轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統的葉尖振動特性

吳志淵，趙林川，顏格，胡海峰，楊志勃，張文明，*

1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240

2.國防科技大學 裝備綜合保障國防科技重點實驗室，長沙 410075

3.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049

葉片是航空發動機、燃氣輪機、壓縮機等動力設備的核心部件之一，直接承擔能量的轉換和傳遞［1］。葉片長期在極端惡劣的條件下運行，容易引發葉片故障［2］。軸系振動產生的機械載荷、氣流引起的氣動載荷，使葉片發生振動導致高周疲勞［3］。此外，葉片低周疲勞及外物損傷同樣容易導致葉片產生初始裂紋進而縮短壽命，嚴重影響了航空發動機的安全性和可靠性［4-5］。深入了解裂紋葉片的動力學行為，有助于開發一種有效、可靠的葉片裂紋故障監測技術［6］。當前，基于應變計的接觸式葉片振動測量技術受到安裝方式及信號傳輸的限制，只能監測少數葉片的少數測點；然而，基于葉尖定時的非接觸式葉片振動測試技術通過機匣上少數的傳感器，可以在線監測全級所有葉尖的振動信息，已經成為葉片健康檢測的重要發展方向［7-8］。因此，研究轉子系統中裂紋葉片葉尖的振動特性，對航空發動機安全運行及健康檢測具有重要的理論和工程價值。

大量學者基于集中參數模型、連續體模型、有限元模型對裂紋葉片進行了研究。Xu 等［9］提出了一種單自由度模型，并利用振動功率流分析了呼吸裂紋的非線性行為，結果表明振動功率流對較小的呼吸裂紋比基于位移的振動分析更加敏感。Xie 等［10］通過判斷拉伸應力和彎曲應力的關系，提出了考慮裂紋呼吸效應的旋轉葉片動力學模型。Yang 等［11］在Xie 等的基礎上進一步考慮了旋轉葉片的科氏力效應，并基于斷裂力學理論修正了呼吸裂紋的呼吸函數。Zeng 等［3］基于有限元方法和接觸理論研究了某透平葉片在升速過程中的非線性行為。為了提高有限元模型的計算效率，Liu 和Jiang 等［12］開發了六面體裂紋單元模擬裂紋呼吸效應；Zhao 等［13］開發了裂紋梁單元模型，并基于振動過程中的閉合區域實現了扭型裂紋葉片的呼吸效應。

上述研究以單裂紋葉片結構為主，然而裂紋葉片會導致葉盤結構出現模態局部化現象［14］，越來越多的學者關注裂紋葉片與葉盤之間的影響。基于Euler-Bernoulli 梁理論和應變釋放能，Huang 和Huang［14］提出了耦合的周期葉盤模型，并針對裂紋葉片導致葉盤出現模態局部化現象進行了穩定性分析。Kuang 等［15］、Huang［16］基于Hamiltons 原理和Galerkins 方法，對扭型葉片-剛性輪盤結構進行了建模，并分析了葉片裂紋導致的模態局部化現象。Jung 等［17］采用混合界面的模態綜合法對含裂紋葉片的葉盤結構有限元模型進行了降維，并利用時頻域交替法提高了計算效率。

由于葉盤安裝在轉軸上，轉軸的剛度無法忽略，而且越來越多的學者研究發現轉軸彎曲、轉軸扭轉、輪盤橫向位移、葉片彎曲存在耦合［18-19］。然而，現有的轉軸-輪盤-葉片模型中，大多關注軸系故障及葉片碰摩故障［20］。轉軸、輪盤、葉片間復雜的耦合機制，導致現有葉片裂紋的研究以單葉片、葉盤結構為主，針對轉軸-輪盤-葉片耦合系統的研究較少。 Chiu 和Huang［6］建立了5 葉片的轉軸-輪盤-葉片模型，并研究了裂紋葉片對系統固有特性的影響。Yang 等［5］建立了含裂紋葉片的轉軸-輪盤-葉片動力學模型，并分析了裂紋呼吸效應對轉軸彎曲、扭轉振動的影響。

綜上可知，現有研究大多關注含裂紋的單葉片結構或者含裂紋葉片的葉盤結構，針對轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統的較少，且研究主要集中在裂紋對耦合系統固有頻率和振型的影響。因此，亟需開展考慮多源激勵下耦合系統中裂紋葉片葉尖振動特性的研究。本文基于有限元方法，采用梁單元模擬轉軸；基于假設模態方法，采用Kirchhoff 板和Timoshenko 梁模擬輪盤和葉片；基于釋放應變能確定呼吸裂紋導致的時變損失剛度，建立轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統動力學模型；通過對比固有特性、振動響應，驗證本文模型的有效性和準確性，剖析重力載荷、轉子不平衡力、葉片氣動載荷對裂紋葉片葉尖振動特性的影響；分析、總結裂紋深度、裂紋位置對耦合系統葉尖振動的影響規律。

1 動力學建模

轉軸-輪盤-葉片耦合系統模型示意圖如圖1所示，系統主要包括轉軸、輪盤、葉片等關鍵部件。轉軸采用雙支承結構（軸承1、2），彈性輪盤固定在轉軸上，若干葉片均勻地連接在輪盤的外徑上。本文基于有限元方法，采用梁單元對轉軸建模；基于假設模態方法，利用Kirchhoff 板理論對輪盤建模，并利用Timoshenko 梁理論對葉片進行建模。此外，本文定義OXYZ為固定坐標系，OdXtYtZt為輪盤平動坐標系，OdXrYrZr為輪盤轉動坐標系，obxbybzb為葉片局部坐標系。

圖1 轉軸-輪盤-葉片耦合系統模型示意圖Fig.1 Model schematic of the shaft-disk-blade coupling system

1.1 轉軸動力學建模

如圖2所示，采用橫截面為實心圓的2 節點有限梁單元模擬轉軸，轉軸有限單元上任意點在固定坐標系OXYZ下的動能Te為

圖2 轉軸有限單元示意圖Fig.2 Schematic of shaft finite element

式中：Ae、Le、ρe分別為單元橫截面積、長度、密度；Jse、Jpe為截面慣性矩和極慣性矩；Ωe為單元的轉速；［ue，ve，we，θxe，θye，θze］為轉軸任意點的六自由度位移，可由單元的廣義坐標表示［21］。

轉軸有限元單元的彈性勢能Ue計算公式［21］為

式中：Ee、Ge、κe分別為轉軸單元的彈性模量、剪切模量、剪切系數。

采用線性的彈簧-阻尼模擬軸承，軸承1 的剛度、阻尼矩陣Kb1、Cb1，軸承2 的剛度、阻尼矩陣Kb2、Cb2，可表達為

式中：kbx1、kby1、kbx2、kby2為軸承剛度；cbx1、cby1、cbx2、cby2為軸承阻尼；下標x、y分別表示固定坐標系下的X、Y方向；下標1、2 分別表示軸承1、2。

因此，軸承的勢能Ubearing可表示為

式中：qb1、qb2分別為軸承1、2 位置處相應轉軸節點的廣義位移向量。

軸承阻尼導致的虛功δWbearing可表示為

1.2 彈性輪盤動力學建模

由于彈性輪盤裝配在轉軸上，并假設輪盤圓心與轉軸節點剛性連接。因此，轉軸、軸承的變形會導致彈性輪盤的圓心位置和姿態會發生變化，如圖3所示。輪盤平動坐標系OdXtYtZt原點為輪盤發生平動位移后輪盤圓心的位置，經過二類歐拉角（Y1-X1-Z2）的姿態變換后，得到輪盤局部坐標系OdXdYdZd。

圖3 輪盤圓心位置及姿態示意圖Fig.3 Schematic of disk center position and attitude

在輪盤局部坐標系OdXdYdZd下，彈性輪盤-葉片結構與輪盤內徑固支邊界的葉盤結構類似［22］，如圖4所示。將彈性輪盤簡化為Kirchhoff 環形板，將葉片簡化為Timoshenko直梁進行建模。

圖4 彈性輪盤-葉片結構示意圖Fig.4 Schematic of flexible disk-blade structure

考慮輪盤圓心的位置和姿態后，輪盤上任意點的位置Pd可表示為

式中：r、θ為輪盤坐標系對應的極坐標；ud為輪盤橫向位移；θΩ為輪盤角位移；［xd，yd，zd］T為輪盤圓心平動位移；R1、R2、R3分別為與輪盤姿態角θzd、θxd、θyd相關的旋轉變換矩陣。

進一步推導得到輪盤在固定坐標系OXYZ下的動能Tdisk為

式中：rd、Rd、hd、ρd分別為輪盤內徑、輪盤外徑、輪盤厚度、輪盤密度。

考慮輪盤橫向位移ud，輪盤彈性變形導致的彈性勢能計算公式［22］為

式中：?2為拉普拉斯算子；Dd為輪盤抗彎剛度；μd為輪盤泊松比。

式中：Nr、Nθ為極坐標下輪盤的正交應力分量。

1.3 健康及呼吸裂紋葉片動力學建模

如圖5所示，長度為Lb、寬度為bb、厚度為hb、安裝角為β的葉片固定在輪盤的外徑上。假設Nb個葉片沿圓周均勻分布，如圖4所示，則任意時刻t第i個葉片在輪盤局部坐標系OdXdYdZd中的角位移可表示為?i=Ωt+2π(i-1)Nb，與第i個葉片根部連接處的輪盤橫向位移可表示為udi，由于輪盤橫向位移，導致第i個葉片在輪盤轉動坐標系OdXrYrZr中存在剛體角位移θdi［22］。

圖5 裂紋葉片模型示意圖Fig.5 Schematic of cracked blade

考慮輪盤圓心的平動位移和旋轉姿態，并考慮葉片的徑向位移u、橫向位移v、剪切角θz，第i個葉片上任意點在固定坐標系OXYZ下的位置Pb可表示為

式中：T1、T2、T3分別為與葉片安裝角β、剛體角位移θdi、角位移與輪盤姿態角之和（?i+θzd）相關的旋轉變換矩陣。

相應地，第i個葉片在固定坐標系OXYZ下的動能Tiblade為

式中：ρb、Ab分別為葉片密度、葉片橫截面積。

考慮旋轉葉片的離心剛化后，第i個葉片勢能Uiblade計算公式［18，22］為

式中：Eb、Ib、Gb、κb分別為旋轉葉片彈性模量、截面慣性矩、剪切模量、剪切系數；fc（x）為葉片任意截面的離心力載荷［18，22］。

如圖5所示，假設在距離葉根Lc位置部分存在一個深度為hc的貫穿直裂紋，由于葉片受到氣動力等交變載荷，導致裂紋面存在“張開-閉合”行為，稱作裂紋呼吸效應。Wu 等［24］提出了考慮呼吸效應的軸彎耦合裂紋模型，在拉伸載荷和彎曲載荷的共同作用下，時變的等效裂紋長度h?c可表示為

式中：yc為裂紋尖端在葉片局部坐標系obxbybzb中的坐標值；分別為臨界閉合、張開時裂紋面受到的拉伸應力。

式中：μb為葉片泊松比；分別為影響裂紋葉片的軸向剛度、彎曲剛度、軸彎耦合剛度，具體表達式為

1.4 轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統動力學建模

基于Hamilton 原理，將轉軸、軸承、輪盤、葉片的能量項代入可得

式中：Wnon為耦合系統非保守力做功。

采用有限元方法對轉軸和軸承進行單元組集，采用Galerkin 方法對彈性輪盤和葉片進行離散，最終可以得到轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統整體的運動微分方程為

式中：M、G、K、q分別為耦合系統的質量矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣、廣義坐標向量；C為耦合系統的瑞利阻尼矩陣；為時變裂紋導致的時變損失剛度；Fi、Fe分別為旋轉導致的慣性、外激勵載荷向量。

便于描述，Fi、Fe可表示為

式中：上標s、d、ib 分別表示轉軸、輪盤、第i個葉片上的載荷向量；上標sd 表示與輪盤圓心連接的轉軸節點上的載荷向量。

僅考慮勻轉速運動時，慣性載荷向量Fi僅包含與葉片相關的載荷，可表示為

式中：Λ1為葉片軸向位移u的假設模態函數。

當轉軸-輪盤-葉片耦合系統中存在輪盤不平衡量時，外激勵載荷向量Fe僅包含與轉軸相關的載荷，計算公式［18，27］為

式中：ed為輪盤不平衡量；md為輪盤質量。

若第i個葉片存在均布力載荷，且葉片任意位置的線載荷密度在固定坐標系OXYZ中為［Fx，Fy，Fz］T，則對應的外激勵載荷向量Fe可表示

式中：A= -Fxsin?icosβ+Fycos?icosβ+Fzsinβ；Φ為輪盤橫向位移ud的假設模態函數；Φ'為Φ對極坐標r的1 階偏導；Λ2為葉片彎曲位移v的假設模態函數。

2 模型驗證

2.1 無裂紋葉片的耦合系統模型驗證

文獻［18］基于集中質量法和Timoshenko梁理論建立一種轉子葉片動力學模型，并通過與有限元模型進行對比驗證了模型的正確性。文獻［28］提出一種基于零轉速模態數據計算轉子系統Campbell 圖的方法，并與文獻［18］結果進行了對比，進一步驗證了文獻［18］中模型的正確性。

為了充分驗證本文提出方法的有效性、準確性，本文參照文獻［18］中的幾何及材料參數進行建模。同時，在有限元商業平臺ANSYS 中建立有限元模型，如圖6所示。采用BEAM188 單元模擬轉軸，采用COMBI214 模擬軸承，采用SHELL181 單元模擬輪盤，采用SOLID186 單元模擬葉片；葉片根部截面節點與輪盤、輪盤內徑與轉軸節點通過MPC 接觸進行連接；并約束了靠近軸承1 的軸端軸向、扭轉自由度。此外，裂紋面基于TARGE170、CONTA174 單元建立接觸對。需要說明的是，僅在后續瞬態分析中考慮裂紋面之間的接觸對，在模態分析中不考慮裂紋接觸。

圖6 轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統有限元模型Fig.6 Finite element model of shaft-disk-crackedblade coupling system

表1 給出了本文方法、有限元模型、文獻［18］計算得出的無裂紋葉片的耦合系統前13 階固有頻率。本文方法與有限元模型、文獻［18］方法、文獻［18］試驗的最大誤差絕對值分別為2.26%、1.63%、2.79%，驗證了本文方法的有效性、正確性。此外，基于本文方法繪制了部分階次的模態振型，如圖7所示，所繪制的振型圖與文獻［18，28］均一致。同時，在葉片主導的模態中（第6～9階右下角）繪制了輪盤的局部模態。可以看出，葉片主導模態分別與輪盤的2 節徑、1 節徑、1 節徑、0 節徑模態發生耦合，導致不同葉片的模態位移具有不同的方向性。文獻［18］中提到的葉片-葉片耦合模態（第6 階）主要由葉片彎曲和輪盤2節徑模態耦合導致的；葉片彎曲-轉軸橫向耦合模態（第7、8 階）主要由輪盤的1 節徑模態與轉軸彎曲存在耦合導致；葉片彎曲-轉軸扭轉耦合模態（第9 階）主要是由輪盤的0 節徑模態與轉軸扭轉存在耦合導致［29］。

表1 無裂紋葉片的耦合系統固有頻率Table 1 Natural frequencies of coupling system without cracked blade

圖7 無裂紋葉片的耦合系統部分振型圖Fig.7 Partial mode shapes of coupling system without cracked blade

圖8 為本文方法和文獻［18］方法計算無裂紋葉片耦合系統的Campbell 圖，結果表明，本文方法和文獻［18］方法計算的各階固有頻率吻合較好。隨著轉速的升高，離心剛化導致葉片彎曲主導的模態頻率隨之增大；且由于陀螺效應的影響，輪盤的擺動模態頻率分離（正進動FW和反進動BW）；當轉速升高至Ω1時，輪盤擺動模態的反進動BW 頻率靠近系統俯仰模態頻率，產生頻率轉向現象，文獻［18］同樣也存在頻率轉向的現象。上述結論再次驗證了本文模型的準確性。

2.2 含裂紋葉片的耦合系統模型驗證

假設在1#葉片上存在一個貫穿的直裂紋，且無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2。對比了本文方法、有限元模型（見圖6）所得含裂紋葉片的耦合系統固有頻率，如表2所列。結果表明，本文方法和有限元結果吻合較好，最大誤差絕對值為2.81%。此外，與表1 對比發現，裂紋主要影響了葉片彎曲主導的模態頻率（表2 中括號部分），轉軸、輪盤主導的模態頻率幾乎沒有影響。

表2 含裂紋葉片的耦合系統固有頻率Table 2 Natural frequencies of coupling system with cracked blade

為了進一步研究葉片裂紋對轉軸-輪盤-葉片耦合系統的影響，基于本文方法獲得了葉片彎曲主導的模態振型（第6～9 階），并繪制了相應的輪盤局部模態，如圖9所示。葉片裂紋導致耦合系統出現模態局部化現象，且模態局部化現象出現在葉片彎曲主導的第1 個模態（第6 階模態）；對比無裂紋的耦合系統，裂紋導致葉片上原本較大的模態位移減小（第7、9 階模態）；裂紋出現在原本模態位移較小的葉片上時，裂紋對模態頻率和模態振型幾乎沒有影響（第8 階模態），主要的原因是裂紋葉片處在輪盤的節徑線上，導致對系統模態振型影響較小。

圖9 含裂紋葉片的耦合系統部分振型圖Fig.9 Partial mode shapes of coupling system with cracked blade

為了進一步驗證本文方法的準確性，與有限元模型對比了含葉片裂紋耦合系統的振動響應。假設在1#葉片上存在一個Y方向的簡諧均布力載荷Fy=-100 sin(200 πt)，將［0，Fy， 0］T代入式（22）～式（25）中，進行耦合系統的振動響應計算。在有限元模型中，考慮裂紋面之間的接觸，并在1#葉片上表面施加簡諧的壓力載荷-Fy/bb。如圖10所示，本文方法計算得到的1#葉片葉尖Y方向位移時域波形及頻譜圖（見圖10（a）、圖10（b））、輪盤位置處軸心Y方向位移時域波形及頻譜圖（見圖10（c）、圖10（d））與有限元計算結果基本吻合。上述結果說明了本文方法能夠準確模擬系統的振動響應，且葉片上的載荷能夠有效地傳遞到轉軸上。需要說明的是，有限元和本文方法中的時間步長均為1×10-4s，計算100 個周期，有限元計算時間約為17 h，而本文方法耗時約為290 s（0.08 h），本文方法極大提高了計算效率。

圖10 本文方法和有限元模型動態響應結果對比Fig.10 Comparison of dynamic response results between proposed method and finite element model

3 耦合系統葉尖振動特性分析

基于本文方法，分析重力載荷、轉子不平衡力、葉片氣動力載荷、葉片裂紋參數對轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統葉尖振動特性的影響。

3.1 重力載荷對葉尖振動的影響

由于葉片均布在輪盤的外徑上，且隨著轉子的自轉，葉片的位置不斷發生變化導致葉片上的重力載荷也不斷變化。因此，當考慮葉片彈性變形時，重力載荷對葉片的影響是不可忽略的。重力載荷產生的外載荷表示為Fy= -ρbAbg，將［0，Fy， 0］T代入式（22）～式（25）中，可得第i個葉片對系統產生的外激勵載荷向量Fe為

由式（28）可以看出，重力載荷產生的外載荷與葉片位置?i有關，且重力載荷影響葉片的拉伸位移u和彎曲位移v。在轉速4 600 r/min 下，計算葉尖的彎曲振動響應，如圖11所示，當所有葉片均為健康葉片時，由于轉子系統自轉導致葉片產生彎曲位移，且各個葉片的位置不同導致彎曲位移響應存在相位角；當1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），裂紋葉片葉尖的彎曲位移存在明顯的偏移量，主要是由于在旋轉狀態下裂紋葉片的拉伸方向存在恒定的慣性載荷向量Fi（見式（20）），并且由于裂紋導致葉片存在軸-彎耦合，因此慣性載荷向量Fi會導致葉片彎曲存在明顯的偏移量。從葉尖彎曲位移的頻譜圖中也可以看出，無裂紋時葉尖彎曲位移頻譜的頻率成分主要為轉頻fr；當存在裂紋時，葉尖彎曲位移頻譜的頻率成分還包含常值分量。

3.2 轉子不平衡力對葉尖振動的影響

假設轉速4 600 r/min，輪盤位置處不平衡量ed=1×10-4m，根據式（21）可得到轉軸-輪盤-葉片耦合系統產生的不平衡力，計算得到的葉尖彎曲振動響應如圖12所示。當所有葉片均為健康葉片時，在不平衡力作用下葉片彎曲位移趨于恒定值不再產生振動，然而不同葉片恒定值不同，主要原因可能是輪盤圓心的位移與葉片彎曲位移存在耦合，且與葉片位置?i相關［18，20，30］；當1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），恒定慣性載荷向量Fi會導致裂紋葉片的偏移量明顯增大，且彎曲位移趨于穩定值，即產生靜變形沒有發生振動。從葉尖彎曲位移的頻譜圖（見圖12（c））中也可以看出，在不平衡力下，葉片只存在常值分量，且裂紋葉片常值分量大于健康葉片常值分量。

圖12 考慮轉子不平衡力的葉尖振動響應Fig.12 Vibration response of blade tip considering rotor unbalance force

3.3 氣動力載荷對葉尖振動的影響

第i個葉片上的氣動力載荷計算公式［31］為

式中：Af為氣動載荷幅值；EO為階次。取Af=-100 N/m、fr=76.67 Hz（轉速為4 600 r/min）、EO=5。第i個葉片中氣動載荷示意圖如圖13所示，由于存在葉片安裝角β，氣動載荷Fi在坐標系oxbrybrzbr中的載荷分量為Fiy=Ficosβ、Fiz=Fisinβ。由圖4 可知，忽略輪盤導致的小變形θdi，第i個葉片中氣動載荷在整體坐標系OXYZ中可表示為

圖13 第i 個葉片中氣動力載荷示意圖Fig.13 Schematic of aerodynamic load on ith blade

將［Fx，Fy，Fz］T代入式（22）～式（25）可得系統的外激勵載荷向量Fe。

計算得到的葉尖振動載荷如圖14所示。當所有葉片為健康葉片時，在穩定狀態各葉片彎曲位移幅值幾乎相同，但存在相位差，主要是由于不同葉片的氣動力載荷存在相位差；當1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1，無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），各個葉片彎曲位移幅值不相同，裂紋葉片的彎曲位移幅值大于其他葉片彎曲位移幅值。從1#葉片葉尖彎曲位移頻譜圖（見圖14（c））中可以看出，當各葉片為健康葉片時，頻率成分為EOfr；當1#葉片為裂紋葉片時，除了常值分量外，頻率成分還包括fr及其倍頻，且在EOfr及其倍頻處有較大的幅值。裂紋葉片彎曲位移存在多頻率成分的原因是在氣動力載荷下，裂紋面交替出現“張開-閉合”的呼吸效應，發生了非線性振動。

圖14 考慮氣動力載荷的葉尖振動響應Fig.14 Vibration response of blade tip considering aerodynamic load

3.4 多源激勵對葉尖振動的影響

考慮重力載荷，轉子不平衡力，氣動載荷多源激勵，研究葉尖的振動特性。假設轉速4 600 r/min、輪盤位置處不平衡量ed=1×10-4m、氣動力載荷幅值Af=-100 N/m、階次EO=5。計算得到的葉尖振動載荷如圖15所示。與僅氣動載荷作用下的振動響應類似，當所有葉片為健康葉片時，葉尖彎曲位移幅值相同且存在相位差；當1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），各葉片幅值不再相同。從1#葉片葉尖彎曲位移頻譜圖（見圖15（c））中可以看出，當所有葉片為健康葉片時，重力載荷導致的fr、轉子不平衡力導致的常值分量0fr、氣動載荷導致EOfr均在頻譜圖中有所體現；當1#葉片為裂紋葉片時，葉片彎曲位移頻率成分還包括fr的倍頻，且在EOfr的倍頻處存在較明顯幅值，裂紋葉片的常值分量相較于健康葉片有明顯增大。

圖15 考慮多源激勵的葉尖振動響應Fig.15 Vibration response of blade tip considering multi-source excitation

3.5 裂紋參數對葉尖振動的影響

上述研究表明，與健康葉片的葉尖彎曲位移頻譜圖對比，在重力載荷作用下，裂紋導致葉片產生新的常值分量（見圖11（c））；在不平衡力作用下，裂紋導致葉片的常值分量增大（見圖12（c））；在氣動力作用下，裂紋導致葉片產生除激勵頻率（EOfr）外的其他頻率分量，包括常值分量、轉頻及其倍頻分量（見圖14（c））；在多源激勵作用下，裂紋導致葉片的常值分量增大，且激發了轉頻的倍頻分量（見圖15（c））。從上述分析可知，健康葉片與裂紋葉片葉尖彎曲位移的常值分量有較大差異，是評價裂紋程度的潛在指標。實際過程中，不同裂紋會導致結構阻尼不同［24］，為了避免阻尼的影響，本節通過頻譜圖中的幅值比0fr/1fr（常值分量幅值/轉頻分量幅值）、0fr/（EOfr）（常值分量幅值/氣動激勵頻率分量幅值）來研究不同裂紋參數對葉尖振動的影響。假設轉速為4 600 r/min、輪盤位置處不平衡量ed=1×10-4m、氣動力載荷幅值Af=-100 N/m、階次EO=5、無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb范圍為［0，0.4］。由圖16 中可以看出，隨著裂紋深度的增大，幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）均增大。保持其余條件不變，設置無量綱裂紋深度hc/hb=0.2，無量綱裂紋位置Lc/Lb范圍為［0.1，0.8］。由圖17可以看出，隨著裂紋位置的增大（越靠近葉尖），幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）均減小。上述結果表明，幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）為評價葉片裂紋的有效指標。

圖16 不同量綱裂紋深度下的葉尖彎曲位移幅值比Fig.16 Amplitude ratio of tip bending displacement at different dimensionless crack depths

圖17 不同無量綱位置下的葉尖彎曲位移幅值比Fig.17 Amplitude ratio of tip bending displacement at different dimensionless crack locations

4 結 論

1） 基于有限元法，采用梁單元對轉軸建模；基于假設模態法，采用Kirchhoff 板理論對輪盤建模，并采用Timoshenko 梁理論對葉片進行建模。考慮葉片裂紋的呼吸效應，建立了轉軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統動力學模型，并通過對比固有特性和動態響應驗證了模型的準確性。

2） 健康葉片中，重力載荷導致葉片產生振動，且葉尖彎曲位移的頻率成分為轉頻；轉子不平衡力不會導致葉片產生振動，但是會導致葉片發生靜變形，葉尖彎曲位移的頻率成分為常值分量；氣動力載荷導致葉片振動，葉尖彎曲位移的頻率成分僅為氣動激勵頻率。

3） 在旋轉狀態下，裂紋葉片導致葉尖彎曲位移產生偏移量，即增大了頻譜中常值分量；在氣動載荷載荷作用下，呼吸裂紋導致葉片發生非線性振動，在轉頻及其倍頻處產生幅值，且在氣動激勵頻率的倍頻處有較明顯的幅值。

4） 幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）為評價葉片裂紋的有效指標，隨著裂紋深度的增大，0fr/1fr、0fr/（EOfr）均增大；隨著裂紋位置的增大（越靠近葉尖），0fr/1fr、0fr/（EOfr）均減小。