基于實穩定方法的原子核單粒子共振相對論Hartree-Fock 模型*

楊威 丁士緣 孫保元?

1) (蘭州大學教育部稀有同位素前沿科學中心,蘭州 730000)

2) (蘭州大學核科學與技術學院,蘭州 730000)

利用坐標空間的實穩定方法,在相對論 Hartree-Fock (RHF)理論框架下發展了原子核單粒子共振態結構模型.具體以120Sn 的低激發中子共振態為例,探討了交換項在影響共振能量、寬度以及自旋-軌道劈裂等性質中的作用.相較于一般的相對論平均場(RMF)理論,RHF 中交換項的引入改變了核介質中有效核力的動力學平衡機制,進而影響共振態單粒子勢的描述.對于一般的寬共振態,這可能導致相對更低的共振能量和更小的共振寬度.此外,對120Sn 共振態中 νi13/2與νi11/2 自旋伙伴態,還分析了交換項對其自旋-軌道劈裂的相關效應.與束縛態情形相比,共振態中自旋伙伴態的波函數可能存在顯著區別,單粒子有效勢與能量也相應發生改變.結果表明,不僅自旋-軌道相互作用,單粒子有效勢中其他成分也是影響共振態自旋-軌道劈裂的重要因素.

1 引言

隨著放射性離子束裝置和相關核實驗探測技術的發展,原子核結構研究領域不斷拓展,原子核激發態以及一些遠離β 穩定線的奇特核性質得以揭示.對于其中一些弱束縛的原子核,其費米面可能接近連續譜,使得價核子容易散射到連續譜中占據共振態,這些連續譜效應對于奇特核結構的描述至關重要[1–5].除此之外,實驗上也可以通過單核子轉移反應[6]、削裂反應[7]、拾取反應[8]等來研究原子核的激發譜.利用這些能譜信息,并結合原子核激發和反應理論,可以間接分析單粒子共振在這些激發譜中的作用.例如,在原子核巨共振圖像中,利用無規相位近似方法,通過比較包含連續譜和只包含單粒子共振態的計算結果,發現連續譜中單粒子共振態影響巨共振的重要物理機制[9,10].深入理解原子核共振相關的性質,對于原子核穩定性、衰變特征等描述都可能產生影響.除了核物理領域,在原子和分子物理問題中也揭示了共振態的重要作用[11,12].

在單粒子共振態研究中,重要的是確定共振能量、寬度等共振參數.這可以直接從散射理論計算得到,例如采用R-矩陣理論[13,14]、K-矩陣理論[15]、S-矩陣理論[16]等.另一類方法則考慮類束縛態問題的求解,如耦合常數解析延拓法(analytical continuation in the coupling constant,ACCC)[17–20]、復標度方法 (complex scaling method,CSM)[21–24]、實穩定方法 (real stabilization method,RSM)[25–28]等.在原子核結構研究中,協變密度泛函 (covariant density functional,CDF)理論實現了對核素圖中大部分核素的成功描述,在考慮平均場近似后已發展出各種版本的相對論平均場(relativistic mean-field,RMF)理論[5,29–32].與共振態求解方法相結合,RMF 理論已成功應用于原子核單粒子共振態的共振參數分析中,例如RMF-ACCC 方法[33]、RMF-CSM 方法[34,35]、RMF-RSM 方法[36,37]、Jost函數方法[38,39]、散射相移方法[40]、格林函數法[41–44]等.最近,通過采用復動量表象,還發展了復動量表象 法(RMF-complex momentum representation,RMF-CMR)[45]方法.將格林函數方法與Bogoliubov 準粒子變換相結合用于研究包含對關聯效應的單粒子共振態在近期也開展了相關工作[46].

近些年來,通過進一步考慮兩體相互作用中交換項(即Fock 項)的貢獻,在原子核CDF 框架下還發展了密度依賴的相對論Hartree-Fock 理論,其中介子-核子耦合強度采用了密度依賴的唯象形式以實現核力介質效應的有效描述[47–50].交換項的引入使得π 介子交換、非局域自能以及核力中張量力成分得以自洽包含[51–53],在核結構與核天體物理等方面已開展了廣泛的應用,如殼結構演化[54,55]、激發和衰變模式[56–58]、超重核與奇特核的新奇現象[59–61]、核物質對稱能[62–66]、核子有效質量[67]、中子星物質狀態方程[67,68]等.近期研究還表明,密度依賴的RHF 模型在考慮交換項貢獻后顯著改變了核介質中核力的吸引與排斥平衡特征,其動力學效應在自旋或贗自旋對稱性[69–71]、核子或超子的自旋-軌道劈裂[72,73]以及熱核物質液氣相變[74,75]等方面均產生影響.

在密度依賴的相對論Hartree-Fock 理論已成熟發展并廣泛應用的基礎上,本文將其拓展用于單粒子共振態研究中.作為可能的一種嘗試,將采用坐標空間的實穩定方法,發展原子核單粒子共振RHF 模型,并著重討論交換項對共振態結構的相關效應.實穩定方法作為一種類束縛態計算方法,通過在坐標空間中求解微分方程,并基于連續譜中的共振態能量應穩定這一事實,利用盒子尺寸改變時解的穩定性來提取出單粒子共振態相關信息[25].具體地,下文將簡要介紹球形原子核RHF 理論框架以及單粒子共振態實穩定求解方法.隨后以120Sn 原子核為例,分析其單粒子共振態中共振參數以及自旋-軌道劈裂等性質,揭示交換項的相關作用.

2 相對論Hartree-Fock 理論及實穩定方法

基于核力的介子交換圖像,原子核內核子-核子相互作用通過介子場來傳遞.在密度依賴的RHF 理論中,有效拉格朗日量密度由核子場ψ,同位旋標量σ和ωμ介子場,同位旋矢量ρμ和π 介子場,以及光子場Aμ等自由度構建[76].利用拉格朗日量密度,通過廣義Legendre 變換可以得到體系的有效哈密頓量算符[76]:

其中,γ為γ矩陣;M為核子靜止質量;?=σ,ω,ρ,π,A;相互作用頂角以Γ?表示;D?則為對應的傳播子.與相對論平均場理論類似,RHF 理論在核子場ψ 的量子化中也可引入無海近似,即忽略反核子場對密度和流的貢獻.此時,ψ 可按照正能解形式展開:

其中,fi為Dirac 旋量,ci為單粒子態i的消滅算符.相應地,在Hartree-Fock 基態 |Φ0〉下對哈密頓量算符求期待值可以得到體系的能量泛函E:

這里,Ek為動能貢獻,而分別為勢能中直接項和交換項貢獻.

在球對稱近似下,Dirac 旋量fi可在球坐標中展開為以下形式:

其中,主量子數n、總角動量j及其投影m,以及宇稱π=(-1)l(l是軌道角動量)構成體系的好量子數.定義κ 統一表示總角動量j和宇稱π,即κ≡±(j+1/2)和π=(-1)κsign(κ) .用指標a簡寫量子數集合 (nκ)=(njl),?κm為球諧旋量.相應地,核子單粒子能級可以通過求解Dirac 方程來確定.在球形原子核的RHF 理論中,徑向Dirac 方程,即相對論Hartree-Fock 方程形式如下:

其中,局域自能Σ±=Σ0±ΣS,是由矢量介子(ω,ρ)和光子場(A)貢獻的局域自能Σ0和來自σ介子貢獻的標量自能ΣS組成;Xa和Ya為非局域自能[50,69].可以看出,非局域項Xa和Ya的引入使得方程成為耦合的積分-微分方程.為了對其實現數值求解,作如下定義:

相應地,Dirac 方程(5)式重新表述為一種準局域化形式:

可通過迭代方法得到其數值解.

通常,采用基展開方法或在有限空間的盒子中對Dirac 方程進行求解,可以得到核子的單粒子能級.對于束縛態,在保證足夠的截斷下,其本征能量不依賴于坐標空間或者基空間的選取.對于連續態,大多數能級的能量隨基空間或坐標空間的增大而減小,但其中有一些態的能量則幾乎不隨基空間或坐標空間的變化而改變,即共振態.根據連續譜單粒子能量隨坐標空間變化的特征,即共振態能量應與基空間選取無關這一特征,本文將采用實穩定方法求解原子核的單粒子共振態.作為一種求解共振態參數的類束縛態方法,實穩定方法中可以采用不同方式來獲取共振參數Eγ和Γ[25,27].在坐標空間RHF 模型求解中,本文將采用Maier等[25]提出的方法.其中,共振能量Eγ由關系式?2E/?2Rmax=0確定,相應的Rmax記為,即Eγ=E() .對于共振寬度,可以根據E隨Rmax的變化曲線經由下式[36]得到:

為了研究原子核單粒子共振態的自旋-軌道劈裂,并分析交換項在其中的作用,可以將Dirac 方程(7)進一步改寫.得到只包含大分量G(r) 的類薛定諤方程,并將其勢場中的直接項和交換項貢獻區分開,

類薛定諤方程(9)中,由于直接項所產生的貢獻定義為

3 結果與討論

下面以具體的原子核為例,在RHF 模型中應用實穩定方法計算其單粒子共振態相關性質,討論考慮交換項可能產生的作用.為開展比較研究,本文采用CDF 模型中幾種有效的核子-核子相互作用,包括三組RHF 有效相互作用PKOi(i=1,2,3)[47,54,77]和五組RMF 有效相互作用: DD-LZ1[78],PKDD[79],DD-ME2[80],PK1[79]和NL3[81].具體選取120Sn 原子核,計算中子單粒子共振態的共振參數.利用實穩定方法計算時,在坐標空間大小為Rmax的盒子中求解Dirac 方程并且選定格點步長為 0.1 fm,Rmax初始大小為 8 fm.通過不斷增加盒子的大小,可以得到不同能級能量隨盒子大小變化的曲線,并根據曲線平臺和穩定性條件?2E/?2Rmax=0尋找120Sn 的單粒 子共振 態.此外,在實穩定方法計算中,考慮對關聯可能引起原子核總結合能隨空間截斷參數(Box)改變出現不穩定躍變,對方法提取相應共振參數可能產生不確定性誤差.為了與RMF 理論結合RSM 方法的結果[36]進行比較,并側重于分析交換項本身引起共振態單粒子性質的效應,在當前工作中也類似作出忽略對關聯效應的處理.

以PKO3,PKDD 兩組有效相互作用為例,給出不同共振態所 對應的E-Rmax關系曲線,如 圖1所示(其他不符合共振態條件的連續譜能級未在圖中畫出).可以看出,對于共振態,其單粒子能量隨著坐標空間的增加單調減小,并且在某個Rmax處存在一個“穩定的”平臺.通過穩定性條件提取出共振參數,在低激發能區發現數條可能的單粒子共振態,包括ν3p1/2,ν1h9/2,νf5/2,νi13/2,νi11/2,νj15/2.其中,對于ν3p1/2共振態,不同參數組得到的結論存在一定的差異,采用PKO3 有效相互作用能得到該共振態,而PKDD 則給出了連續態的行為.由于能級主量子數n的改變,共振參數會出現一定的演化,還需要利用其收斂性最終決定其數值.下面選取RHF 有效相互作用PKO3,以νj15/2共振態為例,根據圖1 中的E-Rmax關系曲線并利用 (8)式得到不同主量子數n下對應的共振能量和寬度,結果列于表1 中.

圖1 120 Sn 中子共 振態的 能量隨 坐標空 間截斷 Rmax 的變 化.對 νi13/2,νi11/2和νj15/2 態,主量子 數n 從左到 右由 n=1 開始依次增加.圖中實線表示RHF 有效相互作用PKO3,虛線表示RMF 有效相互作用PKDDFig.1.Dependence of single-particle energies on the coordinate space cutoff Rmax for neutron resonance states of 120 Sn.For νi13/2,νi11/2 and νj15/2,the principal quantum numbers start from n=1 and increase from left to right.The solid lines in the figure is represented as the RHF effective interaction PKO3 and RMF’s PKDD with dashed lines are selected for comparison.

表1 根據 120 Sn 中子 νj15/2 共振態在不同主量子數n 下的 E-Rmax 曲線得到對應的拐點大小 ,共振能量 Eγ 以及寬度 Γ.以RHF 有效相互作用PKO3 結果為例Table 1.Resonant energies Eγ,widths Γ and inflection points derived from E-Rmax curves with different principal quantum numbers n for the neutron resonance state νj15/2 of 120 Sn,illustrated by the RHF effective interaction PKO3.

表1 根據 120 Sn 中子 νj15/2 共振態在不同主量子數n 下的 E-Rmax 曲線得到對應的拐點大小 ,共振能量 Eγ 以及寬度 Γ.以RHF 有效相互作用PKO3 結果為例Table 1.Resonant energies Eγ,widths Γ and inflection points derived from E-Rmax curves with different principal quantum numbers n for the neutron resonance state νj15/2 of 120 Sn,illustrated by the RHF effective interaction PKO3.

從表1 可以看到,隨著主量子數n不斷增加,120Sn 中子νj15/2共振態的共振能量與寬度逐漸增大并趨于收斂.考慮到計算資源的限制,通常會對結果進行收斂性檢驗,并據此對n進行截斷.在實際計算中,當共振態的主量子數n與n+1 所得到的共振寬度差減小到約1%時,可將n處對應的取值作為該單粒子共振態的特征參數,例如對νj15/2態n=6 .進一步,還可以給出相應共振態波函數隨主量子數的依賴關系,如圖2 所示.這里仍以RHF 有效相互作用PKO3 計算得到的νj15/2共振態展示,其中各種n下對應的結果通過坐標空間截斷取為表1 中的而計算得到.鑒于共振態波函數在坐標空間有振蕩行為且表現出振幅逐漸衰減的特性,其共振寬度隨著n的增大將逐漸趨于穩定.從圖2 還可以看出,當n逐漸增大時,在束縛勢阱內部波函數逐漸趨于一致,其峰值的變化不再明顯,由此可驗證根據不同n值比較其收斂性來提取共振參數的可靠性.

圖2 不同主 量子數n 下120Sn中子 νj15/2 共振態 的徑向波函數,有效相互作用選取為PKO3Fig.2.Radial wave functions of νj15/2 neutron resonance state in 120Sn with different principal quantum numbers n,the effective interaction is selected as PKO3.

類似地,對于所有選取的CDF 有效相互作用,對120Sn 可能的單粒子共振態開展系統計算,提取出不同主量子數n下對應的共振能量及共振寬度.最 終,對共振態νi11/2與νj15/2取n=6,對νf5/2與νi13/2取n=4,給出了能量與寬度特征參數.對于ν3p1/2和ν1h9/2,因非常靠近連續譜閾值,通過檢驗主量子數n收斂的方法并不能有效提取共振參數信息.相應地,對這兩個態僅近似選取n=3和n=1 的結果作為共振參數,在表2 中列出.其中,基于有效相互作用PK1 與NL3 計算得到的結果與文獻[36]相一致.作為對比,基于相對論格林函數(RMF-GF)方法[43],利用PK1 相互作用計算得到的共振參數也在表2 中列出,可以看到兩種方法給出了基本一致的結果.對于接近連續譜閾值的ν3p1/2,ν1h9/2態,不同有效相互作用得到的結論存在差異.對于ν3p1/2態,只有PK1 和PKO3 給出其可能為單粒子共振態,其他參數則描述為束縛態或一般的連續態.對于ν1h9/2態,除了NL3,其余有效相互作用均能給出共振寬度趨零的理想單粒子共振.為了明晰不同模型給出的共振態參數的差異,在圖3 中標記出各有效相互作用得到的Eγ-Γ關系.可以看到對于窄共振態νf5/2與νi13/2,RHF與RMF 有效相互作用的結果比較接近;而對于寬共振態νi11/2與νj15/2,RHF 模型則給出了相對較小的共振能量與共振寬度.

圖3 不同CDF 有效相互作用下,120 Sn 中子 νf5/2,νi13/2,νi11/2和νj15/2 共振態 的共振 能量和寬度.圖中黑色、藍色和綠色標記分別表示RHF,DDRMF 和NLRMF有效相互作用的結果Fig.3.Single-particle energies and widths of neutron νf5/2,νi13/2,νi11/2 and νj15/2 resonances in 120Sn with different CDF effective interactions.The black,blue and olive marks in the figure indicate the results with the effective interactions of RHF,DDRMF and NLRMF,respectively.

表2 采取不同的CDF 有效相互作用給出的120Sn 中子共振態的能量和寬度,表中“”表示無法提取相關信息.所有單位均為MeVTable 2.Single-particle energies and widths of neutron resonances in 120Sn with different CDF effective interactions,“” in table means that the relevant information could not be calculated.All units are in MeV.

為了理解寬共振態中采用RHF 有效相互作用得到的共振參數相對于RMF 較小的原因,可進一步分析單粒子波函數以及單粒子有效勢的行為.圖4(a)給出了采用不同有效相互作用計算得到的120Sn 中子νj15/2共振態的大分量波函數Ga(r)/r.結合表2 可見,RHF在R～5 fm 附近給出相對較大的波函數峰值,粒子有更低的概率穿透到勢阱以外區域,對應較小的共振寬度.對于RHF 與RMF結果產生差異的原因,可進一步從介質中有效核力的動力學平衡角度來進行分析.為此,基于 (9)式可定義單粒子有效勢場

圖4 (a)不同CDF 有效相互作用下 120 Sn 中子 νj15/2 共振態的 徑向大 分量波函數;(b)對中子 νj15/2 共振態,PKO3 與PKDD 有效相互作用下類薛定諤方程中單粒子有效勢和單粒子能級,其中實線是總的勢場,虛線為直接項貢獻,陰影區域為交換項產生的影響Fig.4.(a) Radial wave functions of large component of 120 Sn neutron νj15/2 resonance state with different CDF effective interactions;(b) for neutron νj15/2 resonance state,effective potentials in Schr?dinger-like equation and corresponding single-particle energies with PKO3 and PKDD effective interactions.Solid lines are the total potentials,dotted line is the contribution from the direct terms and shaded area comes from the exchange terms of RHF model.

以RHF 有效相互作用PKO3 和RMF 的PKDD為例,給出120Sn 中子有效勢以及νj15/2共振態的單粒子能級,如圖4(b)所示.可以看到,盡管具有相似的離心位壘,但在R?8 fm 的有效勢阱內部,相比于PKDD,PKO3 給出了更深的束縛,相應的PKO3 給出的能級也更低,使得粒子較難穿透離心位壘而形成共振態.事實上,RHF 在考慮交換項貢獻后,介子交換的耦合強度發生改變,核介質中有效核力吸引與排斥間平衡機制是與RMF 情形存在較大區別.分析表明,RHF 中直接項貢獻的120Sn的單粒子有效勢與RMF 相比束縛更深(圖4(b)中的虛線).盡管具有排斥的交換項(圖4(b)中陰影所示)部分抵消了其貢獻,但總的有效勢仍然在勢阱內部出現了下降.

除了共振參數,介質中有效核力的動力學平衡的改變同樣也會影響單粒子自旋-軌道劈裂的描述.對于共振態中出現的 (νi13/2,νi11/2) 自旋伙伴態,下面選取RHF 有效相互作用PKO3 和RMF中的PKDD 對其性質展開討論.為了理解交換項在束縛態和共振態結果中的不同作用,同時選取了120Sn 核中束縛的自旋伙伴態 (ν1g9/2,ν1g7/2) 作為對照.對于一對自旋伙伴態,其自旋-軌道劈裂表示為

這里j±≡l±1/2,相應的結果在表3 中列出.同時,利用類薛定諤方程(9),將各項成分對于自旋-軌道劈裂貢獻也分解列出,通過有效勢在大分量波函數上求期待值得到.如動能部分G′′表示為

表3 120Sn 核中 νi 共振態和 ν1g 束縛態的自旋-軌道劈裂 ?ε,以及利用類薛定諤方程(9)得到各部分的貢獻.所有單位均為 MeVTable 3.Spin-orbit splitting of resonance states νi and bound spin partners ν1g in 120Sn,as well as their contributions from various components according to the Schrodinger-like Eq.(9).All units are in MeV.

從表3 可以看到,對于νi 共振態,Σ+和VCB貢獻相較于束縛態ν1g 變化非常顯著.為了理解二者差異的來源,現結合自旋伙伴態波函數和勢場做進一步討論.以RHF 有效相互作用PKO3 為例,圖5 給出了 (ν1g9/2,ν1g7/2)與(νi13/2,νi11/2)兩組自旋伙伴態波函數.可以看出,由于共振參數的差別,處于共振態的自旋伙伴態波函數差異較大,這與束縛態情形不同.另一方面,離心勢VCB與局域自能Σ+本身并不敏感依賴于自旋選擇.因此,這兩項有效勢貢獻在共振態與束縛態之間產生差異,主要由自旋伙伴態波函數差別所致.此外,對于VD和VE成分,其在νi 共振態的自旋-軌道劈裂中的貢獻相比于ν1g 束縛態結果均有所減小.不同的是,RMF 中這種效應僅來自于直接項貢獻,而RHF 中對于劈裂的減小作用則主要來自于交換項,其值由正變負.結果表明,由于共振自旋伙伴態波函數可能存在的差異,不僅自旋-軌道相互作用,單粒子有效勢中其他成分也是影響共振態自旋-軌道劈裂的重要因素,同時交換項有效勢對共振態自旋-軌道劈裂的貢獻也不可忽略.

圖5120Sn 核中共振態 (νi13/2,νi11/2) 和束縛態 (ν1g9/2,ν1g7/2) 自旋伙伴態對應的徑向大分量波函數,選取RHF有效相互作用PKO3 計算得到
Fig.5.Radial wave functions of large component of resonance states (νi13/2,νi11/2) and bound states (ν1g9/2,ν1g7/2),given by the RHF effective interaction PKO3.

4 結論

本文利用坐標空間的實穩定方法,發展了相對論Hartree-Fock 理論的原子核單粒子共振結構模型,基于RHF 有效核力PKOi(i=1,2,3)及RMF有效核力 DD-LZ1,PKDD,DD-ME2,PK1 和NL3,并以120Sn 中子共振態為例,驗證了計算方法的可行性并分析了共振能量、寬度以及共振態自旋-軌道劈裂等單粒子性質.

對于窄共振態,不同CDF 模型給出的結果差異較小.而對于寬共振態,RHF 有效相互作用給出的共振能量與共振寬度相較于RMF 有所減小,這與介質中有效核力的動力學平衡相聯系.通過對單粒子有效勢的分析,RHF 中交換項的引入改變了核介質中有效核力吸引與排斥間的平衡,對于共振態給出相對RMF 模型更深的準束縛勢阱.在離心位壘相當的情況下,RHF 中共振態能級相對更深的束縛使其穿透概率減小.此外,有效核力的動力學平衡也影響了單粒子自旋-軌道劈裂的描述.作為例子,選取出120Sn 共振態中νi13/2與νi11/2自旋伙伴態,分析了交換項對其自旋-軌道劈裂的相關效應,并基于類薛定諤方程中各成分的貢獻分析了共振態與束縛態中自旋伙伴態能級產生劈裂的不同機制.相較于束縛態,共振態中自旋伙伴態的波函數存在顯著差異,其單粒子有效勢與能量也相應發生改變.研究發現,除了自旋-軌道相互作用,單粒子有效勢中其他成分對于共振態中自旋-軌道劈裂的影響也需仔細考慮.

本文利用實穩定方法,在RHF 模型中較為方便地實現了原子核單粒子共振態中特征量的提取,并對介子交換相互作用中交換項在共振態性質中的作用做了初步分析.近來,基于ACCC 方法[33]、CSM方法[34,35]、Jost 函數方 法[38,39]、散射相 移法[40]、CMR 方法[45]等,結合協變密度泛函理論模型已開展了單粒子共振性質的研究.在原子核協變密度泛函理論中應用格林函數方法[43],還發現120Sn 中可能存在其他的寬共振態,基于實穩定方法則難以直接給出這些結果.此外,在核結構理論中,基于準粒子變換發展的Bogoliubov 法可以有效考慮連續譜貢獻,在奇特核研究中已開展廣泛應用[5,50].將格林函數法與Bogoliubov 方法相結合,在考慮對關聯效應的基礎上可以更準確提取單粒子共振態的能量和寬度信息[46].將這些新的單粒子共振態研究方法拓展到RHF 核結構模型中,結合核介質中動力學平衡機制分析的相關手段,有望進一步明確交換項在單粒子共振物理中的作用機制,并結合實驗不斷完善理論對于原子核弱束縛問題的描述.