基于亥姆霍茲共振的超薄弧形聲學超表面地毯斗篷*

隋玉梅 何兆劍? 畢仁貴 孔鵬? 吳吉恩 趙鶴平 鄧科

1) (湖南科技大學物理與電子科學學院,智能傳感器與新型傳感材料湖南省重點實驗室,湘潭 411201)

2) (吉首大學物理系,吉首 416000)

3) (湖南財政經濟學院,長沙 410205)

利用局部相位補償調制的方式設計了一種超薄的弧形聲學超表面地毯隱身斗篷.該斗篷由52 個亥姆霍茲空腔共振結構單元組成,且結構單元厚度小于波長的0.2 倍.數值模擬結果顯示: 文中所設計的隱身斗篷在深亞波長范圍內隱身效果良好,其工作頻寬為5850—7550 Hz.進一步探究聲波斜入射時地毯斗篷的工作效果,發現在30°的入射角范圍內都具有良好的隱身效果.此外,利用余弦相似度(cosine similarity,CSI)函數精確量化分析了該隱身斗篷的工作性能,計算結果展示,在斗篷工作的帶寬范圍內,覆蓋斗篷后的CSI 值趨近于無斗篷覆蓋地面的CSI 值,展示了其在的良好隱身性.本文所設計的斗篷均以超薄的亥姆霍茲共振結構為組成單元,結構簡單,易于實現,有利于未來的實際應用.

1 引言

以更簡易的方式操縱聲波一直以來都引起科學家們的廣泛關注.但由于材料及傳統聲學器件尺寸的限制,使得控制聲波的能力非常有限,超材料的出現使得這一現狀得到改進.超材料由亞波長人工微結構單元組成,具有天然材料所不具備的物理特性[1–3].隨著超材料的發展,利用其實現聲學隱身的手段也逐漸豐富,例如基于坐標變換聲學隱身斗篷以及散射抵消多層結構等方法在水下和空氣中實現了聲學隱身[4–16].但對于這類斗篷而言,其需要強的各向異性材料參數或者較大的體積,在大型的結構中并不適用[17].而作為超材料的二維版本的超表面,常被用于亞波長尺寸的波前處理,即在界面處通過引入亞波長結構來引起突變相位的變化,實現對聲波的任意操控,為解決上述難題提供了解決辦法.根據廣義Snell 定律,通過在超構表面上引入梯度相位分布,可以任意控制聲波傳播.該方法為設計亞波長厚度和簡單材料參數的聲學斗篷提供了思路,且已成功設計出多種聲學超表面地毯斗篷(acoustic metasurface carpet cloak,AMCC)[18–34].通過相位補償,物體散射的聲壓場可以被超表面有效恢復,類似于從地平面反射.

與傳統的多層結構、薄膜結構及定向實現隱身的隱身斗篷相比,超表面地毯斗篷具有結構設計簡單、厚度小、材料參數變換簡潔等優點,通常比被隱藏物體的波長和尺寸小的多.然而聲學超表面的缺點是在較寬范圍內的梯度相位調制只能應用于較窄的頻帶,且依賴于入射聲波的方向,從而在實際應用中很難有更廣闊的應用空間.超表面斗篷結構主要有膜型、卷曲空間型或諧振腔型的構型.在諧振腔結構中,Faure 等[25]利用改變諧振腔的體積大小進行相位的調控,該工作主要在3400 Hz附近的窄頻以及正入射的情況下實現的聲學斗篷;此外,Guo 等[33]通過改變外頸部的長度實現了聲學斗篷,這種斗篷可以實現 30°斜入射的聲波隱身,但是工作頻段較窄(工作頻率在980—1070 Hz).最近,Zhang 等[22]基于雷達散射截面減縮設計了一種寬帶的聲學斗篷,該斗篷同樣實現了在 30°斜入射之內均可以實現隱身,且其工作頻寬在1550—2400 Hz 內.雖然其工作頻寬有較大改善,然而該工作的斗篷結構為三角形,并不利于對于不規則物體的聲隱身.因此,設計體積更加輕、薄,受聲波入射角影響更小及工作頻率范圍更寬,且更加適合不規則物體的聲學超表面地毯斗篷是亟待解決的.

本文結合局部相位補償方式即廣義Snell 定律,基于亥姆霍茲共振(Helmholtz resonance,HR)結構構造了一種超薄空氣中的隱身斗篷,因為在空氣中聲波的振動模式比較單一,可以更清楚地將其物理原理展示出來.該AMCC 由52 個具有軸對稱的共振單元構成,其共振單元大小僅為6 mm,不足工作波長的0.2.利用有限元軟件COMSOL進行分析,發現在5850—7550 Hz 的頻寬范圍內該AMCC 都能良好工作.通過調整入射聲波的入射角,發現該AMCC 對于較大的斜入射也能很好的工作(入射角小于30°).本文設計的結構在一定程度上有利于工作頻帶的拓寬,并具有較大的入射角寬,在實際應用中具有顯著的優勢.此外,可以根據實際隱身頻段和隱身角度的需要做出靈活調整,為可調聲學隱身提供了一個途徑.該工作可以平行推廣到水下隱身,為水下聲隱身也提供一定的指導.

2 曲面聲超表面隱身斗篷

2.1 曲面聲超表面隱身斗篷模型構建及散射特性

基于聲波反射原理,本文所構建斗篷的反射波相位值可通過廣義Snell 定律來確定,如圖1(a)所示,聲波自U(x1,z1) 點射出撞擊A點后會反射至V(x2,z2) 點,入射角等于反射角,嚴格遵守Snell定律.假設任意彎曲超構表面的上表面函數為z=z(x),如圖1(b)所示,若在點U(x,z) 激發聲波,以θi入射到如圖所示的任意彎曲超構表面,根據費馬原理,點A(x,z) 的總相位應最小化,因此對總相位進行微分,得到

圖1 利用反射波波前操縱的二維聲學超表面地毯隱身示意圖 (a)平坦地面;(b) 任意彎曲表面Fig.1.Illustration of a 2D acoustic carpet cloaking metasurface for reflected wavefront manipulation: (a) Flat surface;(b) arbitrary curved surface.

式中,k0是自由空間的波數.將入射波與反射波的波矢分別定義為且u=(sinθi,cosθi),v=(sinθi,-cosθi),可以得到

對方程(2)積分,可以得出任意形狀超表面地毯斗篷通用相移函數為

式中C為常數.

綜上可知,超表面在z1高度處提供的相位延遲 ?φ應補償需隱身物體表面與平坦地面之間的相位差,其可以表示為 ?φ=2k0z1[27].設定背景為空氣,其密度為ρ0=1.21 kg/m3,聲波傳播 速度c0=343 m/s .基于此相位補償原理,可以設計出一種超表面地毯斗篷,如圖2(a)所示,此斗篷AMCC 是由外形函數z=z(x) 所描述的弧形斗篷結構,組成材料為環氧樹脂,共振單元為由開口寬度和深度分別為w和h的頸部空腔與頸部相切的半徑為r的圓體空腔構成的HR 單元,如圖2(a)插圖所示.組成單元為正方形,其邊長設定為L=6 mm.通過更改共振腔w,h和r的結構數值可使聲波在相應單元的有效傳播路徑改變,進而得出所對應的相移 ?φ=2k0z1.設AMCC 覆蓋區域上表面方程為

圖2 (a)地毯隱身超表面示意圖,弧形隱身斗篷及斗篷單個共振單元結構(紅色框插圖),入射波從–z 方向入射;(b),(c) 共振腔中r 取不同值時單個共振單元反射相位隨w 的變化,其中(b)入射波頻率為3430 Hz,(c)入射波頻率為6860 Hz;(d)共振腔中w 取不同值時單個共振單元反射相位隨h 的變化;(e)共振腔中w 取不同值時單個共振單元反射相位隨r 的變化;(f) 入射波頻率為6860 Hz 時,弧形隱身斗篷中每個共振單元的反射相位(紅色曲線)和由(5)式理論計算的相位(黑色曲線)Fig.2.(a) Schematic sketch of the metasurface for carpet cloaking,the illustration of arc-shaped carpet cloak,inset showing the schematic diagram of the unit-cell for the carpet.The acoustic waves are incident from–z direction.The reflection phase of single HR unit varing with w for acoustic waves normal incidence with different frequency: (b) 3430 Hz;(c) 6860 Hz.For different w,the reflection phase of single HR unit varing with h (d) and varing with r (e) for acoustic waves normal incidence with frequence 6860 Hz.(f) The reflection phase of each HR unit in the designed AMCC (red curve) and that of theoretical calculation from Eq.(5) (black curve) for acoustic waves normal incidence with frequence 6860 Hz.

式中 -Rsin 25°

為構建(4)式所描述的具體的斗篷結構,首先建立了反射波相移與相應結構數值之間的關系.一個共振單元可等效為一個電感為M=ρ0le/w和電容為C=hL/(ρ0c02) 的串聯電路,于是相應的共振頻率為其中le=l+?l為HR 頸部的 有效長 度,頸部長度l為1 mm,?l=0.1108 mm 為修正長度.由于空腔高度可能遠大于頸部寬度,因此對于不規則的HR 進行修正,?l≈(1.5+β)w,β=(h/w)/22 .單元頸部和內部空腔所產生的聲阻抗Z=i(ωM-1/ωC),ω=2πf,則共振單元對應的補償相位基于此理論,建立了相應的COMSOL MULTIPHYSICS有限元模型進行驗證,計算了不同共振頻率和不同HR 共振腔頸寬w、頸深h和半徑r時(見圖2(a)插圖),單個共振單元反射波相位的改變.因為研究的基體是空氣,散射體結構(樹脂材料)與基體的阻抗相差巨大,所以這里把樹脂材料視為剛性.首先計算了r取不同值時,共振腔單元反射相位隨w的變化情況,其結果展示在圖2(b),(c)中.這里取共振腔頸部深度h為1.11 mm,共振頻率取值為3430 Hz(圖2(b))和6860 Hz(圖2(c)).相位響應的計算方法為任取一點作為相位觀測點(本文取離結構800 mm 處的一點為觀測點),當聲波沿–z方向入射時,從反射壓力場中獲得觀測點處的不同相位值.對比兩圖發現,由于共振單元結構較小(結構邊長為6 mm),共振頻率為3430 Hz 時相位曲線變化時急時緩,w變化后對應相位取值并無明顯變化或變化較小,會導致結構魯棒性較低,進而影響單元的加工難度.反觀對于共振頻率為6860 Hz 時,單元結構的相位對于更改w數值時敏感度降低,能較好地滿足斗篷單元構建所需要的條件,即滿足 2π 范圍的相位覆蓋.這是因為結構單元處于低頻共振時(3430 Hz),共振峰較尖銳,從而共振腔頸部寬度w微小的改變,將會使共振偏離,表現為相位迅速變化.這樣可以滿足同樣相位補償的頻率段將會比較窄,不利于拓展工作頻率的設計需求.因此把共振腔的完美工作頻率選為6860 Hz.為了進一步研究共振腔頸部高度和半徑對相位變化的敏感程度,計算了反射相位響應隨h和r變化的情況,結果分別展示在圖2(d),(e).對于圖2(d),對不同的頸寬取不同的半徑值,列表如下:w=0.5 mm,r=1.5 mm;w=2 mm,r=1 mm;w=3 mm,r=1.5 mm;w=4 mm,r=2 mm;w=5 mm,r=2.5 mm.而在圖2(e)中,依然取 值h為1.11 mm.對比圖2(c)—(e)發現,由于結構限制,更改h和r相對于更改w來說,相位曲線變化更為敏感急促,不能很好地獲得所需相位對應的單元結構,于是選擇了對共振腔頸寬w更改進行研究.

為了展示隱身效應,基于以上研究的共振單元構造了AMCC,其共振單元為52 個,共振單元中的頸高h為1.11 mm,頸寬w和半徑r的參數設置見表1.由于隱身斗篷是軸對稱的,這里只展示其中一半共振單元的參數.計算了聲波分別入射到每個共振單元時其反射波相位(見圖2(f) 紅色曲線),這里入射波頻率為6860 Hz.作為對比展示了由方程(5)理論計算得到的相位曲線(圖2(f)黑色曲線).可以看到,對于聲波入射到弧形AMCC 上,通過共振腔后其反射相位得到了很好的補償調制,跟理論計算的完美一致,展示其可以對AMCC 覆蓋的物體進行良好的隱身.

表1 隱身斗篷每個共振單元頸寬w 和半徑r 參數表Table 1.Parameter list of neck width w and radii r of resonant unit in the cloak.

為了進一步展示其隱身效果,采用COMSOL軟件分別計算了入射波頻率為5850,6850,7550 Hz的聲波入射到平坦地面(無障礙物),裸露的弧形物體和覆蓋AMCC 的物體的反射聲壓場分布,結果展示在圖3(a)中.入射波沿–z方向垂直入射,底部設置為理想硬邊界,其他幾個邊界設置為完美匹配層(PML),以減少散射.從圖3(a)可以看到,當一列平面波入射到平坦地面上時,反射波依然為平面波.當堅硬平面上放置一個弧形物體后,聲波被物體的弧狀表面反射,反射聲壓場產生強烈的擾動.當物體被超表面覆蓋后,遏制了物體的散射,反射聲壓場被有效恢復到接近平坦地面的情況,證實了所設計的超表面可以對弧形物體實現優異的隱身效果.其隱身工作頻率可以從5850—7550 Hz 變化.為了進一步展示該隱身斗篷的工作頻寬,計算了不同頻率入射波下Z=800 mm 處AMCC 的反射波歸一化反射振幅和陣面相位.圖3(b),(c)展示了入射波頻率為5850,7550 Hz 時反射波的情況,數值結果顯示振幅與波前相位變化都較小,并且可以看出熱黏性損失對于整體的隱身效果影響不大,因此斗篷的工作效率能達到預期效果,從而表明了此隱身斗篷工作頻寬在5850—7550 Hz之間.

圖3 (a)平面波分別垂直入射至平坦地面、弧形障礙物及覆蓋于弧形障礙物上的斗篷時的反射聲壓場分布;(b) 5850,7550 Hz 頻率下Z=800 mm 時歸一化反射振幅;(c) 5850,7550 Hz 頻率下Z=800 mm 時反射波陣面相位Fig.3.(a) Reflected pressure field distributions for a plane wave impinging on the flat ground,the arc-shaped object and the arcshaped cloak;the normalized reflection amplitudes (b) and reflected wavefront phases (c) which located at Z=800 mm for the incident frequency 5850 Hz and 7550 Hz.

同時進一步探究了聲波斜入射時弧形斗篷的隱身效果,對于一列傾斜角度為θ的入射波,超表面需要滿足的相位延遲為 ?φ=2k0z1cosθ.當入射角度較小時,φ=2k0z(x)cos(θ)≈φ,因此,合適的超表面對于小角度的入射聲波也具有恢復效果.圖4 分別繪制了平坦地面、裸露的弧形物體和覆蓋超表面后的物體的反射聲壓場分布,其入射角度分別為10°和30°.當入射聲波斜入射至平坦地面時,反射聲場較為規律,波陣面依然保持平面形狀.當有一個裸露的弧形物體后,反射聲場產生了一定的擾亂.當這個物體被所設計的超表面覆蓋后,反射聲場又恢復到沒有任何物體時的情況.與當物體放置于平坦地面時的情況相比,覆蓋超表面后散射聲壓場的觀測區域反射聲波仍較為平穩.這些結果表明,所設計的超表面隱身斗篷在入射角度小于30°時都具有優異的隱身效果.

圖4 平面波分別以10°和30°入射角斜入射至平坦地面、弧形障礙物及覆蓋于弧形障礙物上的斗篷時的反射聲壓場分布Fig.4.When the incident angles are 10° and 30°,the reflected pressure field distributions for a plane wave impinging on the flat ground,the arc-shaped object and the arc-shaped cloak.

2.2 工作帶寬的量化分析

為了進一步表征地毯斗篷的帶寬性能,利用余弦相似度(cosine similarity,CSI)[35]函數來進行量化.在聲學中,CSI[29,36]計算公式為

式中Pd表示平坦地面反射波波前相位,Pz表示障礙物(有無地毯斗篷)反射波波前相位,S,T分別代表計算區域位置的行和列.結果如圖5 所示,障礙物的CSI 隨頻率在0.8 左右振蕩,平坦地面CSI值為1.在障礙物覆蓋隱身斗篷后CSI 在較寬的頻率范圍內非常接近平坦地面的CSI,展示了隱身斗篷在其頻率范圍內能良好工作.一般CSI 值取0.95 以上,認為其具有較好的隱身效果.由圖5 可以看出,頻寬為5850—7550 Hz 的CSI 值在0.98以上,這說明該頻率范圍內具有很好的隱身效果,這與前文的模擬仿真結果一致.

圖5 反射聲波通過平坦地面、隱身斗篷和障礙物的CSI 值Fig.5.The CSI of reflected acoustic waves for flat ground,carpet cloak,and arc-shaped object.

3 結論

本文研究了單元結構僅為波長的0.2 的超薄聲超表面地毯斗篷,該斗篷由具有對稱性質的52 個HR 共振單元組成.通過精心設計共振腔寬度,使得整個超表面引入的相位延遲剛好補償待隱身物體引入的額外相位延遲,從而實現了聲隱身.通過數值仿真證實了該隱身斗篷可在5850—7550 Hz 范圍內對一個弧形物體實現了優異的隱身效果.而且該AMCC 對于較大的斜入射也能很好的工作(入射角小于30°).并且通過CSI 函數量化分析了其工作頻率范圍,表明該結構在一定程度上有利于工作頻帶的拓寬.斗篷以大小僅為6 mm 的超薄亥姆霍茲共振結構為單元,結構簡單輕薄,易于實現,有利于未來的實際應用.