具有時間依賴的時滯半線性二階發展方程的能控性和適定性

施翠云　賓茂君

摘要：考慮狀態依賴時滯的二階發展微分方程的能控性和適定性.首先，利用不動點定理證明狀態依賴時滯的二階發展微分方程的可控性；其次，在適當條件下證明狀態依賴時滯的二階發展微分方程是適定的；最后，通過實例驗證主要結果.

關鍵詞：時滯；抽象微分方程；二階發展方程；能控性；適定性

中圖分類號：O 175.15文獻標志碼：A文章編號：1001－988Ⅹ（2024）02－0014－07

Controllability and well posedness for second orderevolution differential equations

SHI Cui－yun BIN Mao－jun

Abstract：This paper considers the controllability and well posedness of second order evolution differential equations with state dependent delay.Firstly，the controllability is proved for second order evolution differential equations with state dependent delay by using the fixed point theorem;Secondly，it is proved that the developed differential equation are well posed under appropriate conditions.In the end，an example is provided to represent the theory.

Key words：time delay;abstract differential equation;second order evolution equation;constrollability;well posedness

0 引言

二階微分方程在變分學中有著廣泛的應用.在過去，人們對具有狀態時滯的抽象微分方程給予了極大關注［1－7］.2011年，Arthi等［8］考慮了二階微分方程解的存在性和可控性.可控性在控制理論的研究中扮演著重要角色，它主要是在系統中尋找控制函數使得系統狀態達到理想狀態，關于可控性研究的結果可見文獻［9－14］.

設（X，·）是Banach空間.本文研究二階時滯狀態依賴微分方程

這里，控制函數u（·）∈ζ （［0，b］;U），U是Banach空間，B：UX是一個有界線性函數，A（t）表示S（t，s）的無窮小生成元，ξ（·），σ（·）是適當的函數;函數yt：（-∞，0］X，yt（θ）=y（t+θ）是特定抽象相空間B的一個生成元;σ：ζ×B（-∞，b］為適定的函數.

抽象微分方程的狀態時滯和可控性是當前研究的一個熱門話題.文獻［15－19］給出了時滯微分方程的可控性結果.近年來，Hernandez 等［20］和Rezounenko［21］研究了時滯抽象微分方程和一階偏微分方程解的存在性.本文在Hino［22］工作的基礎上研究時滯二階發展方程解的存在性和可控性.通過借鑒文獻［20］和［21］的方法，在函數y→ξ（·，yσ（·，y（·））不是利普希茨函數的前提下得到解的存在性.本文的目標是研究問題（1）的解的存在性，并證明它們至少有一個解且該解是唯一的.此外，我們還給出了問題（1）的適定性結果.在對（0）和ξ（0）有較小限制的情況下，利用問題（1）的非線性函數滿足利普希茨條件

1 基礎知識

設（V，·V）和（W，·W）表示為Banach空間，·ζ（V，W）表示線性有界算子范數函數的空間，其中ζ（V，W）：VW，當V=W時，我們將空間ζ（V，W）改寫成ζ（V），其范數表示為·ζ（V）.因此，Bl（v，V）表示v∈V的閉球，記X的范數為

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（責任編輯 馬宇鴻）

收稿日期：2022－12－15;修改稿收到日期：2023－05－17

基金項目：廣西壯族自治區自然科學基金資助項目（2021GXNSFAA220130，2022GXNSFAA035617）；廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目（2024KY0594，2023KY0599，2022KY0582）

作者簡介：施翠云（1989—），女，廣西南寧人，講師，碩士.主要研究方向為微分方程控制理論.E－mail：2899450273@qq.com