基于最優控制理論的國產光抽運小銫鐘頻率控制算法*

宋會杰 董紹武3)? 王翔 姜萌 章宇 郭棟 張繼海

1) (中國科學院國家授時中心,時間頻率基準實驗室,西安 710600)

2) (時間基準及應用重點實驗室(中國科學院),西安 710600)

3) (中國科學院大學天文與空間科學學院,北京 100049)

4) (西安工程大學電子信息學院,西安 710048)

5) (西安科技大學機械工程學院,西安 710054)

原子鐘頻率控制是時間保持工作中的關鍵技術.當前守時工作中的頻率控制主要針對國外微波鐘采用開環控制算法,但由于國產光抽運小銫鐘(下稱國產鐘)的工作原理和性能不同于國外同類型原子鐘,因此該算法不能很好適應國產鐘.為了提升我國標準時間的自主性和安全性,本文基于國產鐘的噪聲特性,在最優控制理論的框架下研究了線性二次高斯控制算法,該算法屬于閉環控制算法,從同步時間、頻率控制準確度和頻率控制穩定度方面研究國產鐘性能,最后分析了不同控制間隔對國產鐘性能的影響.結果表明隨著二次損失函數中約束矩陣 WR 的增大,同步時間延長,控制準確度降低,控制短期穩定度提高.WR 相同情況下,隨著控制間隔的增大,同步時間延長,控制準確度降低,控制短期穩定度提高,對于 WR=1 時,控制間隔為1 h的同步時間為5 小時,控制準確度為1.83 ns,1 h 的Allan 偏差為1.81×10–13;控制間隔為8 h 的同步時間為28 h,控制準確度為4.48 ns,1 h 的Allan 偏差為1.48×10–13.控制國產光抽運小銫鐘的中長期穩定度都得到提高.

1 引言

穩定的系統時間在全球衛星導航系統(GNSS)、智能電網、電信、金融和科學實驗等多個應用中具有重要意義[1–3].一個國家的法定時間通常是由實驗室生成的協調世界時(UTC)的實時本地物理實現,物理實現是將本地原子鐘信號控制到UTC.此外,世界各地守時實驗室都將本地時間尺度控制到協調世界時(UTC)[4–6].頻率控制可以利用精確的時間傳遞方法進行遠程時鐘的同步,比如基于衛星雙向時間傳遞、全球定位系統的時間傳遞和基于光纖時間傳遞[7].

原子鐘的輸出頻率用于產生時間標準,但是原子鐘輸出頻率的準確度和穩定度通常不能滿足時間標準的性能,需要對原子鐘頻率進行控制.時間保持工作中,頻率控制也稱為頻率駕馭、頻率修正等,通過將單臺原子鐘的頻率控制到時間尺度實現守時.時間尺度是根據原子時算法計算的多臺原子鐘測量數據的加權平均,時間尺度的產生過程包括數據異常檢測、鐘差預報、權重計算,同時還要考慮時間尺度的穩健性.文獻[8–10]研究了原子鐘數據異常的不同檢測方法.文獻[11–13]研究了原子鐘鐘差數據的預報算法和權重算法.文獻[14,15]研究了原子鐘噪聲變化時改進的Kalman 濾波時間尺度算法.時間尺度應用中,為給時間尺度提供物理上可實現的輸出,原子鐘需要控制到時間尺度.因此原子鐘的頻率控制是時間保持工作中非常重要的一項研究工作.頻率控制算法是影響產生實時時間尺度穩定性和準確性的重要因素.

當前,頻率控制研究的原子鐘類型主要是微波鐘,比如銫原子鐘5071A、氫原子鐘VCH1003M等國外原子鐘,頻率控制算法為基于信號的開環控制算法,即經典控制算法.比如UTC 生成中使用的控制算法[16,17].經典控制算法通過原子鐘與時間尺度的相位偏差估計控制量,通常用于補償頻率偏差,必要時還用于補償原子鐘的確定性頻率漂移.目前國內原子鐘的研制和研究也取得了重大進展[18–20],國產鐘已用于時間保持工作,但由于國產鐘的工作原理、材料、制造工藝與國外原子鐘不同,導致噪聲特性存在一定差異,經典的控制算法不能很好適應國產鐘.本文研究的國產光抽運小銫鐘工藝較美國磁選態小銫鐘顯著簡化,其優點是原子利用率高,理論性能遠高于磁選態小銫鐘.然而,光抽運小銫鐘因引入了激光而受到光頻移影響,長期頻率穩定度還有待提升.目前,探索抑制和評估光頻移的新方法是光抽運小銫鐘技術的重要研究方向.在這種情況下,本文提出了一種可有效提升光抽運小銫鐘中長期頻率穩定度的方法,并進行實驗驗證.

基于國產光抽運小銫鐘(下稱國產鐘)的性能特點,研究基于國產鐘的控制算法,解決我國標準時間自主產生和時間基準保持的核心技術是當前面臨的迫切問題.文中結合國產鐘的噪聲特性,建立控制模型,采用平滑控制盡量降低對國產鐘短期穩定度的影響.線性二次高斯(LQG)控制是最優控制理論框架下的一種算法,可用于原子鐘的平滑控制.任何控制系統都需要處理一定數量的不確定性,包括測量噪聲、過程模型誤差等.線性二次高斯控制(LQG)算法用于設計不確定物理過程的最優控制系統.該算法的一個重要特點是: 只要系統參數具有可觀測性和可控性,就能保證控制系統的穩定性.由于原子鐘數據包括測量噪聲和原子鐘模型噪聲,需要同時考慮最優估計和最優控制.在這種情況下,LQG 算法可將最優控制問題和最優估計問題分開來處理,根據控制理論中的分離定理,可以在設計控制器時直接利用系統狀態變量.而在研究原子鐘狀態變量的最優估計時,則可假定控制量是已知的確定性函數.最后將控制量中原子鐘的狀態變量用其估計值代替,就得到隨機線性系統的最優控制.LQG 控制算法結合了卡爾曼濾波來估計時間和頻率誤差,這些誤差被用作計算駕馭量.LQG 控制是Kalman 濾波器(即線性二次估計器)和線性二次調節器(LQR)的組合.Kalman 濾波可以從時間尺度和國產鐘的噪聲參數的先驗信息中求得最優狀態估計.這些噪聲參數信息可以從頻率穩定度圖中提取.與Kalman 濾波相反,LQR不使用關于信號統計特性的信息,在LQR 中,二次損失函數使得相位和頻率平方誤差和控制量的和最小.LQR 通過最小化二次損失函數來計算控制量.二次損失函數中,約束矩陣影響控制性能.本文研究線性二次高斯算法控制國產鐘,根據不同的約束矩陣和控制間隔,分析了控制國產鐘的同步時間,控制準確度和控制穩定度,為實現國產化守時提供了理論基礎和技術支撐.

本文結構如下: 第2 節在控制理論下建立國產鐘的控制模型,第3 節控制測試部分,結合國產鐘的實測數據,驗證控制性能,第4 節給出結論.

2 國產鐘的頻率控制建模

原子鐘的頻率控制過程,需要描述系統的輸入、狀態和輸出之間的關系.這些關系通常以微分方程的形式給出.原子鐘頻率控制是指在給定輸出的情況下計算輸入量,使系統的狀態滿足一定的要求.首先最基本要求是控制信號與參考信號同步,其次還要考慮駕控制信號的其他性能,主要包括準確度和穩定度性能.下面建立國產鐘的狀態模型:

2.1 國產鐘的狀態模型

對于自由運行國產鐘的兩狀態模型可由下式給出[21,22]:

狀 態變量x1(t),x2(t)分別表示相位 偏差和 頻率偏差.隨機過程w1(t)和w2(t) 是均值為零,自相關函數為獨立高斯白噪聲,k=1,2和δ(t) 表示Dirac delta 函數.根據原子鐘的噪聲特點,隨機過程w1(t)和w2(t) 可表示不同類型的噪聲過程,通常情況下w1(t) 表示調頻白噪聲,w2(t) 表示調頻隨機游走噪聲.但是當原子鐘也表現調頻閃變噪聲情況下,w1(t) 需要同時考慮調頻白噪聲和調頻閃變噪聲.

對自由運行國產鐘的模型進行離散化,假設采樣間隔為τ0,x[k] 表示kτ0時刻原子鐘的狀體向量.(1)式對應的原子鐘的離散狀態模型為

分量w1[k]和w2[k] 仍然是零均值高斯隨機過程,當噪聲過程為調頻白噪聲和調頻隨機游走噪聲時,協方差矩陣表示為

當噪聲過程為調頻白噪聲、調頻閃變噪聲和調頻隨機游走噪聲時,協方差矩陣表示為

(5)式和(6)式中,h0,h-1和h-2分別表示調頻白噪聲冪律譜系數,調頻閃變噪聲冪律譜系數和調頻隨機游走噪聲冪律譜系數,可以通過Allan 方差估計.τ0表示相鄰k時刻和k+1 時刻的時間間隔.

2.2 兩個自由運行原子鐘的鐘差模型

假設兩臺自由運行的原子鐘,鐘a 和鐘b,相互獨立.鐘a 為參考鐘,鐘b 為控制原子鐘.鐘a 和鐘b 的離散狀態變量分別為xa[k]和xb[k] .假 設z[k] 是離散時間輸出,也就是兩臺時鐘之間測量的相位差:

其中e[k] 是一個隨機過程,表示測量噪聲,假定是均值為零,方差為的白噪聲.

控制原子鐘與參考原子鐘的狀態向量差表示為

對應的離散狀態模型為

這里wz[k] 是高斯白噪聲,具有零均值和協方差陣為

其中Σa和Σb是影響鐘a 和鐘b 的噪聲協方差矩陣,由(5)式或(6)式給出.

2.3 國產鐘控制系統方程及控制算法

線性二次高斯理論下,國產鐘控制系統的狀態方程能夠表示為狀態向量和控制向量的線性函數:

測量方程表示為

其中,xz,u[k] 向量中的第1 個分量表示控制國產鐘與參考原子鐘的相位偏差,第2 個分量表示控制國產鐘與參考原子鐘的頻率偏差.控制量的轉移矩陣為

Kalman 濾波狀態估計通過下式計算:

其中Kg[k] 是Kalman 增益陣,通過極小化均方誤差陣得到.均方誤差陣由下式給出:

Kalman 增益計算可表示為

P-[k]R[k]

其中 表示預測誤差協方差陣,表示測量協方差陣.

線性狀態方程(15)是包含高階項的狀態建模方程的近似.為了給出線性近似的有效性,控制量是通過極小化二次損失函數

得到.(22)式中,求和的第1 部分是對控制國產鐘狀態向量的約束,第2 部分是對控制量的約束.矩陣WQ和WR是相應的約束矩陣,影響控制的強度.對于給定的損失函數,控制量通過下式給出:

基于(23)式計算的控制量在(22)式條件下是最優的,并且當 (WQΦτ0) 是可觀測的,對 (Φτ0Γk) 是可控的,Kalman 濾波系統是穩定的.

3 測試結果及分析

研究目標是基于國產鐘實現紙面時間尺度,然而,為了降低對控制結果影響因素的數量,控制算法將國產鐘控制到參考原子鐘.下文首先根據穩定度指標(Allan 偏差)分析國產鐘穩定度情況和噪聲特性,并與國外銫原子鐘5071A(簡稱5071A)進行比較.然后基于線性二次高斯控制算法研究國產鐘性能,最后研究不同控制間隔對國產鐘性能的影響.

3.1 國產鐘的噪聲分析

根據Allan 偏差分析國產鐘的噪聲特性,首先利用氫原子鐘組建立參考時間尺度,然后利用建立的時間尺度測量國產鐘、5071A 和單臺氫原子鐘的穩定度,最后比較分析國產鐘與5071A 的噪聲情況.分析周期內,氫原子鐘的穩定度高于國產鐘和5071A.由多臺氫原子鐘建立的時間尺度的穩定度能夠比單臺氫原子鐘的穩定度提升倍,也就是時間尺度的Allan 偏差是單臺氫原子鐘的N表示氫原子鐘的數量[23].選取國家授時中心時間頻率基準實驗室的氫原子鐘,編號為VCH067,VCH112,H336,VCH116,H297,H340,VCH119,H339,H341,VCH085,VCH104,隨機選取數據時間 段2023 年2 月3 日0時至2023 年8 月25 日1 時,MJD 為59978—60181.04,數據采樣間隔為1 h.每臺氫原子鐘扣除一個常數速率,通過取平均權算法計算時間尺度.選取國外銫原子鐘5071A,編號為Cs3102,Cs2962,Cs3437,國產光抽運小銫鐘,編號為Cs3050,Cs2025.數據時間段與上述對應,采樣間隔為1 h.銫原子鐘同樣扣除一個常數速率,然后參考到氫原子鐘組產生的時間尺度,得到銫原子與時間尺度的相位差.

計算銫原子鐘相對于時間尺度的Allan 偏差,如圖1 所示,圖中還包括由氫原子鐘,編號為H117,相對于時間尺度的Allan 偏差.結果顯示,國產鐘1 d 內的穩定度與5071A 相當,主要表現為調頻白噪聲.取樣間隔大于1 d,國產鐘的穩定度相比于5071A 的穩定度降低.5071A 的噪聲主要表現為調頻白噪聲和調頻隨機游走噪聲,國產鐘的噪聲主要表現為調頻白噪聲、調頻閃變噪聲和調頻隨機游走噪聲.因此國產鐘狀態模型中的噪聲協方差矩陣需根據(6)式計算.圖1 顯示,相應取樣間隔內氫原子鐘H117 的穩定度優于銫鐘的穩定度,并且氫原子鐘長期表現出明顯的漂移.

圖1 銫原子鐘與氫原子鐘的Allan 偏差曲線Fig.1.Allan deviation curves of cesium atomic clock and hydrogen atomic clock.

3.2 線性二次高斯控制應用于國產鐘的控制

線性二次高斯控制應用于國產鐘的頻率控制,控制模型考慮了國產鐘的噪聲類型,將國產鐘的相位和頻率控制到參考鐘.圖2 表示國產鐘的控制結構圖,系統的狀態是控制國產鐘的相位和頻率,控制量u(t) 輸入到相位微調儀,相位微調儀通過輸入的控制量連續的改正國產鐘的相位.自由運行的國產鐘與參考氫原子鐘的相位偏差測量值為z(t),控制國產鐘與參考氫原子鐘的相位偏差測量值為zu(t),通過控制算法極小化zu(t) .

圖2 國產鐘的控制結構圖Fig.2.Control structure diagram of domestic clock.

國產鐘的實際測量鐘差數據用于控制研究,測量國產鐘Cs3050 與H117 的相位偏差.線性二次高斯控制方法控制國產鐘到氫原子鐘H117.建立國產鐘控制系統的狀態方程和測量方程,如(15)式和(16)式所示.狀態方程中的向量包含控制的相位偏差狀態和頻率偏差狀態,如(17)式所示.狀態方程中的噪聲協方差矩陣中的冪律譜系數基于Allan 方差計算.調頻白噪聲、調頻閃變噪聲和調頻隨機游走噪聲的Allan 方差與相應的冪律譜系數的關系為

其中τ表示Allan 方差對應的平滑時間.

基于線性二次高斯控制方法控制國產鐘,通過控制時鐘的同步時間,控制準確度(時間偏差)和控制穩定度(Allan 偏差)的性能指標進行評估.Allan 偏差是原子鐘穩定性的最常見定義,并且,基于Allan 方差可以比較不同情況下的控制結果.根據約束矩陣WQ和WR的選擇,研究下面4 種情況的控制性能.

對于情況1—情況4,約束矩陣WQ不變,WR降低,算法中數據測量間隔為1 h,控制間隔也為1 h.國產鐘的同步時間,控制準確度和穩定度如圖3所示.

圖3 不同 WR 值的控制同步時間比較Fig.3.Comparison of control synchronization time with different WR values.

圖3 表示基于上述4 種情況,控制國產鐘相對于參考H117 的時間偏差測量值.約束矩陣WR=104時,控制測量值需要較長時間達到0 值附近,WR=1/2 時,控制測量值需要較短的時間達到0 值附近.隨著WR的降低,控制測量值到達0 值附近的時間越短.控制測量值到達0 值附近表示控制國產鐘與參考原子鐘同步.圖4 表示控制國產鐘與參考H117 同步后的時間偏差測量值.為了做圖清晰,WR=1 的控制測量值加入5 ns 的常數值,WR=102的控制測量值加入10 ns 的常數值,WR=104的控制測量值加入18 ns 的常數值.從圖4 可以得出,隨著WR的增大,控制測量值波動變大,WR=104時控制 測量值 波動最大,WR=1/2 時控制 測量值波動最小.計算控制測量值的3 倍標準差(3σ)評估控制國產鐘的準確度,在正態分布中,大約99.73%的數據位于平均值加減3 倍標準差的范圍內.計算結果如表1所示,WR=104時的 3σ為6.26ns,WR=1/2 時的 3σ為1.76 ns.

表1 同步后不同 WR 值的3 倍標準差(3σ)Table 1.Three times standard deviation of different WR values after synchronization.

圖4 同步后不同 WR 值的控制測量值Fig.4.Control measurements of different WR values after synchronization.

圖5 表示基于不同WR值的控制國產鐘的穩定度,穩定度的計算參考為時間尺度.圖中還表示了自由運行國產鐘Cs3050 的穩定度和參考氫原子鐘H117 的穩定度.WR=1/2 時和WR=1 時,控制國產鐘的短期穩定度(取樣間隔為1 h 和2 h)略差于自由運行國產鐘的穩定度.取樣間隔大于2 h,控制國產鐘的穩定度優于自由運行國產鐘的穩定度,并且長期穩定度與參考氫原子鐘H117 相符.對于WR=102,控制國產鐘取 樣間隔為1 h和2 h 的穩定度與自由運行小銫鐘的穩定度相當,取樣間隔為4 h 的穩定度略差于自由運行國產鐘,取樣時間大于4 h 的穩定度優于自由運行國產鐘的穩定度.并且4 h 后的穩定度差于WR=1/2 時和WR=1 時的情況,最后與參考氫原子鐘H117的穩定度相符.對于WR=104時,取樣間隔為1—32 h 控制國產鐘的穩定度與自由運行國產鐘的穩定度相當;大于32 h,穩定度優于自由運行國產鐘的穩定度,最終接近參考氫原子鐘H117 的穩定度.

圖5 約束矩陣 WR 取不同值時的控制國產鐘的穩定度Fig.5.Stability of the controlled domestic clock with different values of the constrained matrix WR .

圖6 表示基于不同WR值的控制國產鐘相對于參考氫原子鐘H117 的穩定度.圖中還包括自由運行國產鐘的穩定度、參考氫原子鐘的穩定度.根據頻率標準同步的定義,只要兩個頻率標準同步,它們之間的相位差就不再發生變化.基于兩個頻率標準相位差的穩定性分析,相位差的穩定性主要受調相白噪聲的影響,這導致在Allan 偏差對數圖中斜率為–1,在大范圍的平均時間內出現該特性表明控制成功.圖6 表明,對于不同WR值,控制國產鐘相對于參考氫原子鐘H117 的穩定度Allan 偏差圖在大范圍的平均時間內的斜率近似為–1,對于上述不同WR值,國產鐘都能成功地控制到參考鐘.并且WR值越小,Allan 偏差圖斜率為–1 時的平均時間越小,斜率為–1 的平均時間的范圍越大,也就是同步時間越短.圖6 表明WR=1/2 時的同步時間最短,WR=104時的同步時間最長.

圖6 約束矩陣 WR 取不同值時控制測量值的穩定度Fig.6.Stability of control measurement with different values of the constrained matrix WR .

約束矩陣WQ和WR是用來設置控制國產鐘狀態向量xz,u[k] 和控制向量u[k] 從0 變化時的相對懲罰.一般來說,WQ值不變,WR值增大,對系統的懲罰變大,控制量取到較小的值,系統將狀態向量緩慢地控制到0 值附近.系統的同步時間較長,控制原子鐘的短期穩定度不受影響,但是控制原子鐘的準確度降低.WR值減小,對控制系統的懲罰變小,控制量取到較大的值,系統的狀態向量將快速地控制到0 值附近.系統的同步時間較短,控制原子鐘的短期穩定度受影響,但是控制原子鐘的準確度提高.

3.3 不同控制間隔的國產鐘的性能分析

控制間隔也是影響原子鐘性能的重要因素.研究不同控制間隔對國產鐘的同步時間、控制準確度和穩定度的影響,并給出具體分析.隨機選取控制間隔為1,2,4,8 h.約束矩陣隨機選取為情況3,即下面具體從同步時間、控制準確度和穩定度方面進行分析.圖7 表示不同控制間隔下國產鐘的同步時間,可以得出,控制間隔為1 h,同步時間約為5 h.控制間隔為2 h,同步時間約為10 h.控制間隔為4 h,同步時間約為20 h.控制間隔為8 h,同步時間約為28 h.隨著控制間隔的增大,同步時間延長.圖8 表示同步后不同控制間隔的時間偏差的測量值.為了做圖清晰,如前面所述,對測量值加入固定的常數值.可以得出隨著控制間隔的增大,控制測量值的隨機波動增大,準確度降低.計算控制測量值的3 倍標準差(3σ)評估不同控制間隔下國產鐘的準確度,計算結果如表2 所列,控制間隔為1 h,測量值的 3σ為1.83 ns.控制間隔為8 h,測量值的 3σ為4.48 ns.隨著控制間隔的增大,準確度降低.

表2 同步后不同控制間隔測量值的3 倍標準差(3σ)Table 2.Three times standard deviation of different control intervals after synchronization.

圖7 不同控制間隔的同步時間比較Fig.7.Comparison of synchronization time with different control interval.

圖8 同步后不同控制間隔的測量值Fig.8.Measurements at different control intervals after synchronization.

圖9 表示不同控制間隔的國產鐘的穩定度,圖中還表示了自由運行國產鐘Cs3050 的穩定度和參考氫原子鐘H117 的穩定度.控制間隔為1 h,國產鐘控制平均時間為1 h 的Allan 偏差為1.81×10–13,自由運行國產鐘的Allan 偏差為1.48×10–13,說明控制算法使得平均時間為1 h 的穩定度降低,其余平均時間的穩定度得到改善,最后控制國產鐘的穩定度服從參考氫原子鐘H117 的穩定度.控制間隔為2 h,控制國產鐘平均時間為2 h 的Allan 偏差為9.86×10–14,自由運行國產鐘的Allan 偏差為9.36×10–14,控制算法對平均時間為2 h 的穩定度影響不大.隨著平均時間的延長,控制國產鐘的穩定度得到提高,直到穩定度與參考氫原子鐘相同.控制間隔為4 h,控制國產鐘平均時間為4 h 的Allan 偏差為8.37×10–14,自由運行國產鐘的Allan偏差為6.85×10–14,平均時間為1 h 和2 h 的Allan偏差與相應平均時間的自由運行國產鐘的Allan基本相同.控制間隔為4 h 主要降低了平均時間為4 h 的國產鐘的穩定度,隨著平均時間的延長,控制國產鐘的穩定度提高,最后與參考鐘保持一致.控制間隔為8 h,控制國產鐘平均時間為8 h的Allan 偏差為7.55×10–14,自由運行國產鐘的Allan 偏差為5.00×10–14,平均時間為1,2,4 h 的Allan 偏差與相應時間的自由運行國產鐘的Allan基本相同.控制間隔為8 h 主要降低了平均時間為8 h 的國產鐘的穩定度,對于平均時間大于8 h,控制國產鐘的穩定度改善,最后達到參考氫原子鐘的穩定度.

圖9 基于不同控制間隔的國產鐘的穩定度Fig.9.Stability of the domestic clock based on different control intervals.

圖10 表示基于不同控制間隔的國產鐘相對于參考氫原子鐘H117 的穩定度.圖中包括自由運行國產鐘的穩定度和參考氫原子鐘的穩定度.可以得出,對于不同控制間隔的測量值計算Allan 偏差,較大的平均時間斜率為–1,穩定性主要受調相白噪聲的影響,說明不同控制間隔的國產鐘都能與參考氫原子鐘H117 同步.然而,隨著控制間隔的增大,兩個時鐘之間同步的平均時間出現得較晚,也就是將國產鐘控制到參考需要更長的時間.

圖10 基于不同控制間隔的控制測量值的穩定度Fig.10.Stability of control measurements based on different control intervals.

通過上述分析,當平均時間小于控制間隔時,即τ<τc時(其中τ表示平均時間,τc表示控制間隔),控制國產鐘的穩定性受控制過程影響較小,與自由運行國產鐘的穩定性相當.在τ=τc時,控制時鐘的穩定性較差.當平均時間大于控制間隔時,即τ>τc時,控制國產鐘的穩定性就會偏離其自由運行狀態.在控制間隔附近,控制國產鐘的穩定性收斂到參考氫原子鐘之前,通常可以觀察到穩定性的波動.然后經過一些平均時間,兩個信號的穩定性在Allan 偏差中對齊.

3.4 控制國產鐘的長期頻率穩定度和漂移率的分析

下面驗證本文算法對于國產鐘長期頻率穩定度和頻率漂移的影響,根據3.1 節的氫原子鐘測量數據計算時間尺度,選取數據時間段2023 年2 月3日0 時至2023 年11 月30 日23 時,MJD 為59978—60278.96,數據采樣間隔為1 h.根據國際權度局(BIPM)每月公布的原子鐘速率公報扣除相應的原子鐘的速率,結合原子鐘每月速率的變化取權重計算時間尺度,測量國產鐘Cs3050 與時間尺度的相位偏差.線性二次高斯算法控制國產鐘到時間尺度,約束矩陣隨機選取為情況3,即WR=1 .根據BIPM 發布的快速協調世界時(UTCr)分別評估控制Cs3050 和自由運行Cs3050 的性能,UTCr 數據為協調世界時每天0 時的測量相位偏差.分別抽取控制國產鐘的測量數據和自由運行的國產鐘測量數據與UTCr 測量時刻相對應,通過做差得到UTCr 與控制國產鐘的相位偏差,UTCr 與自由運行的國產鐘的相位偏差,測量間隔為1 d.控制結果如圖11 所示,控制國產鐘與UTCr 保持在5 ns 以內.長期穩定度如圖12 和表3 所示,對于取樣間隔為10,20,30,40 d,控制國產鐘的Allan偏差明顯小于自由運行國產鐘的Allan 偏差,說明控制國產鐘的穩定度提高,本文算法有效提高了國產鐘的長期穩定度.

表3 自由運行Cs3050 與駕馭后Cs3050 相對于UTCr 的頻率穩定度Table 3.Frequency stability of free running Cs3050 and controlled Cs3050 relative to UTCr.

圖11 控制后Cs3050 與UTCr 的相位偏差Fig.11.Phase deviation of the controlled Cs3050 from the UTCr.

圖12 自由運行Cs3050 與駕馭后Cs3050 相對于UTCr 的頻率穩定度Fig.12.Frequency stability of free running Cs3050 and controlled Cs3050 relatived to UTCr.

估計控制國產鐘的頻率漂移,分別以UTCr 為參考估計控制國產鐘的頻率漂移和自由運行的國產鐘的頻率漂移.計算周期為30 d,所研究數據共分10 個周期,通過對每個周期相位偏差數據做二次線性擬合估計頻率漂移,估計結果如表4 和表5所列.表4 表示自由運行國產鐘的頻率漂移,表5表示控制國產鐘的頻率漂移.比較表4 與表5,控制國產鐘的頻率漂移相對于自由運行國產鐘明顯降低,說明本文算法有效降低了國產鐘的頻率漂移.

表4 自由運行 Cs3050 相對于UTCr 的頻率漂移Table 4.Frequency drift of free-running Cs3050 with respect to UTCr.

表5 控制Cs3050 相對于UTCr 的頻率漂移Table 5.Frequency drift of controlled Cs3050 relative to UTCr.

4 結論

基于噪聲類型,研究了國產光抽運小銫鐘的控制模型.利用線性二次高斯控制理論,研究了不同約束矩陣條件下的國產光抽運小銫鐘的同步時間,控制準確度和穩定度.當二次損失函數中控制量約束矩陣選取較小時,控制國產鐘同步需要的時間短,控制國產鐘的準確度高,但是短期穩定度較差.當二次損失函數中控制量約束矩陣選取較大時,控制國產鐘同步需要的時間較長,控制國產鐘的準確度降低,但是短期穩定度高,與自由運行國產光抽運小銫鐘的短期穩定度相當.因此結合文中的研究結果,選取適合的約束矩陣以滿足實驗室需求的守時指標,比如同步時間、控制準確度和穩定度.

基于國產光抽運小銫鐘的控制模型,研究了不同控制間隔的鐘的性能.對于不同的控制間隔,本文給出了國產光抽運小銫鐘的同步時間,控制準確度和穩定度.對于較小的控制間隔,需要的同步時間較短,控制準確度高,但是短期穩定度降低.對于較大的控制間隔,需要的同步時間較長,控制準確度降低,但短期穩定度高.根據實測數據,給定控制間隔范圍內,控制準確度優于5 ns.控制后的中長期穩定度得到改善.

根據實測數據,基于最優控制理論的國產光抽運小銫鐘頻率控制算法的研究結果,當約束矩陣控制間隔為2 h,控制準確度為2.29 ns,短期穩定度接近自由運行國產光抽運小銫鐘,中長期穩定度得到明顯提高,能夠較好地滿足各項守時指標.