原子核β 衰變壽命經驗公式*

夏金戈 李偉峰 方基宇 牛中明?

1) (安徽大學物理與光電工程學院,合肥 230601)

2) (安徽理工大學力學與光電物理學院,淮南 232001)

基于β 衰變的費米理論,提出一個計算原子核β 衰變壽命且不含自由參數的經驗公式.通過引入奇偶效應、殼效應以及同位旋依賴,新提出的經驗公式顯著改進了對原子核β 衰變壽命的預言精度.對于壽命小于1 s 的原子核,新經驗公式的預言結果與實驗壽命常用對數的均方根偏差降至0.220,這比不含自由參數的經驗公式提高約54%,甚至優于目前已有的其他經驗公式和微觀的準粒子無規相位近似方法.在未知核區,新經驗公式預言的輕核區原子核的β 衰變壽命一般短于各微觀模型的預言結果,而其預言的重核區原子核的β 衰變壽命與各微觀模型預言結果基本一致.進一步采用新經驗公式預言了核素圖上豐中子原子核的β 衰變壽命,為r -過程的模擬提供了壽命輸入.

1 引言

宇宙重元素起源是當前核天體物理領域的研究熱點[1,2],其中約有一半鐵以上重元素來自于快中子俘獲過程(r -過程),即通過連續的中子俘獲和β衰變合成元素[3–5].原子核的β衰變壽命是r -過程研究的必要輸入,對r -過程核合成研究具有重要影響.然而,r -過程涉及的大量原子核的β衰變壽命仍無法從實驗測得,尤其對于N=126 附近的原子核[6].因此,對β衰變壽命的理論預言是近年來核物理與天體物理共同關注的熱點課題[7–9].

研究β衰變壽命的理論模型目前主要有經驗公式[10–13]、gross 理論[14–17]、準粒子無規相位近似(quasiparticle random phase approximation,QRPA)[18–21]和殼模型[22–25]等.殼模型可以考慮β強度函數的精細結構,能夠很好地預測輕核和幻數附近原子核的β衰變壽命.然而,由于組態空間維數隨著價核子數目的增加而迅速增大,因此,無法使用殼模型對核素圖上所有原子核的β衰變壽命進行系統計算;相較于殼模型,微觀QRPA 方法可用于計算除少數輕核外所有原子核的β衰變壽命,例如基于有限程小液滴模型(finite-range droplet model,FRDM)[26]、非相對論密度泛函理論[18,19,27]和協變密度泛函理論[20,28–30]的QRPA 方法.然而,傳統矩陣形式的QRPA 方法計算非常耗時,為進一步提高計算效率,提出了有限振幅方法 (finiteamplitude method,FAM)求解QRPA 方程[31,32],最近,該方程已被用于系統地預測中等質量和較重豐中子同位素的β衰變壽命[33,34].1969 年,Takahashi 和Yamada[14]首次提出了一個基于強度函數求和規則的統計方法,用于處理原子核的β衰變躍遷,建立了描述原子核β衰變的gross 理論.然而,該理論在描述β衰變壽命方面存在一定的局限性.為了改進這一描述,文獻[15]通過修正單粒子強度函數,成功再現了實驗的Gamow-Teller 巨共振信息,改進了gross 理論對β衰變壽命的描述,該模型被簡稱為GT2.此外,文獻[16]通過考慮母核的殼效應,發展了semi-gross 理論(semi-gross theory,SGT),其預測精度已與微觀模型相當.近年來,研究者們在gross 理論中引入各種微觀效應,例如中子和質子單粒子能級的宇稱變化[17]、自旋和宇稱變化[35]以及相對論Hartree-Bogoliubov 理論中的自旋-軌道劈裂[36]等,這些改進顯著提高了gross理論的預言精度,甚至優于微觀模型.盡管gross 理論已經能夠很好地再現β衰變壽命的實驗值,但是對遠離穩定線核區的預測,其可靠性仍有待檢驗.

相比其他研究原子核β衰變壽命的方法,經驗公式具有更高的計算效率,通過引入自由參數,可以取得較高的預言精度.除了質子數和中子數外,原子核β衰變壽命的經驗公式通常只需要原子核的β衰變能作為輸入,而原子核的β衰變能可以根據原子核的質量得到.因此,采用β衰變壽命的經驗公式,可以為各種原子核質量模型提供相應的β衰變壽命,從而為r -過程研究提供更為自洽的原子核質量和β衰變壽命輸入.β衰變壽命的經驗公式可以追溯至早期的薩金特定律[37],即原子核β衰變壽命和β粒子最大能量(即Em)的五次冪成正比.由于該公式所采用的近似較為粗糙,因此預言精度相對較低.通過對薩金特定律中β衰變能的常系數和指數項引入兩個自由參數,相較于薩金特定律,預言能力有所提升[10].文獻[11,12]發現,β衰變壽命與母核的核子數之間存在著指數關系,由此提出了β衰變壽命的指數定律,進一步引入與母核的核子數相關的殼效應修正項,顯著改進了對幻數附近原子核β衰變壽命的描述.文獻[13]基于原子核β衰變的費米理論,對相空間因子取相對論極限近似,進一步考慮奇偶效應和殼效應,提出了一個β 衰變壽命的新公式,相比指數規律,該公式更好地描述了已知實驗壽命,并基于此構建了各種原子核質量模型對應的β衰變壽命,為r -過程提供了相對自洽的β衰變壽命輸入[38].基于薩金特定律,文獻[39]通過引入同位旋不對稱項、奇偶效應項和殼效應項,進而提出計算β衰變壽命的新經驗公式,可以更好地描述質子數Z=10—80 且中子數N=15—130 核區原子核的β衰變壽命.

為進一步提高β衰變壽命經驗公式的預言能力,本文將基于原子核β衰變的費米理論,對費米積分函數采用相對論極限近似,并忽略核躍遷矩陣元的影響,首先提出一個無自由參數的β衰變壽命計算公式.進一步引入同位旋依賴、奇偶效應和殼效應等修正項,并將經驗公式中常系數項作為自由參數,利用NUBASE2020[40]中的β衰變壽命實驗數據確定自由參數,通過與實驗數據和其他理論模型的預言結果進行比較,研究該經驗公式的預言精度和外推能力.

2 理論框架

根據原子核β衰變的費米理論[41],在容許躍遷近似下,衰變常量λ表示為

其中,T1/2為原子核的β 衰變壽命,me和Em分別表示β粒子的質量(即電子質量)和最大能量,g為弱相互作用常量,Mif表示從母核初態i到子核末態f的躍遷矩陣元.f(Z,Em) 是費米積分函數,其形式為

其中,pm為β粒子的最大動量.F(Z,Ee) 是庫侖修正因子,其形式為

由于精細結構常數α為小量,對F(Z,Ee) 中的γ取近似αZ→0,并對(2)式取相對論極限近似Ee→pec,可得

將(4)式代入(1)式,并忽略 |Mif| 的影響,即取Mif≡1,可得β衰變壽命公式(命名為公式 F1):

其中,Qβ為β衰變能,(6163.4±3.8)s .研究發現,將(5)式最后一項的負號替換為正號,公式F1預言的壽命與實驗數據的偏差降低近一個數量級,因此,在實際計算中,公式F1最后一項采用正號.

為了進一步提高對原子核β衰變壽命的描述精度,參照文獻[13],在公式 F1中通過引入物理量I=(N-Z)/A和δ=(-1)Z+(-1)N,以考慮β衰變壽命的同位旋依賴及其奇偶效應.然而,由于α2Z2為小量,因此,公式 F1中的第3 和第4 項對計算衰變壽命影響較小.如果將這兩項的常系數作為自由參數,即使目前已有上千個原子核的實驗壽命,也無法通過擬合實驗壽命確定這兩個參數的精確數值,其不確定性甚至約為其取值的 3 倍.因此,對于這兩個參數,本文保留了基于費米理論推導出來的常數值 ln(2r0/(?c))和1/3,而僅將剩余的 3 個常系數作為自由參數,并在新引入的I和δ前添加兩個自由參數,得到如下β衰變壽命公式(命名為公式 F2):

公式 F2的自由參數ai(i=1,2,···,5) 可以通過擬合實驗壽命確定.

殼效應對原子核的β衰變壽命也具有重要影響,參照文獻[12,13],本文進一步在公式 F2中引入殼效應修正項:

進而可得包含殼效應的β衰變壽命公式(命名為公式 F3):

公式 F3的自由參數ai(i=1,2,···,9) 也通過擬合實驗壽命確定.

原子核β衰變能Qβ可以通過原子核質量計算得到,本文的原子核質量取自Weizs?cker-Skyrme質量模型(WS4)[42].原子核β衰變壽命的實驗數據取自NUBASE2020[40],但只保留了Z,N≥8,β-衰變分支比為 100%且T1/2<106s 的實驗數據.通過擬合實驗數據,可以確定公式 F2和F3中的自由參數分別如下:

為了研究不同β衰變壽命經驗公式的預測能力,本文將采用壽命常用對數 lgT1/2的均方根偏差(rms)來評估:

3 結果討論

為了檢驗本文提出的各經驗公式的預言能力,將與文獻[13]提出的β衰變壽命的經驗公式進行比較,為方便起見,將其命名為公式 FZ.表1 列出了經 驗公式 F1,F2,F3,FZ對T1/2<106s,T1/2<103s,T1/2<1 s 原子核衰變壽命對數值的均方根偏差σrms(lgT1/2),并在圖1 中展示.公式F2,F3,FZ的參數均采用三個數據集中的實驗壽命進行擬合.可以看出,各經驗公式很好地描述了短壽命原子核的β衰變壽命.對于實驗壽命T1/2<1 s 的原子核,經驗公式 F1,F2,F3,FZ計算的均方根偏差相較于實驗壽命T1/2<106s 的原子核分別降低了 56%,59%,64%,67% .對比公式 F1,公式 F2通過考慮同位旋不對稱項和奇偶效應項,并引入自由參數,預言精度顯著提升,對實驗壽命T1/2<1 s 的原子 核預言 精度提升了 42% .公式 F3通過引入殼效應修正項,預言精度進一步提升,相較于公式 F1,對實驗壽命T1/2<1 s 的原子核,預言精度提升了 54% .公式 F3和公式 FZ均可以很好地描述原子核的β衰變壽命,對實驗壽命T1/2<103s,T1/2<1 s 的原子核,公式 F3的預言精度比 FZ分別提升了1.2%和0.4%,而對實驗壽命T1/2<106s 的原子核,公式 F3的預言精度比 FZ提升了8%.因此,相較于公式 FZ,公式 F3可以更好地描述長壽命原子核的β衰變壽命.

圖1 表1 均方根偏差 σrms(lg T1/2) 的柱狀圖Fig.1.Bar figure of the rms deviations σrms(lg T1/2) in Table 1.

表1 經驗公式 F1,F2,F3和FZ 預言的原子核衰變壽命的對數與實驗數據的均方根偏差 σrms(lg T1/2),其中第2—4列分別對應 T1/2 <106 s,T1/2 <103 s和T1/2 <1 s 的原子核數據集Table 1.The rms deviations σrms(lg T1/2) of the logarithms of nuclear β -decay half-lives predicted by the empirical formulas F1,F2,F3,and FZ with respective to the experimental data,where the 2nd–4th columns represent the data sets for nuclei with T1/2 <106 s,T1/2 <103 s,and T1/2 <1 s,respectively.

圖2 給出了各經驗公式預言的β衰變壽命與實驗數據對數差隨質子數Z、中子數N變化的散點圖.可以看出,公式 F1預言的原子核β衰變壽命一般短于實驗數據,尤其是對幻數附近的原子核.原子核的β衰變壽命與Qβ以及能級密度等各種物理因素有關.由于原子核的Qβ在幻數之后突然增加,從公式 F1可見,Qβ的突然增加會引起公式 F1預言的原子核β衰變壽命迅速降低,從而導致公式 F1的預言結果在幻數附近與實驗數據偏差較大,呈現出明顯的殼效應現象.公式 F2通過添加同位旋依賴和奇偶效應等物理量,對原子核β衰變壽命的預言與實驗數據偏差基本在一個數量級以內,但Qβ仍對原子核β衰變壽命起主導作用,因此,公式 F2的預言結果仍具有較明顯的殼效應現象.通過引入殼效應修正項S(Z,N),可以有效地考慮幻數附近影響β衰變壽命的其他物理因素,因此,公式 F3顯著改進了對幻數附近原子核β衰變壽命的描述,其改進程度與公式 FZ較為接近.公式 FZ引入了含有 5 個自由參數的殼效應修正項,且在重核區包括了一個與傳統幻數無直接關系的修正項,即Z=70和N=110 的修正 項[13],而本文 提出的 公式 F3僅使用 4 個自由參數的殼效應修正項,即可取得與公式 FZ類似的效果,甚至略優于公式 FZ.

圖2 經驗公式 F1,F2,F3,FZ的預測 結果與實驗數據的對數差 隨質 子數Z 和中子數N的變化.豎線對應質子幻數 Z=8,20,28,50,82 和中子 幻數 N=8,20,28,50,82,126Fig.2.Logarithmic differences between the predictions by the empirical formulas F1,F2,F3,FZ and the experimental data as the functions of proton number Z and neutron number N.The vertical lines correspond to the proton magic numbers Z=8,20,28,50,82 and the neutron magic numbers N=8,20,28,50,82,126 .

為進一步研究經驗公式 F1,F2,F3和FZ對實驗壽命的描述能力,圖3 展示了各經驗公式預言的原子核β衰變壽命與實驗數據的對數差.研究發現,公式 F1預言的衰變壽命與實驗數據偏差在一個數量級以內的原子核占總數的 75%,公式 F2將偏差在一個數量級以內的原子核占比提升至 88%,公式 FZ和F3進一步 將這一 占比分 別提升至90%和 91% .此外,由圖3 可見,各經驗公式對豐中子短壽命原子核的描述能力優于長壽命原子核,因此,外推至未知的豐中子核區,各經驗公式可能具有較好的預言能力.

圖3 經驗公式 F1,F2,F3,FZ 的預測結果與實驗數據的對數差Fig.3.Logarithmic differences between the predictions by the empirical formulas F1,F2,F3,FZ and the experimental data.

圖4 和圖5 分別以Ni,Sn,Pb 同位素和N=50,82,126 的同中子素為例,給出了經驗公式 F1,F2,F3和FZ預言的β衰變壽命.可以看出,公式 F1預言的β衰變壽命具有過強的奇偶振蕩現象,而公式 F2,F3和FZ通過引入與奇偶效應相關的物理量δ,有效地降低了這種奇偶振蕩.在已知核區,公式 F1預言的β衰變壽命一般短于實驗數據,而公式 F2,F3和 FZ預言結果與實驗數據更加符合.當外推至未知的豐中子核區,公式 F1預言的β衰變壽命一般長于公式 F2,F3和FZ的預言結果,其中公式 F2和F3外推的原子核β衰變壽命較為接近,短于公式 FZ的預言結果.

圖4 F1,F2,F3 預測的Ni,Sn,Pb 同位素的 β 衰變壽命,及其與 FZ 計算結果的比較Fig.4.Nuclear β -decay half-lives of Ni,Sn and Pb isotopes predicted by the F1,F2 and F3,and their comparison with FZ calculations.

圖5 與圖4 一樣,但 對應 N=50,N=82,N=126同中子素鏈Fig.5.Same to Fig.4,but for N=50,N=82,and N=126 isotones.

圖6 以Zn,Zr,Sn,Nd,Pb 同位素為例,將公式 F3預言的β衰變壽命與基于FRDM 的QRPA(FRDM+QRPA)[43]、基 于Hartree-Fock-Bogoliubov 模型的FAM (HFB+FAM)[33]和QRPA(HFB+QRPA)[27]等微觀模型的計算結果進行比較.在已知核區,公式 F3更好地描述了原子核β衰變壽命的實驗數據,尤其對于Zn,Zr 和Sn 同位素鏈.定量地,對于圖6 中5 條同位素鏈,FRDM +QRPA,HFB+FAM 和HFB+QRPA 模型預言壽命的對數與實驗數據的均方根偏差分別為0.795,0.852 和1.075,而公式 F3對應的均方根偏差僅為0.716,顯著優于FRDM+QRPA,HFB +FAM 和HFB+QRPA 模型.當外推至未知的豐中子核區,對于Zn 和Zr 等輕質量原子核,公式 F3預言的衰變壽命一般短于各微觀模型的結果;隨著質子數的增加,公式 F3預言的衰變壽命與其他微觀模型預言結果的差別逐漸縮小,對于Pb 同位素鏈,即使往未知豐中子核區外推 20 步,公式 F3預言的衰變壽命仍介于各微觀模型預言結果之間,即與其他微觀模型的預言結果基本一致.

圖6 公式 F3 預測的Zn,Zr,Sn,Nd,Pb 同位素的 β 衰變壽命,及其與FRDM+QRPA,HFB+FAM,HFB+QRPA 理論結果的比較Fig.6.Nuclear β -decay half-lives of Zn,Zr,Sn,Nd and Pb isotopes predicted by formula F3,and the comparison with the theoretical results of FRDM+QRPA,HFB+FAM and HFB+QRPA models.

圖7 給出了核素圖上公式 F3對原子核β衰變壽命的預言值分布.從圖7 可見,隨著中子數的增加,原子核β衰變壽命逐漸變短.在輕核區(Z?50),原子核β衰變壽命最低可降至 10-4—10-5s,在中等質量核區(50 ?Z?95),原子核β衰變壽命最低可至 10-3—10-4s,而對于重核區(Z?95),原子核β衰變壽命最低僅至 10-2—10-3s .

圖7 公式 F3 預言的原子核 β 衰變壽命Fig.7.Nuclear β -decay half-lives predicted by formula F3 .

4 結論

綜上所述,基于原子核β衰變的費米理論,本文首先提出一個不含任何自由參數的經驗公式,該公式可近似計算原子核β衰變壽命;通過考慮同位旋依賴和奇偶效應并引入5 個自由參數,得到了第2 個經驗公式,該公式有效地改善了未知原子核β衰變壽命預言的奇偶振蕩,顯著提高了對原子核β衰變壽命實驗數據的描述能力,但對幻數附近原子核β衰變壽命的描述仍有較大偏差;進一步引入殼效應修正項,新提出的經驗公式顯著改進了對幻數附近原子核β衰變壽命的描述,整體的預言精度進一步提升.研究發現,在已知核區,新經驗公式對于短壽命原子核有著較好的預言能力,其精度甚至優于目前已有的經驗公式和微觀的QRPA 模型.在未知核區,對較輕原子核,新經驗公式預言的原子核β衰變壽命一般短于各微觀模型預言結果,隨著原子核質子數的增加,其預言的β衰變壽命與各微觀模型預言結果的差別逐漸縮小并基本一致.最后,采用新經驗公式預言了核素圖上豐中子原子核的β衰變壽命,為r -過程模擬提供了壽命輸入.未來可以將本文得到的原子核β衰變壽命應用至r -過程模擬,研究其對r -過程豐度及其演化的影響等.