微通道中一類生物流體在高Zeta 勢(shì)下的電滲流及傳熱特性*

慕江勇 崔繼峰 陳小剛 趙毅康 田祎琳 于欣如 袁滿玉

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,呼和浩特 010051)

在高壁面Zeta 勢(shì)下,研究滑移邊界條件下滿足牛頓流體模型的一類生物流體的電滲流動(dòng)及傳熱特性,流體在外加電場(chǎng)、磁場(chǎng)和焦耳加熱共同作用下流動(dòng).首先,在不使用Debye-Hückel 線性近似條件時(shí),利用切比雪夫譜方法給出非線性Poisson-Boltzmann 方程和流函數(shù)滿足的四階微分方程及熱能方程的數(shù)值解,將所得結(jié)果與利用Debye-Hückel 線性近似所得結(jié)果進(jìn)行比較,證明本文數(shù)值方法的有效性.其次,討論電磁環(huán)境下壁面Zeta 勢(shì)、哈特曼數(shù) H、電滲參數(shù) m、滑移參數(shù) β 對(duì)流動(dòng)特性、泵送特性和捕獲現(xiàn)象的影響,并探究焦耳加熱參數(shù) γ 和布林克曼數(shù) Br 等參數(shù)對(duì)傳熱特性的影響.結(jié)果表明,壁面Zeta 勢(shì)、電滲參數(shù) m、滑移參數(shù) β的增大對(duì)流體速度有促進(jìn)作用,而哈特曼數(shù) H 的增大會(huì)抵抗流體流動(dòng).研究進(jìn)一步表明,焦耳加熱參數(shù) γ 和布林克曼數(shù) Br 的增大會(huì)導(dǎo)致溫度升高.

1 引言

近年來,微生物傳感器、實(shí)驗(yàn)室芯片(LOC)和微機(jī)械電子系統(tǒng)(MEMS)等微流控器件廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)和生化分析領(lǐng)域[1–3].隨著微電子技術(shù)的發(fā)展,蠕動(dòng)泵送機(jī)制和電滲受到越來越廣泛的關(guān)注.

蠕動(dòng)泵送是指通過減少或擴(kuò)大沿通道壁傳播的波浪來混合和推動(dòng)流體流動(dòng)的機(jī)制.在幾種生理狀況下可以觀察到這種機(jī)制,例如人吞咽食物的過程、腸道的消化蠕動(dòng)、血液在血管中的流動(dòng)以及男性精子在生殖器通道中的傳輸過程.Sherief 等[4]討論了柔順壁面通道中的蠕動(dòng)流,在霍爾電流和化學(xué)反應(yīng)的存在下進(jìn)行分析,得到了速度、溫度、濃度和流函數(shù)解的表達(dá)式.Chandra 等[5]研究了存在蠕動(dòng)波時(shí)微極流體的軸對(duì)稱流動(dòng),這是一種旨在模擬食管中各種食物吞咽的行為,討論了膨脹幅度、管壁斜率、耦合數(shù)和微極性參數(shù)對(duì)流體流動(dòng)的影響.Yasmin 和Nisar[6]研究了Casson 納米流體在柔順對(duì)稱彈性通道中的蠕動(dòng)流動(dòng),結(jié)果表明,流體的速度隨著哈特曼數(shù)的增大而降低,熱輻射和熱格拉斯霍數(shù)對(duì)溫度的影響表現(xiàn)出相反的行為.通過提高Casson 流體參數(shù)和布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)提高了傳熱速率.Mishra 等[7]對(duì)復(fù)雜波浪狀微通道中涉及傳熱的黏塑性Bingham 流體的流動(dòng)模式及其結(jié)果進(jìn)行分析,揭示了Bingham 流體存在或不存在對(duì)稱流動(dòng)時(shí)的蠕動(dòng)輸運(yùn)特性.Guedri 等[8]給出并討論了蠕動(dòng)條件下平均速度擾動(dòng)函數(shù)、凈流量和軸向速度的圖形結(jié)果.得出的結(jié)論是,凈流速在線性麥克斯韋模型下有增大趨勢(shì),而對(duì)流麥克斯韋模型呈現(xiàn)下降趨勢(shì).Maraj 等[9]研究了薄荷醇電解質(zhì)的蠕動(dòng)傳輸,利用外部電場(chǎng)來改變薄荷醇電解質(zhì)的蠕動(dòng)傳輸行為,然后討論了有無銅納米顆粒存在時(shí),電滲力對(duì)基液的影響.Rafiq 等[10]研究了Rabinowitsch流體通過纖毛壁傾斜圓管的蠕動(dòng)流動(dòng),在邊界處存在熱輻射條件下,建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.結(jié)果表明,邊界處的對(duì)流傳熱更大,導(dǎo)致溫度降低.Alfwzan等[11]分析了牛頓流體在具有矩形面和柔順壁面的彎曲管道中蠕動(dòng)傳輸?shù)臄?shù)學(xué)模型.這種幾何形狀在臨床和生物設(shè)備中最常用,其中通道的壁需要具有柔性,結(jié)果發(fā)現(xiàn)較大的曲率和撓曲剛度均勻地降低了流體速度,但縱橫比和振幅參數(shù)對(duì)流動(dòng)速度有促進(jìn)作用.

電滲流(EOF)或電滲效應(yīng)是存在于多孔介質(zhì)、微通道及其他流體管道兩端施加電壓時(shí)造成的流體流動(dòng).在溶液中,固體表面常因基團(tuán)的解離或溶液中選擇性地吸附某種離子而帶電,表面附近的液體中必有與固體表面電荷數(shù)量相等但符號(hào)相反的多余反離子,帶電表面和反離子構(gòu)成雙電層(EDL).Wang 等[12]從理論上分析了滑動(dòng)速度對(duì)緩慢變化的微通道中旋轉(zhuǎn)電滲流的影響,結(jié)果清楚地表現(xiàn)了牛頓生物流體在高Zeta 電勢(shì)的非均勻微通道的旋轉(zhuǎn)電滲流,詳細(xì)討論了流體行為指數(shù)和滑移參數(shù)對(duì)速度剖面的影響.Sheikholeslami 和Chamkha[13]研究了電場(chǎng)對(duì)納米流體流動(dòng)的影響,結(jié)果表明,電壓會(huì)改變流體流動(dòng)行為并影響流動(dòng)速度.Tripathi等[14]在任意Zeta 勢(shì)下求解電勢(shì)方程,該電勢(shì)是不穩(wěn)定的,并隨著疏水通道壁面涂層厚度的變化而變化,結(jié)果表明,隨著電滲參數(shù)的增大(即德拜長(zhǎng)度越小),最大時(shí)均流速增強(qiáng),而軸向速度降低.電場(chǎng)參數(shù)(即最大電滲速度)的增大會(huì)導(dǎo)致最大時(shí)間平均流速的增大.此外,電滲泵送的主要優(yōu)點(diǎn)是其效率高和操作簡(jiǎn)便,最近的一些研究也提供了有用的結(jié)果[15–17].Anjali 等[18]分析了耦合應(yīng)力流體在帶有主動(dòng)膜泵的微通道中的電滲流,結(jié)果表明,電滲機(jī)制(軸向電場(chǎng)和雙電層厚度)對(duì)微通道內(nèi)由膜的節(jié)律性推進(jìn)驅(qū)動(dòng)的流體(牛頓型和非牛頓型)流動(dòng)具有顯著的調(diào)節(jié)作用.

磁流體動(dòng)力學(xué)(MHD)在生物醫(yī)學(xué)和工程中受到關(guān)注,人們期望通過外加磁場(chǎng)來改變微通道中流體的流速[19],研究人員在醫(yī)療中使用磁場(chǎng)來研究人體內(nèi)的生理流動(dòng)[20].Mahabub 等[21]對(duì)牛頓生物流體在外加磁場(chǎng)作用下,對(duì)拉伸片上的非定常、黏性、不可壓縮的二維層流邊界層流動(dòng)和傳熱進(jìn)行了理論和數(shù)值研究,研究發(fā)現(xiàn)MHD 和鐵磁流體動(dòng)力學(xué)(FHD)相互作用參數(shù)對(duì)速度、溫度和壓力場(chǎng)有顯著影響.有利于更好地了解生物流體流動(dòng)特性,促進(jìn)醫(yī)學(xué)和生物工程的應(yīng)用研究,特別是可以用于估計(jì)狹窄動(dòng)脈中血流的特征.Madkhali[22]研究了威廉姆森流體中單納米顆粒、混合納米顆粒和三納米顆粒的傳熱效率,與單一和混合納米流體施加的壁面剪切應(yīng)力相比,三納米流體施加的壁面剪切應(yīng)力具有最小值.霍爾效應(yīng)和離子滑移效應(yīng)對(duì)三納米流體流動(dòng)的影響強(qiáng)于對(duì)單納米流體和混合納米流體流動(dòng)的影響.Upreti 等[23]研究了在低雷諾數(shù)下使用磁性納米流體在外部磁場(chǎng)存在的情況下波浪型微通道中的傳熱特性,發(fā)現(xiàn)隨著磁普朗特?cái)?shù)值的增大,在感應(yīng)磁場(chǎng)的輪廓中觀察到雙重行為,而血液納米流體的速度輪廓下降.Yashkun等[24]研究了具有熱輻射的多孔介質(zhì)中吸力和磁場(chǎng)在滯止點(diǎn)處通過拉伸和收縮薄片對(duì)納米流體流動(dòng)的影響,并分析了參數(shù)對(duì)壁面摩擦、努塞爾數(shù)和舍伍德數(shù)的影響.Mishra 等[25]研究了混合納米流體流經(jīng)傾斜通道對(duì)合成纖毛進(jìn)行熵產(chǎn)分析,目的是研究熵產(chǎn)優(yōu)化和傳熱效率.結(jié)果表明,對(duì)于更大的拉伸或收縮瑞利數(shù)和質(zhì)量蒸騰值,橫向和切向速度都更大.Cordwell 等[26]利用高速攝影技術(shù)研究了非均勻磁場(chǎng)中磁性液滴對(duì)載玻片的垂直跌落沖擊.為了實(shí)現(xiàn)對(duì)流體流動(dòng)更好的控制,電磁流體動(dòng)力學(xué)(EMHD)流動(dòng)也受到了廣泛關(guān)注,這是一種具有電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及雙電層的微通道流體流動(dòng).Ma 等[27]研究了橫向壁面粗糙度對(duì)微通道內(nèi)電磁流體動(dòng)力學(xué)流動(dòng)的影響,結(jié)果表明,無論壁面粗糙度的形狀如何,由于壁面波紋的存在,流速會(huì)降低.波紋函數(shù)和流速的變化很大程度上取決于流體波數(shù)λ和哈特曼數(shù)Ha.Sarkar 和Ganguly[28]研究了存在磁場(chǎng)和電場(chǎng)時(shí),軸向壓力驅(qū)動(dòng)的冪律流體通過微通道的流動(dòng)行為,結(jié)果表明,外加磁場(chǎng)對(duì)誘導(dǎo)流電位發(fā)展具有延緩作用,同時(shí)提高了傳熱速率等.

上述對(duì)生物流體動(dòng)力學(xué)的研究都是關(guān)于低Zeta 勢(shì)下的微流體流動(dòng).但在實(shí)際應(yīng)用中,大多數(shù)界面的壁面Zeta 勢(shì)都高于25 mV.基于此,本文在高Zeta 勢(shì)下研究具有焦耳熱效應(yīng)和滑移條件下一類生物流體在蠕動(dòng)微通道中的電滲流及傳熱特性.在不使用Debye-Hückel 線性近似條件時(shí),利用切比雪夫譜方法求解Poisson-Boltzmann 方程、流函數(shù)滿足的四階微分方程及熱能方程,給出電勢(shì)分布、速度分布及溫度分布,討論由于焦耳熱效應(yīng)、磁場(chǎng)和流體黏度引起的能量耗散,以及相關(guān)參數(shù)對(duì)流動(dòng)速度和溫度分布的影響.

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 幾何模型

本文研究黏性、不可壓縮的一類生物流體在蠕動(dòng)機(jī)制的誘導(dǎo)下通過帶負(fù)電荷的壁面y′=組成的不對(duì)稱微通道的非定常電滲流動(dòng),該流體流動(dòng)特性滿足牛頓流體模型,在外加電場(chǎng)、磁場(chǎng)和壓力梯度的共同作用下流動(dòng).如圖1 所示,在笛卡爾坐標(biāo)系 (x′,y′) 下,E0表示沿著x′軸方向施加的均勻電場(chǎng)強(qiáng)度,B0表示沿著y′軸方向施加的外加磁場(chǎng)強(qiáng)度,流體在該均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)的混合作用下沿x′方向流動(dòng),β1和β2是微通道的上壁面和下壁面的滑移參數(shù),通道壁的變化趨勢(shì)為以恒定波速沿x′方向傳播的正弦波,滿足如下方程:

圖1 流體流動(dòng)示意圖Fig.1.Fluid flow diagram.

2.2 電勢(shì)分布

流體電勢(shì)分布滿足的Poisson-Boltzmann 方程為

其中ρe是凈電荷密度,ε0是自由空間中的介電常數(shù),ε是介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù).

由電解質(zhì)的對(duì)稱性可知凈電荷密度可以表示為[14]

這里,Tav是介質(zhì)平均溫度;kB是玻爾茲曼常數(shù);n+,n-及n0分別表示流體中的正離子數(shù)、負(fù)離子及平均數(shù);e是電子的電荷;z是離子的價(jià).

類似于文獻(xiàn)[25],由方程(3)和方程(4),電勢(shì)分布的Poisson-Boltzmann 方程可以簡(jiǎn)化為

電勢(shì)分布φ′滿足的邊界條件為

引入如下的無量綱變量:

將上述無量綱變量代入(5)式和(6)式中,可得

2.3 速度分布

在軸向電場(chǎng)和橫向磁場(chǎng)作用下,通過微通道的生物流體流動(dòng)和傳熱的控制方程如下[13,14]:

其中,(u′,v′,0) 表示流體的速度,σ表示電導(dǎo)率,cp表示恒壓下的熱容,k表示熱導(dǎo)率,p′表示流體壓力,ρ表示流體密度,μ表示流體黏度;方程(11)右邊最后兩項(xiàng)分別表示單位體積流體的電能和磁能,方程(13)右邊最后3 項(xiàng)分別代表焦耳熱、流體黏度和外加磁場(chǎng)造成的能量損失.

引入如下無量綱量:

其中u和v是無量綱的速度分量,θ表示無量綱的溫度分量,Tw表示初始溫度,q表示熱通量,δ=d1/λ是波數(shù).

利用(7)式和(14)式,方程(10)—(13)簡(jiǎn)化為

式中,Re=ρcd1/μ為雷諾數(shù),為哈特曼數(shù)(電磁力和黏滯力之間的比例),Pr=μcp/k為普朗特?cái)?shù)(黏度和導(dǎo)熱系數(shù)),β=UHS/c為介質(zhì)的流動(dòng)參數(shù),為亥姆霍茲速度(最大電滲速度),為布林克曼數(shù)(黏滯擴(kuò)散產(chǎn)生的熱和分子傳導(dǎo)傳遞的熱之間的比例),為焦耳加熱參數(shù)(電流產(chǎn)生的熱量),θ為無量綱溫度分量.

根據(jù)Shapiro 等[15]的方法,應(yīng)用長(zhǎng)波長(zhǎng)δ=d1/λ?1 和低雷諾數(shù)假設(shè)Re?1,可以忽略乘積項(xiàng)Reδ以及包含平方和更高次冪的項(xiàng)δ,方程(15)—(18)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

利用方程(21)和(22)消除壓力p,可得流函數(shù)滿足的微分方程:

為了求解方程(23),類似于文獻(xiàn)[29],引入關(guān)于流函數(shù)滿足的如下邊界條件:

其中,h1和h2表示通道壁,分別表示通道上壁和下壁的速度滑移參數(shù),F=e-At為無量綱流速.

2.4 溫度分布

利用低雷諾數(shù)和長(zhǎng)波長(zhǎng)假設(shè)[15],軸向傳導(dǎo)項(xiàng)可以忽略,熱能方程簡(jiǎn)化為

其中st1和st2代表微通道上壁和下壁的熱滑移參數(shù),也稱為溫度跳躍系數(shù),考慮到物理因素的影響,這兩個(gè)物理量可以描述通道壁的溫度變化.

通過確定流函數(shù)方程和熱能方程,可以得到以下表達(dá)式來描述無量綱平均流動(dòng)溫度:

3 數(shù)值求解

以下計(jì)算過程中,在區(qū)間 [h2,h1] 中選定如下切比雪夫點(diǎn):

區(qū)間 [h2,h1] 經(jīng)過映射變換之后剖分點(diǎn)取為

設(shè)φ=[φ(y0),φ(y1),φ(y2)···φ(yN)] 為切比雪夫點(diǎn)上的未定義向量,構(gòu)造一個(gè)N階或更高階的切比雪夫多項(xiàng)式p(yi),它滿足以下關(guān)系:p(yi)=φ(yi),其中i=0,1,2,···,N.

電勢(shì)方程(8)經(jīng)過變換之后的形式應(yīng)為(其中DN為切比雪夫求導(dǎo)矩陣,

這里為了使得左右邊界條件被滿足,這里使代數(shù)方程矩陣的第1 行和最后一行的D矩陣被改寫,等式右端同樣被改寫,第1 行改為

流函數(shù)方程(23)和邊界條件(24)和(25)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

通過計(jì)算切比雪夫多項(xiàng)式p(yi) 的導(dǎo)數(shù)并在網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)其求值,可以將方程(8)轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程,結(jié)合邊界條件(9)式,利用牛頓迭代法,得到該問題的無量綱電勢(shì)分布的數(shù)值解.在此基礎(chǔ)上,使用切比雪夫譜方法將方程(23)轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程組,并使用Matlab 軟件在邊界條件(24)和(25)下求得速度的數(shù)值解.

3.1 電勢(shì)分布

利用切比雪夫譜方法求解低Zeta 勢(shì)下電勢(shì)分布所滿足的方程(8)和方程(9),并將所得的結(jié)果與運(yùn)用D-H 線性近似求得的解析解進(jìn)行比對(duì).從圖2 可以看出,兩者結(jié)果是相一致的.因此,將切比雪夫譜方法推廣應(yīng)用于求解電勢(shì)分布是可行的.由此可將切比雪夫譜方法推廣到求解高Zeta 勢(shì)下的情形.

圖2 低Zeta 勢(shì)下P-B 方程D-H 近似解析解(藍(lán)色)與切比雪夫譜方法(黃色)對(duì)比圖,其中 a=b=x=0.5,?=0.05,d=1.0,t=0.0,F=1.0 Fig.2.Comparison between approximate analytical solution of D-H for P-B equation (blue) and Chebyshev spectrum method (yellow) at low Zeta potential,a=b=x=0.5,?=0.05,d=1.0,t=0.0,F=1.0 .

3.2 速度分布

根據(jù)3.1 節(jié)中求得的電勢(shì)分布,在低Zeta 勢(shì)的情形下利用切比雪夫譜方法求解速度分布所滿足的流函數(shù)方程,所得的結(jié)果與用D-H 線性近似求得的結(jié)果(BVP 法)進(jìn)行對(duì)比,如圖3 所示.從圖3可以看出,二者的擬合程度很好,說明用切比雪夫譜方法求得流函數(shù)結(jié)果是可靠的.由此可將切比雪夫譜方法推廣到求解高Zeta 勢(shì)下流體的速度分布.

考慮外加電場(chǎng)和磁場(chǎng)的影響,當(dāng)H=ζ1=ζ2→0,β1=β=0,將速度分布的數(shù)值結(jié)果與Tripathi[32]的結(jié)果進(jìn)行比較,以驗(yàn)證本研究的準(zhǔn)確性,如圖4 所示.

圖4 本文軸向速度分布與Tripathi[32]研究結(jié)果的比較,其中 ζ1 →0,ζ2 →0,H →0,β1=β2=β=0Fig.4.Comparison between axial velocity distributions obtained by this study and Tripathi[32],where ζ1 →0,ζ2 →0,H →0,β1=β2=β=0 .

4 結(jié)果與討論

本研究中微通道流動(dòng)的典型參數(shù)取值為[26–31]:半通道寬度d1=14 μm ;壁熱通量q=1500 W/m2;外加電場(chǎng) 2×104V/m ;平均絕對(duì)溫度 300 K ;通道寬度 14 μm ;γ<0 表示吸熱;γ>0 表示放熱,對(duì)應(yīng)的滑移長(zhǎng)度為0 (無滑移)到100 nm;電導(dǎo)率σ=1.0 S/m ;β=1.0 ;a=b=A=0.5 ;d=1.0 ;H∈(0,6],ζ1=ζ2=-1,-1.5,-2 ;β1=β2=0.0,0.005,0.01,0.05 ;st1=st2=0.0,0.03,0.05,0.1 ;m=5,10,20,30 ;γ=-2,-1.5,-1,0,1,1.5,2 ;Br=0.0,0.05,0.1,0.5 .

圖5 描繪了高Zeta 勢(shì)下,無量綱軸向速度u隨不同哈特曼數(shù)H、電滲參數(shù)m、Zeta 勢(shì)和速度滑移參數(shù)β的變化.從圖5(a)可以看出,通道中心區(qū)域的流速隨著哈特曼數(shù)H增大而受到抑制,同時(shí)觀察到壁面附近流體呈加速趨勢(shì),這是由于洛倫茲力里的阻力部分 -H2u隨著哈特曼數(shù)H增大而增大,導(dǎo)致總的洛倫茲力小于電滲力;并且因?yàn)樗俣然茥l件的影響,磁場(chǎng)的影響在微通道中心區(qū)域更有效,通道壁附近則觀察到相反的行為.從圖5(b)可以看出,通道中心區(qū)域的流動(dòng)速度隨著電滲參數(shù)m的逐漸增大而增大,而在壁面附近降低流動(dòng)速度,這是因?yàn)殡姖B參數(shù)m是通道高度和德拜長(zhǎng)度的比率,電滲參數(shù)的增大導(dǎo)致EDL 的減少,因此大量的流動(dòng)行為在通道中心區(qū)域快速發(fā)生.從圖5(c)可以看出,當(dāng)壁面電勢(shì)ζ1逐漸增大時(shí),上壁面觀察到明顯的下降趨勢(shì),而在下壁面觀察到相反的行為.這是因?yàn)楸诿骐妱?shì)增大引起雙電層內(nèi)的電荷密度增大,致使產(chǎn)生較大的EDL,從而導(dǎo)致流體速度降低.圖5(d)描繪了下壁面Zeta勢(shì)ζ2對(duì)流速的影響,也觀察到了與圖5(c)相似的特征.從圖5(e)和圖5(f)可以看出,壁面速度分別隨著滑移參數(shù)β1和β2的增大明顯下降,這是因?yàn)殡妱?dòng)效應(yīng)下EDL的電動(dòng)力將移動(dòng)電荷與流體一起向前運(yùn)輸,在很大程度上放大了滑移的趨勢(shì),從而降低了壁面的流動(dòng)速度.

圖5 不同參數(shù)值對(duì)軸向速度的影響(a=b=x=0.5,?=0.05,d=1.0,F=1.0) (a) H;(b) m;(c) ζ1 ;(d) ζ2 ;(e) β1 ;(f) β2Fig.5.Effects of different parameter values on axial velocity: (a) H;(b) m;(c) ζ1 ;(d) ζ2 ;(e) β1 ;(f) β2 .a=b=x=0.5,?=0.05,d=1.0,F=1.0 .

圖6 描繪了高Zeta 勢(shì)下,描述蠕動(dòng)泵送性能的壓力梯度隨不同電滲參數(shù)m和上壁面Zeta 勢(shì)的變化.流體的蠕動(dòng)運(yùn)輸與機(jī)械泵送的概念相關(guān)聯(lián),因此研究流體蠕動(dòng)泵送是有意義的.圖6(a)說明了軸向壓力梯度隨著電滲參數(shù)m增大而增大,在通道的中心流域部分呈現(xiàn)凸起狀并表現(xiàn)為順壓力梯度.這是因?yàn)殡S著電滲參數(shù)m增大,通道的狹窄部分需要更多的壓力來通過相同體積的流體.圖6(b)具有與圖6(a)相似的流動(dòng)模式,壁面Zeta勢(shì)增高,中心流域的壓力梯度變大,更高的Zeta勢(shì)會(huì)導(dǎo)致EDL 增大,減少了流體在通道的狹窄位置通過,這反過來需要更大的壓力梯度來促進(jìn)流體流動(dòng).

圖6 電滲參數(shù) m 和Zeta 電位對(duì)壓力梯度的影響(a=b=0.5,d=1.0,ζ2=-1.5,H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05)(a) m;(b) ζ1Fig.6.Effects of electroosmotic parameters m and potential Zeta on pressure gradients: (a) m;(b) ζ1 .a=b=0.5,d=1.0,ζ2=-1.5,H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05 .

Shapiro 等[15]將捕獲現(xiàn)象描述為由循環(huán)流線圍成的隨波速移動(dòng)的封閉流線區(qū)域,其隨著波速移動(dòng).圖7(a),(b)描繪了高Zeta 勢(shì)下,哈特曼數(shù)H對(duì)流線結(jié)構(gòu)的影響.從圖7 可以看出,流線團(tuán)聚集在流動(dòng)充分發(fā)展區(qū)域的中心線兩側(cè),并隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增大,捕獲的流線團(tuán)數(shù)量逐漸減少,直至它們最終消失在足夠強(qiáng)的磁場(chǎng)中.圖8(a),(b)描繪了高Zeta 勢(shì)下,電滲參數(shù)m對(duì)流線結(jié)構(gòu)的影響.從圖8 可以看出,捕獲行為強(qiáng)烈的發(fā)生在EDL 中,并且由于施加了比下壁面更高的電勢(shì),流線在上壁面有更明顯的循環(huán).圖9(a)—(c)描繪了高Zeta 勢(shì)下,壁面電勢(shì)ζ1對(duì)流線分布的影響.從圖9 可以看出,Zeta 勢(shì)增大時(shí),上壁面附近的封閉流線團(tuán)數(shù)量逐漸增加.這是因?yàn)镋DL 的厚度隨著Zeta 勢(shì)的增大而增大,從而形成封閉區(qū)域,并隨著波速向前推進(jìn).

圖7 哈特曼數(shù)對(duì)流線分布 ψ 的影響(ζ1=-1.5,ζ2=-1,m=20,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05) (a) H →0 ;(b) H=2Fig.7.Effect of Hammett number on streamline distribution ψ : (a) H →0 ;(b) H=2.ζ1=-1.5,ζ2=-1,m=20,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05 .

圖8 電滲參 數(shù)對(duì)流 線分布 ψ 的影響(ζ1=-1.5,ζ2=-1,H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05) (a) m=5;(b) m=20Fig.8.Effects of electroosmotic parameters on the streamline distribution ψ : (a) m=5;(b) m=20.ζ1=-1.5,ζ2=-1,H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05 .

圖9 Zeta 電位對(duì)流線分布 ψ 的影響(m=20,H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05) (a) ζ1=-1 ;(b) ζ1=-1.5 ;(c) ζ1=-2Fig.9.Effect of Zeta potential on streamline distribution ψ :(a) ζ1=-1 ;(b) ζ1=-1.5 ;(c) ζ1=-2 .m=20,H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=0.05 .

電滲流的一個(gè)固有特性是焦耳熱效應(yīng),它是由于電解質(zhì)的歐姆電阻而形成的[29].圖10(a)—(d)描繪了高Zeta 勢(shì)下,無量綱溫度分布θ隨電滲參數(shù)m、焦耳加熱參數(shù)γ、布林克曼數(shù)Br和溫度跳躍系數(shù)st的變化.從圖10(a)可以看出,電滲參數(shù)m對(duì)溫度分布有促進(jìn)作用,即雙電層的減少會(huì)導(dǎo)致溫度的上升,并且溫度峰值是在通道中心處觀察到.從圖10(b)可以看出,溫度分布隨著焦耳加熱參數(shù)正值的增大而快速上升,隨著負(fù)值的增大而下降.因此存在焦耳熱效應(yīng)的情況下,入口區(qū)域?qū)a(chǎn)生更大的局部電場(chǎng),導(dǎo)致電場(chǎng)分布不均勻,這種現(xiàn)象又會(huì)改變流體的黏度、介電常數(shù)和電場(chǎng)強(qiáng)度來加速EOF.從圖10(c)可以看出,溫度分布隨布林克曼數(shù)Br的增大而增大.布林克曼數(shù)是黏性耗散產(chǎn)生的熱量與分子傳導(dǎo)的熱量之比,Br的增大減小了黏性耗散所需的熱傳導(dǎo).由于流體平均溫度高于微通道壁面溫度且黏性耗散會(huì)產(chǎn)生更多的熱量,從而導(dǎo)致溫度升高.從圖10(d)可以看出,溫度分布隨著溫度跳躍系數(shù)st的增大而增大,溫度跳躍系數(shù)有增大通道內(nèi)溫度的趨勢(shì),這種趨勢(shì)上壁面比下壁面更明顯.

圖10 不同參數(shù)對(duì)溫度分布 θ 的影響(H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=st2=0.05,ζ1=-1.5,ζ2=-1,x=0.5,m=20)(a) m;(b) γ;(c) Br ;(d) st1Fig.10.Influences of different parameters on temperature distribution θ : (a) m;(b) γ;(c) Br ;(d) st1.H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=st2=0.05,ζ1=-1.5,ζ2=-1,x=0.5,m=20 .

努塞爾數(shù)Nu是整個(gè)通道的對(duì)流傳熱與傳導(dǎo)傳熱之間的比率.圖11(a),(b)描繪了高Zeta 勢(shì)下,努塞爾數(shù)Nu和焦耳加熱參數(shù)γ隨不同布林克曼數(shù)Br和速度滑移β1的變化.從圖11(a)可以看出,努塞爾數(shù)Nu隨著Br的增大而減小,傳熱效率逐漸降低,這意味著焦耳加熱參數(shù)γ和布林克曼數(shù)Br在控制壁面?zhèn)鳠崴俾史矫嫫鹬P(guān)鍵作用.從圖11(b)可以看出,存在溫度跳躍系數(shù)st1和壁面速度滑移β1時(shí),努塞爾數(shù)Nu的大小隨著速度滑移β1的增大而增大.這是因?yàn)榛崎L(zhǎng)度的增大導(dǎo)致流動(dòng)電流的增大,因此感應(yīng)電場(chǎng)的增大抵消滑移長(zhǎng)度增大所產(chǎn)生的影響.并且流動(dòng)電勢(shì)和位移電流的大小同時(shí)增大,這歸因于EDL 內(nèi)EHD 輸運(yùn)能力的增強(qiáng).這表明,可以通過調(diào)整滑移參數(shù)的數(shù)值來控制傳熱效率.所以在設(shè)計(jì)一般的微通道裝置時(shí)都需要考慮黏性耗散、雙電層厚度和熱滑移以及速度滑移的影響.

圖11 布林克曼數(shù) Br 和速度 滑移參數(shù)β1 對(duì)努塞爾數(shù) Nu 的影響(H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=st2=0.05,ζ1=-1.5,ζ2=-1,x=0.5,m=20) (a) Br ;(b) β1Fig.11.Influences of Brinkman number Br and slip parameter β1 on Nussle number: (a) Br ;(b) β1.H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=st2=0.05,ζ1=-1.5,ζ2=-1,x=0.5,m=20 .

圖12(a),(b)描繪了高Zeta 勢(shì)下,焦耳加熱參數(shù)γ對(duì)等溫線的影響.可以看出,等溫線發(fā)生在流動(dòng)膨脹區(qū)域的中心線附近,并且溫度輪廓的大小受到焦耳加熱參數(shù)的強(qiáng)烈影響,從而導(dǎo)致溫度改變,說明了焦耳加熱對(duì)溫度分布具有顯著影響.從圖12(a),(b)可以看出,當(dāng)γ=-2 時(shí),等溫線為負(fù);當(dāng)γ=2 時(shí)等溫線為正.從圖12(a)可以看到,在吸熱的情況下等溫線為負(fù)值;從圖12(b)可以看到,在發(fā)熱的過程中等溫線為正值.

圖12 不同焦耳加熱參數(shù) γ 的等溫圖(H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=st2=0.05,ζ1=-1.5,ζ2=-1,x=0.5,m=20) (a) γ=-2 ;(b) γ=2Fig.12.Isothermal diagram of different joule heating parameters γ : (a) γ=-2 ;(b) γ=2 .H=2.0,β1=0.01,β2=0.005,?=st2=0.05,ζ1=-1.5,ζ2=-1,x=0.5,m=20 .

5 結(jié)論

本文研究了在無Debye-Hückel 線性近似的情況下,由蠕動(dòng)機(jī)制誘導(dǎo)輸送的微通道中一類生物流體的電滲流和傳熱特性.通過運(yùn)用切比雪夫譜方法得到了電勢(shì)分布、流函數(shù)、速度分布和溫度分布的數(shù)值解.結(jié)果表明: 壁面Zeta 勢(shì)會(huì)促進(jìn)通道中心區(qū)域的流動(dòng)速度,并阻礙壁面流體流動(dòng);外加橫向磁場(chǎng)對(duì)無量綱速度分布有很大的影響,在外加磁場(chǎng)的情況下,速度隨哈特曼數(shù)H的增大而減少;電滲參數(shù)m逐漸增大時(shí),通道中心區(qū)域的流動(dòng)速度增大,而通道壁附近會(huì)阻礙流體流動(dòng)且也在一定程度上影響熱量的傳遞;無量綱溫度分布隨著焦耳加熱參數(shù)γ和布林克曼數(shù)Br的增大而增大;軸向速度u隨著壁面滑移參數(shù)β的增大而增大且壁面滑移條件的存在也增大了傳熱效率;軸向壓力梯度隨著電滲參數(shù)m和Zeta 勢(shì)的增大而增大,表現(xiàn)為順壓力梯度;流線的捕獲行為也與電滲參數(shù)m、哈特曼數(shù)H和更高的壁面Zeta 勢(shì)相關(guān)聯(lián).