具有Allee效應(yīng)和B－D項的Leslie－Gower模型解的存在性

程丹丹　李暢通　馮孝周　劉夢妍

摘要：研究一類具有B－D反應(yīng)項和Allee效應(yīng)的改進Leslie－Gower模型正解的性質(zhì).首先，運用極大值原理、上下解方法對模型正解進行先驗估計，利用線性化算子得到正常數(shù)解的漸近穩(wěn)定性.其次，利用Poincare不等式證明非常數(shù)正解的不存在性，進一步，利用Leray－Schauder度理論闡明非常數(shù)正解存在的充分條件.最后，通過數(shù)值模擬驗證常數(shù)解的穩(wěn)定性及Allee效應(yīng)常數(shù)對食餌和捕食者種群密度的影響.

關(guān)鍵詞：Allee效應(yīng)；漸近穩(wěn)定性；Leslie－Gower模型；度理論；數(shù)值模擬

中圖分類號：O 175.25文獻標(biāo)志碼：A文章編號：1001－988Ⅹ（2024）02－0006－08

Existence of solutions to Leslie－Gower models with Allee effect and B－D terms

CHENG Dan－dan，LI Chang－tong，F(xiàn)ENG Xiao－zhou，LIU Meng－yan

Abstract：The properties of a class of positive solutions to the improved Leslie－Gower model with B－D reaction terms and Allee effects were studied.Firstly，the maxima principle and the super－sub solution method were used to make a priori estimate for the positive solution of the model，and the asymptotic stability of the normal number solution is obtained by using the linearization operator.Secondly，the Poincare inequality was used to prove the non－existence of non－normal positive solutions.In addition，the Leray－Schauder degree theory was used to clarify the sufficient conditions for the existence of non－constant positive solutions.Finally，numerical simulation was used to verify the stability of the constant solution and the effect of the Allee effect constant on the population density of prey and predator.

Key words：Allee effect;asymptotic stability;Leslie－Gower model;degree theory;numerical simulation

0 引言

在生物數(shù)學(xué)中，研究不同物種密度之間的關(guān)系一直是科學(xué)家們非常關(guān)心的問題［1－2］.近年來，通過捕食－食餌模型描述物種動力學(xué)關(guān)系已成為熱點.

1931年，美國生態(tài)學(xué)家Allee提出Allee效應(yīng)［3－11］來描述種群密度與種群增長率之間的正相關(guān)關(guān)系；20世紀(jì)40年代，Leslie考慮到食餌種群數(shù)量對捕食者種群數(shù)量的影響，提出了著名的Leslie－Gower模型［12－13］；1960年，Leslie等［14］發(fā)現(xiàn)，當(dāng)捕食者的環(huán)境容納量和食餌的數(shù)量達到一定比例時，捕食者的成長率會受到影響，于是提出了修正的Leslie－Gower模型.21世紀(jì)初，Aziz－Alaoui等［15］指出，捕食者成長期內(nèi)由于沒有足夠多喜歡的食物，它的成長將受到限制，從而提出了具有HollingⅡ型功能反應(yīng)項的改進Leslie－Gower捕食－食餌模型

其中，u，v分別為食餌種群和捕食者種群數(shù)量；b代表食餌的種內(nèi)競爭，a1，a2表示對應(yīng)物種的平均減少率的最大值；r1，r2分別為食餌與捕食者的自然增長率；k1，k2分別衡量環(huán)境對食餌和捕食者的保護程度.1975年，Beddington［16］和Deangelis等［17］提出了B－D功能反應(yīng)項αx/（a+bx+cy），相較于Holling Ⅱ型功能反應(yīng)項，它在分母上加了一項cy來模擬捕食者之間的相互影響.2014年，Yu［18］將B－D項和改進的Leslie－Gower模型結(jié)合，得到模型

在自然界中，各物種在空間分布上是不均勻的，這種不均勻極大地影響了種群的發(fā)展，結(jié)合以上思想，本文在Neumann邊界條件和具有Allee效應(yīng)及B－D項的Leslie－Gower捕食模型的基礎(chǔ)上，考慮反應(yīng)擴散方程組［9］

其中Δ為拉普拉斯算子;u，v分別代表食餌和捕食者的種群密度;Ω是Rn中具有光滑邊界的有界開區(qū)域，Ω指有界開區(qū)域的邊界;uv/（a+u+kv）是B－D反應(yīng)項，參數(shù)d1，d2代表擴散系數(shù)，hv/（a+u+kv）

1 正解的先驗估計和穩(wěn)定性

首先根據(jù)最大值原理，對模型（2）正解進行先驗估計，并討論正常數(shù)解的穩(wěn)定性，為計算方便，設(shè)Γ=Γ（a，b，h，α，β）.

引理1 設(shè)h*>0，則一定存在常數(shù)T1=T1（Γ，h*）>0，使得當(dāng)d1，d2≥h*時，模型（2）的任意正解（u，v）均滿足

從圖1可以看到，不同條件下模型（2）的動力學(xué)行為很復(fù)雜.圖1（a）中：a=0.1，α=0.88，b=1.1，其對應(yīng)的邊界平衡解E1=（1，0）是穩(wěn)定的；圖1（b）中：a=2，α=8.5，b=0.1，其對應(yīng)的邊界平衡解E2=（0，0.268）是穩(wěn)定的；圖1（c）中：a=2，α=0.88，b=0.1，其對應(yīng)的正常數(shù)平衡解為E3=（0.851，0.428），根據(jù)引理1，當(dāng)滿足一定條件時，模型（2）的正常數(shù)平衡解是漸近穩(wěn)定的.系統(tǒng)參數(shù)的改變對系統(tǒng)平衡點的影響很大，所以選擇合適的參數(shù)有利于對種群數(shù)量進行控制.

圖2為對應(yīng)圖1在時刻T=30時u，v的剖面圖，圖2（a）所有參數(shù)都與圖1（a）相同，圖2（b）所有參數(shù)都與圖1（b）相同，圖2（c）所有參數(shù)都與圖1（c）相同.可以直觀地發(fā)現(xiàn)不同條件下模型（2）平衡點的穩(wěn)定性，驗證了本文結(jié)論的正確性.

圖3顯示了Allee效應(yīng)b對食餌和捕食者密度的影響，參數(shù)a=2，α=0.88，其他參數(shù)與上述相同.在圖3（a）～（d）中，b分別取0.1，0.2，0.5，1.0，初始條件u0（x）=0.2cosx+0.8，v0（x）=0.7cosx.從圖3可以清楚地觀察到u，v的變化.隨著Allee效應(yīng)的增強，食餌u的種群密度不斷增加，而捕食者v的種群密度降低，這說明Allee效應(yīng)對系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)有很大的影響.

5 結(jié)論

本文討論了具有B－D項和Allee 效應(yīng)的改進的Leslie－Gower 模型.首先利用最大值原理得到了正解的先驗估計，再利用線性化算子得出了正常數(shù)解的漸近穩(wěn)定性.進一步，利用Poincare不等式證明了非常數(shù)正解的不存在性，并給出了非常數(shù)正解存在的充分條件.最后對模型進行了數(shù)值模擬，驗證了理論分析的正確性.

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（責(zé)任編輯 馬宇鴻）

收稿日期：2023－02－05;修改稿收到日期：2023－08－30

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11901370，12001425）；國家大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目（202110702010）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項目（2020JM－569）；西安工業(yè)大學(xué)研究生教育改革重點項目（XAGDYJ220106）

作者簡介：程丹丹（1997—），女，甘肅平?jīng)鋈耍T士研究生.主要研究方向生物數(shù)學(xué).E－mail：1526570471@qq.com

*通信聯(lián)系人，講師，博士.主要研究方向為生物數(shù)學(xué).E－mail：lctnihao@163.com