數字型太赫茲帶通濾波器的逆向設計及優化*

居學尉 張林烽 黃峰? 朱國鋒 李淑錦 陳燕青 王嘉勛 鐘舜聰 陳盈4)? 王向峰??

1) (福州大學機械工程及自動化學院,福建省太赫茲功能器件與智能傳感重點實驗室,福州 350108)

2) (CAD/CAM 福建省高校工程研究中心(莆田學院),莆田 351100)

3) (智能配電網裝備福建省高校工程研究中心,福州 350108)

4) (福州大學物理與信息工程學院,福州 350108)

針對高性能太赫茲功能器件的規范化設計需求,本文將智能逆向設計方法應用于太赫茲帶通濾波器的設計與優化中.建立與數字空間映射的亞波長超表面等效模型,從設定器件的目標功能和約束條件出發,利用智能算法探索整個解空間中的全部可能結構,迭代尋優至最優結構圖案.本文利用搭建的逆向設計框架設計了中心頻率為0.51 THz、帶寬為41.5 GHz、插入損耗為–0.1071 dB 的太赫茲帶通濾波器.與傳統的人工正向設計相比,逆向設計方法可解構出窄帶、低插入損耗、帶外抑制強、極化穩定性強的帶通濾波器.

1 引言

太赫茲(terahertz,THz)帶通濾波器(bandpass filters,BPFs)是指允許通過某一特定頻段的THz 波、同時將其他頻段分量衰減到極低水平的濾波元件,因此廣泛應用于THz 通訊、成像及隱身等領域[1–3].THz BPFs 的實現方式有很多種,包括全封閉金屬結構波導[4]、光子晶體[5]、頻率選擇表面[6,7]、超材料[8]等.傳統的設計方法依賴于設計者的經驗和光學理論,在不改變主體結構的前提下,通過人為不斷優化單元結構的特征參數以實現特定性能,設計流程復雜缺乏規范化,顯然已不適合于未來光子器件智能化、精準化、設計周期短的發展趨勢.

高效率、系統化的設計需求牽引著設計形式的更新與變革,智能逆向設計方法為高性能、多功能化的太赫茲器件設計提供了新的解決辦法.該方法利用人工智能算法加速光學器件的設計和優化,不同于從器件結構向目標性能的正向設計方法,逆向設計方法是從器件的目標功能出發,通過人工智能算法探索整個設計區域的全部可能結構,自主迭代優化來尋找符合功能需求的結構.通過逆向設計方法設計出的光學器件具有非規則結構,但也能實現目標功能,可激發設計者的創新潛力并拓寬其設計思路.現如今人工智能算法廣泛應用于光學器件的逆向設計中[9],大致可分為基于群體的啟發式算法和基于訓練集的機器學習類算法兩種設計模式.如利用遺傳算法反復迭代設計出了超材料吸波體[10–12]和納米光子波長路由器[13]等,利用深度學習方法準確預測了三維手性超材料[14]和超表面天線[15]等,還有結合機器學習和進化算法逆向設計出了石墨烯超材料[16]和殼基機械超材料[17]等光學器件.

然而在THz 波段,逆向設計方法的研究還相對匱乏.本文基于兩種智能算法開展了“數字型”(像素型) THz BPFs 結構的逆向求解和結構優化研究,智能算法依據設定的目標功能和約束條件在整個解空間中進行迭代尋優至最優結構圖案.該方法不需要任何先知的結構或形狀,僅需要指定設計區域及目標功能函數等參數,即可實現從性能設定到目標結構的逆向設計,智能逆向設計方法作為創新設計的有益補充不限于此案例,可促進現代光學器件設計從被動優化到逆向創造.

2 逆向設計方法

若要操縱太赫茲波完成更為復雜的功能,則需要在設計太赫茲功能器件時考慮更多的因素,而傳統的正向設計方法已經無法滿足其需求.逆向設計方法打破了傳統正向設計方法多自由度受限的困境,以器件目標性能為導向,利用智能算法探索設計區域所有可能的結構,直到設計出符合目標性能的結構分布.該方法不僅節約人工成本和縮短設計周期,還讓設計過程更加規范化和精準化.本文以光譜分析系統/成像中重要構成器件太赫茲帶通濾波器為研究案例,開展數字型太赫茲功能器件的逆向設計研究,具體數字編碼化仿真建模步驟如下.

2.1 基于直接二進制搜索算法的數字化仿真建模

直接二進制搜索(direct binary search,DBS)算法本質上是一種遍歷搜索算法,通過迭代搜索整個設計區域從而得到最優全息圖.假設設計區域為正方形,并按照一定的策略進行離散編碼化,劃分成n×n(n取決于設計精度)個方塊(像素網格),該算法從第1 個像素點逐一更改圖像中的像素點的邏輯狀態(從0 變為1,或從1 變為0),在每次更改圖像的一個像素點后都需要重新計算目標函數,即每次迭代都要進行n×n次運算.DBS 算法已經被廣泛應用于偏振分束器和功率分配器的設計和優化中[18,19],當然該思想也可應用于THz BPFs 的逆向解構中,利用其對傳統頻率選擇表面(FSS)的單元結構、特征尺寸和像素周期等參數進行優化,其目的是尋找性能最佳的介電常數分布,以實現設計性能指標.基于DBS 算法的數字化逆向仿真建模步驟如下.

1) 物理模型抽象為數學語言.傳統的十字型FSS BPFs 的結構示意如圖1(a)所示,FSS 的單元結構是二維周期結構中最小的元素(紅虛線方框標注).而數字編碼化是指對該最小元素繼續進行切割,劃分成為n×n個可尋址的像素點(紅實線方框標注),其結構示意如圖1(b)所示,與之相對應地產生一個長度為n2的編碼串.每個像素點有兩個邏輯狀態,“0”代表空氣(金屬材料被刻蝕),“1”代表金屬(金屬材料沒有被刻蝕),因此與物理模型一一對應的編碼串成為二進制字符串,至此完成了亞波長結構與離散編碼序列之間的映射建模.

圖1 (a)傳統的十字型FSS;(b)數字型THz BPFs 中像素點分布和1/8 對稱結構示意圖(紅三角形虛線框所示)Fig.1.(a) A traditional cross-type FSS;(b) schematic diagram of the pixel distribution and 1/8 symmetrical unit structure surrounded by red triangle in a digital THz BPFs.

2) 設定器件理想性能的目標函數并定義品質因子(figure of merit,FOM).本文在設計THz FSS 時,目標是中心頻率處透射率越高,帶寬越窄,帶外透射率幅值越小,因此該目標性能指標可近似定義為一維高斯函數,如圖2(a)所示.在Matlab軟件中可通過調整函數gaussmf(x,[AB])中的A/B參數控制其形狀,參數A控制通帶的半峰全寬(full width at half maxima,FWHM),參數B控制中心頻率fgoal的位置.FOM 值是將結構的實際光學透射率曲線與目標透射率曲線進行比較,定義為多點頻率處透射率與理想值差值的平方和,故本文FOM 值定義如下:

圖2 (a)理想性能的目標函數;(b)逆向設計方法流程圖Fig.2.(a) Ideal performance indicators;(b) the flow chart of reverse design method.

其中,T1為fgoal處的透射率;T2,T3分別為fgoal±BFWHM/2 處的透射率(BFWHM為設定的帶寬);T4,T5,T6,T7為均勻分布在通帶外各頻率點處的透射率,如圖2(a)所示.

3) 初始化并迭代尋優.初始化過程是通過在Matlab 數值編譯軟件中隨機生成一串長度為n2并由0 和1 數字組成的二進制編碼串,經解譯后將等效的物理模型導入電磁場仿真軟件(FDTD Solutions)中進行結構的光學響應(透射率)計算,返回的仿真結果代入(1)式中計算初始FOM 值.然后,從第1 個像素點逐一更改初始編碼串中像素點的邏輯狀態,令其狀態0→1 或1→0,解譯新的編碼串并對新結構進行仿真計算,獲得其FOM值.與先前的FOM 值進行比較,如果FOM 值得到改善,則保留更改編碼串點處的邏輯狀態,反之則保留原來的邏輯狀態.在DBS 方法中,逐點輪詢各像素單元的邏輯狀態,總共需要進行n2次更改,稱作一次迭代,并保留本次迭代中最優的FOM值.重復上述Matlab 與FDTD 聯合優化步驟,經過多次迭代,當FOM 值收斂,性能不再提升時終止,最終得到滿足設計要求的最優結構圖案,迭代尋優流程圖如圖2(b)所示.

值得權衡的是像素點越小,輸出的器件功能與設計性能越匹配,不過隨之帶來的是對應編碼長度呈指數型增長,消耗巨大的計算資源.因此,采用旋轉中心對稱結構并引入旋轉對稱機制進行編碼,使編碼串長度減小為原有長度的1/8,其1/8 對稱結構如圖1(b)所示.該處理方式不僅大大減少了仿真計算時間,即每次迭代只需完成n(n+2)/8 次可尋址像素點的翻轉和仿真計算;還使器件具有極化不敏感特性,可以直接抵消電場極化帶來的影響,即器件結構不但關于x軸和y軸對稱,還關于兩條對角線對稱[20].

本文器 件設計 參數如 下:fgoal=0.5 THz,BFWHM=0.05 THz,單元結構周期L=150/fgoal=300 μm,單元結構劃分為20 × 20 個像素點,每個像素點邊長l=L/20=15 μm,材料為鋁箔,其等離子體頻率為2.24×1016rad/s,阻尼系數為1.12×1014rad/s[21],厚度d=10 μm.FDTD 中其他參數設置如下: 仿真時長t=200 ps,平面波光源頻率范圍為0.1—1.5 THz,全局網格劃分精度為5 μm,局部網格(作用區域)劃分精度為1 μm.

2.2 基于離散粒子群優化算法的數字化仿真建模

運用DBS 算法優化設計區域時,會逐點輪詢所有像素單元的邏輯狀態,耗時較長且非常容易陷入局部最優解,為此采用全局搜索能力強、收斂速度快且精度高的離散粒子群優化(binary particle swarm optimization,BPSO)算法進行逆向設計[22].BPSO 算法是一種基于群體智能的進化算法,能根據環境中獲得的適應度信息,應用某些類型的算子來更新個體,從而使種群中的個體向更優的解區域移動.因此,BPSO 算法善于在離散空間中尋找最優解,每個粒子代表可行解集中的一個解,定義某一時刻粒子i的位置X和速度V如下:

位置向量X(i)中每個分量元素xn(i)為0 或1,對應映射模型的數字編碼串;速度向量V(i)中分量元素vn(i)為特定范圍內的實數,決定其探索最優解空間的能力.在迭代優化過程中,粒子的位置和速度更新公式如下[23,24]:

其中,ωk為慣性權重;c1和c2是加速度常數,通常設置為2;r1,r2,ρ 均為0—1 之間的隨機數;和分別為第i個質點在第k時刻的速度和位置;為單個粒子歷史最優值和全體粒子歷史最優值;K為最大迭代次數;ωini為初始慣性權重;ωend為迭代至最大次數時的慣性權重.同時,選取合適的粒子群規模(設置為5)和學習因子(設置為2)等算法參數,讓該算法在優化的前期能更快地收斂并獲得全局最優解.基于BPSO 算法的數字化仿真建模迭代尋優流程如圖2(b)所示,兩組算法的仿真模型及目標函數等參數設置均保持一致,唯一不同點在于兩種算法迭代尋優的機制上.

3 仿真優化結果與討論

上述兩種算法的數字化仿真建模及計算均是在CPU 處理器為Intel Core i5-10400F@2.9 GHz,64G 內存,64 位Windows 10 操作系統下,通過軟件Matlab 2018a 和FDTD 2020 互關聯運行完成計算.DBS 和BPSO 兩種算法優化后的單元結構和相應透射率曲線如圖3 所示,圖3(a)—(d)中兩種算法的最終優化結構完全不同,是因為FOM 函數是一組非凸函數,具有多個局部最優點,兩組算法均陷入了局部最優解.DBS 算法本身是局部優化算法,容易陷入局部最優解,而BPSO 算法是全局優化算法,在本工作中也陷入了局部最優解,可能是算法參數設置不合適導致粒子群收斂于局部最優值.對比圖3(e)—(h)的透射率曲線,DBS 算法設計的插入損耗分別為–0.0582 dB,–0.0268 dB;而BPSO 算法設計的插入損耗分別為–0.0325 dB,–0.1070 dB.綜合比較兩種算法設計的器件性能,BPSO 算法尋優的解其帶外抑制效果好、半峰全寬窄,但中心頻率處透射率略低.其中插入損耗IL 的計算公式為 10 lgT,T為中心頻率的透射率.

圖3 DBS 和BPSO 兩種算法優化后的單元結構和相應透射率曲線Fig.3.Unit structure and corresponding transmittance curve optimized by DBS and BPSO algorithms,respectively.

兩種算法的FOM 值隨迭代次數變化曲線如圖4 所示,DBS 算法共需要迭代7 次,但單次迭代需要遍歷全局共55 個像素點,故完成一次優化需要進行385 次FDTD 的仿真計算.而BPSO 算法共需要迭代65 次,但單次迭代需要計算粒子群中5 種粒子對應的不同結構,故完成一次優化需要進行325 次FDTD 的仿真計算.兩種算法在FDTD仿真過程中均設置相同的尺寸大小、像素數和網格密度等參數,其單次仿真平均計算時間約為30 s,故DBS 和BPSO 算法分別完成一次優化的仿真時間為11550 s 和9750 s,即BPSO 算法計算時間短、優化效率高.

圖4 (a) DBS 和(b) BPSO 兩種算法在優化過程中FOM 值隨迭代次數的變化Fig.4.Variation curve of FOM value versus iteration number in the optimization process of (a) DBS and (b) BPSO algorithms,respectively.

圖4(a)中DBS 算法的迭代過程比較平緩且FOM 值最終收斂于0.069,而圖4(b)中BPSO 算法的迭代過程首先快速下降,表現為BPSO 算法僅需60 次仿真即可讓FOM 值下降至0.15,而DBS算法卻需要220 次仿真,隨后迭代次數增加下降趨勢平緩,直到FOM 值幾乎不發生變化,最終收斂于0.056.綜上可見,BPSO 算法依據設定的目標功能和約束條件在整個解空間中進行迭代尋優,在全局優化過程中利用每組結構的歷史最優值與全局最優值作為下一次的迭代方向,相較于DBS 算法在優化前期能更快地收斂.同時BPSO 算法通過不斷調節優化區域的結構使其功能不斷地逼近極值,最終收斂的FOM 值更小,因此該算法最終優化結果與預先設定的目標函數匹配程度高.

BPSO 算法通過優質的進化策略迭代尋優,用目標導向代替隨機迭代,選取優化過程中不同FOM值觀察算法的尋優機制.如圖5(a)所示,當FOM值為0.150 時,結構的中心頻率處于0.64 THz,半峰全寬為133.4 GHz,帶外透射率幅值較高;經過數次穩定且有準確進化方向的迭代,FOM 值降低至0.100,其中心頻率也移動至0.49 THz,半峰全寬變窄至35.6 GHz,但帶外透射率幅值依舊較高;當FOM 值收斂于0.056 時,中心頻率和半峰全寬逼近設置參數,且帶外透射率幅值下降至0.05 以下.綜上尋優過程,BPSO 算法首先滿足中心頻率及帶寬的要求,隨后抑制帶外透射率以實現目標功能.為測試該智能化THz BPFs 逆向設計框架的穩定性,輸入其他不同目標頻率至該框架中,其優化結果如圖5(b)所示,結果表明本文搭建的逆向設計框架可實現不同功能器件結構的精準求解.上述規范化設計流程不限于此案例,還適用于帶阻、高通、低通、偏振等其他功能性太赫茲器件的設計,具有通用性.

圖5 (a) BPSO 算法在迭代尋優過程中不同FOM 值對應的透射率曲線;(b) BPSO 算法設計不同中心頻率處THz BPFs 的透射率曲線Fig.5.(a) Transmittance curves corresponding to different FOM values in optimization process of BPSO algorithm;(b) transmittance curves of THz BPFs at different center frequencies designed by BPSO algorithm.

圖6(a),(b)分別為逆向設計和傳統設計按目標需求設計得到的性能最優的帶通濾波器,其對應的透射率光譜如圖6(c),(d)所示.對比光譜結果可以看出逆向設計得到的結果fgoal處透射率更高、BFWHM更窄且帶外抑制效果更好,更符合目標性能.

圖6 逆向設計和傳統設計優化后的單元結構及其透射率曲線Fig.6.Unit structure and its transmittance curve optimized by reverse design and traditional design.

逆向設計直接從目標出發,設計出的器件性能更加優異.相比于傳統設計,通過逆向設計的精細結構變化對透射光譜有明顯的影響.以圖5(b)中,中心頻率為0.6 THz 的帶通濾波器為例,其結構的具體簡化步驟如圖7 所示,首先將圖7(a)中懸空的金屬去除(箭頭所指),隨后將圖7(b)中鋸齒狀邊緣用空氣沿直線近似填補,最后去除圖7(c)中紅色圓圈所指的空氣矩形,得到圖7(d)所示的簡化單元結構.從圖7(e)—(h)可以看出,隨著單元結構中幾個像素單元的變化,其透射光譜發生著顯著的變化.其中心頻率從0.59 THz 逐漸移動 至0.85 THz,BFWHM從78.8 GHz 逐漸展寬至145.2 GHz,由此可以看出精細結構對帶寬、透射率以及帶外抑制具有深刻的影響,體現了逆向設計的優越性.值得注意的是,簡化后中心頻率處峰值透射率略微降低,帶外透射率變高,同時簡化后的樣品透射光譜與傳統十字型、Y 型、圓孔型FSS 的透射光譜相似.

圖7 (a)—(d)結構簡化過程;(e)—(h)相應的透射率光譜Fig.7.(a)–(d) Process of structural simplification;(e)–(h) corresponding transmittance spectra.

4 結論

本文構建了基于DBS 和BPSO 算法的逆向設計框架并以此設計了窄帶、低插入損耗、帶外抑制強的數字型THz BPFS.研究發現BPSO 算法相較于DBS 算法收斂速度更快、尋優能力更強、優化結果性能更優.通用化和標準化的逆向設計框架優于傳統人工正向設計,可以滿足當下多樣化、快節奏的設計需求,有助于高性能和新奇功能器件的設計與優化.