-庫塔算法進行數值求解。群路徑每變化一個步長就可以得到射線路徑點的位置坐標以及波矢量，最終即可得到完整的射線軌跡[19-21]。

為了實現精確的固定收發站的射線傳播，需要自導引技術，即通過對射線的發射仰角、方位角進行搜索，使得射線能被固定接收站接收。本文采用牛頓算法來實現自導引，其需要求得以下非線性方程組：

式中：θr和φr分別為接收點的球坐標；α和β分別為發射點電波發射的方位角和仰角，可以采用牛頓法來進行求解，表達式為

通過以上算法，進行牛頓算法的一次次迭代即可實現三維射線點對點傳播，找到精確到達接收站射線的初始仰角和方位角。

2.2 兩種電離層模型下的點對點傳播結果對比

點對點傳播的仿真參數設置如下：時間為2021-01-15T12:00，發射站經緯度為(134.774 0°E，26.144 1°N)，接收站經緯度為(123.264 2°E，24.574 6°N)，收發站之間的地面距離為1 169.215 9 km。本文主要討論O波在兩種不同電離層模型下，不同射線工作頻率下點對點傳播模型的誤差精度和穩定性隨迭代步長的變化。

表2給出了入射波的頻率為9.79 MHz、射線追蹤迭代步長分別為10-4km和10-3km時，點對點傳播模型在兩種不同電離層模型下的初始設置。其中，QPS模型在不同迭代步長情況下的初始仰角設置都有2個，這是由于固定鏈路的短波傳播存在多徑效應。

表2 2021-01-15T12:00LT點對點初始條件(f=9.79 MHz)Tab.2 Point-to-point initial conditions at 2021-01-15T12:00LT (f=9.79 MHz)

圖2給出了入射波頻率為9.79 MHz、射線追蹤迭代步長分別為10-4km和10-3km時，兩種不同模型下點對點傳播模型的地面距離誤差隨迭代次數的變化。此時的初始仰角都設置為13.270 6°，方位角都設置為230.790 8°。從圖2(a)可以看出，在射線追蹤的迭代步長為10-4km下，相同迭代次數時QPS模型的地面距離誤差遠大于IRI模型的，且經過7次迭代后IRI模型下的地面距離誤差幾乎接近于0，而QPS模型下的地面距離誤差在第6次迭代以后趨于平穩，其地面距離誤差為10-4～10-3km。說明在迭代步長為10-4km 時，IRI模型下點對點傳播模型的精度要高于QPS模型。從圖2(b)可以看出，在射線迭代步長為10-3km下，相同迭代次數時QPS模型的地面距離誤差大都大于IRI模型的，IRI模型的地面距離誤差在第5次迭代之后趨于穩定，約為10-3km，大于迭代步長為10-4km穩定時的誤差。而QPS模型的地面距離誤差在第8次迭代時很小，但并不穩定，隨著迭代次數的增加，在第10次迭代后趨于穩定，誤差集中在10-2km左右。由此可知，迭代步長越小時，兩模型下的點對點傳播模型精度越好，且達到穩定誤差時的迭代次數越小，但程序的運行速度越慢。

圖2 2021-01-15T12:00LT f=9.79 MHz時不同迭代步長兩模型下點對點射線追蹤地面距離誤差隨迭代次數的變化Fig.2 Point-to-point ray tracing ground distance error varies with the number of iterations under the two models at 2021-01-15T12:00LT (f=9.79 MHz)

如表2所示，QPS模型下點對點傳播模型有2條射線路徑。圖3給出了QPS模型下不同迭代步長的射線二維傳播路徑圖，可以明顯看到這條固定鏈路在QPS模型下會有兩條傳播路徑。在迭代步長為10-4km時，一條路徑的仰角為7.055 5°，方位角為263.919 2°，反射高度為94.945 8 km，在E層底部；另一條路徑的仰角為18.280 3°，方位角為263.913 1°，反射高度為144.934 7 km。在迭代步長為10-3km時，一條路徑的仰角為7.055 6°，方位角為263.919 2°，反射高度為94.945 8 km，在E層底部；另一條路徑的仰角為18.280 2°，方位角為263.913 1°，反射高度為144.934 9 km。我們可以發現相同電離層模型情況下，不同迭代步長主要影響點對點傳播模型中的發射仰角和反射高度，但是都相差不大，仰角差值約為0.000 1°，反射高度差值約為0.000 1 km，在工程應用中一般可以忽略。

圖3 2021-01-15T12:00LT f=9.79 MHz時不同迭代步長QPS模型下的點對點射線追蹤多徑Fig.3 Point-to-point ray tracing multipath under the QPS model at 2021-01-15T12:00LT (f=9.79 MHz)

當射線工作頻率為14.23 MHz時，點對點傳播模型的初始仰角、方位角設置和頻率為9.79 MHz時一樣，見表3。此時，QPS模型不存在多徑效應。當迭代步長分別為10-4km和10-3km時兩種不同模型下點對點射線追蹤地面距離誤差隨迭代次數變化如圖4所示。由圖4(a)可以看出：在最初的幾次迭代過程中QPS模型下與IRI模型下的地面距離誤差相差不大；隨著迭代次數的增加，經過8次迭代以后，IRI模型的地面距離誤差穩定在6×10-6km，QPS模型穩定在10-5～10-4km。當迭代步長為10-4km時IRI模型下的點對點傳播模型的精度和穩定度都高于QPS模型。由圖4(b)可知，IRI模型下經過5次迭代后其地面距離誤差趨近于5×10-4km，較為穩定，而QPS模型經過7次迭代后地面距離誤差在10-4～10-2km波動，波動較為明顯，進一步驗證了IRI模型下的點對點傳播模型的精度和穩定度都高于QPS模型。另外，明顯看出，迭代步長越小時，IRI模型下的地面距離誤差越大。

表3 2021-01-15T12:00LT點對點初始條件(f=14.23 MHz)Tab.3 Point-to-point initial conditions at 2021-01-15T 12:00LT (f=14.23 MHz)

圖4 2021-01-15T12:00LT f=14.23 MHz時不同迭代步長兩模型下點對點射線追蹤地面距離誤差隨迭代次數的變化Fig.4 The ground distance error of point-to-point ray tracing with the number of iterations under the two models at 2021-01-15T12:00LT(f=14.23 MHz)

不同射線工作頻率、不同迭代步長、不同電離層模型情況下的點對點傳播模型的射線追蹤結果如表4所示。由表4可知，相同條件下QPS模型的點對點射線追蹤平均迭代一次程序運行所需時間要小于IRI模型，并且當迭代步長從10-4km增加到10-3km時IRI模型平均一次迭代所需時間減少到原來的1/10左右，而QPS模型平均每次迭代所需時間減少到原來的1/36左右。即不僅QPS模型下點對點射線追蹤運行速度要遠大于IRI模型，且增大迭代步長時QPS模型下點對點射線追蹤的運行速度會有比IRI模型更大程度的提高。但在精度方面，QPS模型遠不如IRI模型下點對點射線追蹤的精度高，尤其是在10-4km的迭代步長情況下二者的精度差距很大。

當射線的工作頻率為9.79 MHz時，QPS模型和IRI模型下射線反射高度都在E層，且在QPS模型下有多徑效應，IRI模型下沒有多徑效應。而當射線的工作頻率為14.23 MHz時，IRI模型下射線的反射高度處在電離層的F層。此外，當射線的工作頻率為14.23 MHz時兩模型下每次迭代平均運行時間都要大于9.79 MHz，可能是因為入射頻率越高，射線的反射高度更高，需要計算的路徑也越長，導致了運行時間的增加。

為了進一步研究兩種模型下點對點射線追蹤結果隨迭代步長的變化，比較了2021-01-15T12:00LT兩種不同電離層模型下，初始仰角和方位角一致時，工作頻率為9.79 MHz的點對點傳播模型程序的運行時間以及地面距離誤差隨迭代步長的變化，結果如圖5所示。

圖5 2021-01-15T12:00LT f=9.79 MHz兩模型下點對點射線追蹤運行時間和地面距離誤差隨迭代步長變化Fig.5 The running time and ground distance error of pointto-point ray tracing varies with the iteration step size under the two models at 2021-01-15T12:00LT( f=9.79 MHz)

由圖5(a)可知：當迭代步長較小時，IRI模型的點對點射線追蹤程序運行時間遠大于QPS模型；隨著迭代步長的增大，IRI模型與QPS模型程序運行時間相差逐漸減小，且逐漸趨于平穩。表明當迭代步長增大到一定值時，再增大迭代步長對程序的加速作用并不明顯。

由圖5(b)可知：在迭代步長較小時QPS模型下的點對點射線追蹤地面距離誤差與IRI模型差別不大；隨著迭代步長的增大二者地面距離誤差之間的差別逐漸增大，且QPS模型下點對點射線追蹤的地面距離誤差值總是大于相同迭代步長情況下IRI模型，表明IRI模型下與QPS模型下的點對點傳播模型相比具有更高的精度。當迭代步長進一步提高時二者的地面距離誤差值又差別不大，此時兩模型下的點對點射線追蹤結果的誤差都很大，并且隨著迭代步長的進一步提高，開始出現點對點射線追蹤無法收斂的情況，說明不能無限制地提高迭代步長來加速程序。

綜上所述，根據工程需求，在迭代步長較小時可以選擇QPS模型進行點對點射線追蹤提高程序運行速度；當迭代步長較大時可以選擇IRI模型進行點對點射線追蹤提高計算精度，但迭代步長不能過大，否則射線無法準確到達接收站。

2.3 時延驗證

為了驗證射線追蹤算法的準確性，可以將射線追蹤仿真群時延和實測群時延進行對比，但是一般情況下實測群時延數據不容易獲得。為了實現驗證的目的，可用另一種方法替代實測群時延[22]。本文使用虛擬群時延tvirt代替實測時延，如圖6中所示，其可用tvirt=ACB/c求得，其中ACB為直線AC和CB的長度之和。圖中，β為射線的發射仰角，RT為地球半徑，

圖6 射線追蹤軌跡和虛擬軌跡示意圖Fig.6 Schematic of ray tracing trajectory and virtual trajectory

選取2021-01-15T12:00LT的電子密度，射線追蹤迭代步長為10-4km，QPS模型以及IRI模型下虛擬時延和射線追蹤群時延隨射線頻率的變化結果如圖7所示[23]。

圖7 兩模型下虛擬時延與射線追蹤時延對比Fig.7 Comparison of simulation delay and ray tracing delay under two ionospheric models

由圖7可知兩電離層模型下的群時延相對誤差均小于1%，驗證了兩電離層模型下射線追蹤算法的準確性。

3 結 論

針對點對點模型算法的穩健性和精確性問題，本文討論了不同電離層模型(QPS和IRI模型)下的點對點傳播問題。結果發現，在兩個模型下均可實現固定鏈路的追蹤，且在QPS模型下出現了多徑效應。由此，可知電離層模型對點對點傳播的路徑有很大影響。另外，我們發現， IRI模型下的點對點射線追蹤更容易達到穩定。在迭代步長較小時，QPS模型速度更快，而在迭代步長較大時，IRI模型下的射線追蹤精度更高。通過虛擬群時延驗證，進一步確認了射線追蹤模型的準確性。

本文只考慮了均勻電離層情況下的點對點射線追蹤問題，后續須對非均勻電離層情況下的點對點射線追蹤問題進行研究。

致謝：本研究工作得到西安電子科技大學高性能計算校級公共平臺的支持。