大單元、大概念教學(xué)中“大”的內(nèi)涵

李永紅

本文系鶴壁市教育科研課題《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的高考數(shù)學(xué)試題研究》（課題批準(zhǔn)號(hào)2023-JKLX-063）研究成果。

筆者作為一線老師，深感學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的困惑。多數(shù)學(xué)生表示數(shù)學(xué)課上聽得明白，但是當(dāng)自己動(dòng)手做題時(shí)，無從下手，或是找到了切入口但不知如何轉(zhuǎn)化。在學(xué)生的“聽懂”與“會(huì)做”之間有一條無法跨越的鴻溝。這不能僅僅怪罪于學(xué)生“不肯動(dòng)腦”，學(xué)生產(chǎn)生這一問題的根源值得我們深思。

對(duì)此，筆者認(rèn)為一線教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法產(chǎn)生的意義理解的還不是很清楚。在教學(xué)過程中就知識(shí)論知識(shí)，就方法論方法。而面對(duì)復(fù)雜多樣的知識(shí)點(diǎn)與方法，它們背后的理論支撐卻沒有向?qū)W生滲透，從而使學(xué)生掌握的內(nèi)容是碎片化的。孤立的內(nèi)容無法改變學(xué)生固有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，無法形成思維，素養(yǎng)也就沒有得到提升。比如說一個(gè)機(jī)器人玩具，拆開后我們熟悉每一個(gè)零件，但是沒有從整體上把握每一個(gè)零件的位置、作用與用途，想要再組合到一起，亦或是當(dāng)出現(xiàn)故障想要進(jìn)行修復(fù)都是比較困難的事。解決問題時(shí)，因缺失指導(dǎo)行動(dòng)的學(xué)科思維作為引領(lǐng)，必然會(huì)產(chǎn)生“聽懂”，但是不能“自主想到”這樣的情況。

當(dāng)下，大單元教學(xué)如火如荼地進(jìn)行。這并不是要求每節(jié)課都要高、大、上。“大”的含義是清楚知識(shí)與方法產(chǎn)生的作用與意義后，站在單元的高度整合教學(xué)資源，用系統(tǒng)的思維推進(jìn)教學(xué)。打通知識(shí)脈絡(luò)，形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的最大化。

舉函數(shù)的例子加以說明，函數(shù)是刻畫兩個(gè)變量間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。而要研究這種變化關(guān)系要研究哪個(gè)范圍呢？有明確的研究范圍是很必要的，那么函數(shù)的定義域這一性質(zhì)就是為解決這一問題而產(chǎn)生的。當(dāng)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呈現(xiàn)出：一個(gè)變量增加，另一變量也隨之增加或當(dāng)一個(gè)變量增加時(shí)，另一變量卻減少這樣的特征，我們把這一現(xiàn)象叫做函數(shù)的單調(diào)性。當(dāng)變量間的變化關(guān)系反映出：隨著自變量的變化，因變量呈階段性、周期性變化這種特征，我們稱函數(shù)具有周期性。若自變量關(guān)于零對(duì)稱時(shí)，函數(shù)值相等或者函數(shù)值也關(guān)于零對(duì)稱，我們稱函數(shù)具有奇偶性。由此可見，函數(shù)性質(zhì)的研究本質(zhì)是整體把握兩個(gè)變量間的變化規(guī)律。以上是必修一第三章的內(nèi)容，學(xué)到這里只有空泛的理論成果，沒有具體的函數(shù)例子拿來實(shí)踐是不行的。必修一第四章學(xué)生首先學(xué)習(xí)的函數(shù)種類是冪函數(shù)。冪函數(shù)y=，取不同的值，冪函數(shù)性質(zhì)也有不同的變化。冪函數(shù)的設(shè)置能很好的鍛煉學(xué)生學(xué)會(huì)研究函數(shù)性質(zhì)的能力。緊接著便是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)。通過對(duì)這兩類不同函數(shù)的研究學(xué)習(xí)，一方面鞏固了研究函數(shù)的一般規(guī)律和方法，另一方面拓寬了學(xué)生在函數(shù)領(lǐng)域的知識(shí)面，學(xué)習(xí)在日常生活和其它學(xué)科領(lǐng)域中應(yīng)用非常廣泛的兩種函數(shù)。而必修一第五章三角函數(shù)是函數(shù)中具有周期性的函數(shù)實(shí)例。另外，在選擇性必修二中的導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，與函數(shù)這一單元主體絕不能割裂開。導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)的意義是解決復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性的，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的工具，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)便于學(xué)生研究復(fù)雜函數(shù)的變化規(guī)律。數(shù)列中通項(xiàng)公式、遞推公式和求和公式本質(zhì)上也是函數(shù)關(guān)系。學(xué)生領(lǐng)悟到這一點(diǎn)，便可由得出，由得出，學(xué)生從遞推公式和前n項(xiàng)和得出通項(xiàng)便有了行動(dòng)指南。所以數(shù)列的學(xué)習(xí)不能是機(jī)械講解累加、累乘、等差數(shù)列、等比數(shù)列等內(nèi)容，而應(yīng)該是與函數(shù)這一體系融合在一起，站在函數(shù)高度學(xué)習(xí)數(shù)列。協(xié)同數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，使之是一個(gè)有機(jī)的單元整體，以一條主線將細(xì)碎的內(nèi)容貫穿起來，使學(xué)生對(duì)“點(diǎn)”的學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)化成對(duì)“線”的把握，學(xué)生便可把書由“厚”讀“薄”。

大單元教學(xué)作為課程單位，要與大概念教學(xué)融合在一起。筆者認(rèn)為大概念教學(xué)中的“大”的內(nèi)涵是統(tǒng)一的思想，把零散的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法放置于更高層次，使之有共性。又如：分離常數(shù)法、消元法、三角函數(shù)中的輔助角公式、平面向量基本定理、空間向量基本定理、等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量法等。這些方法都是為了集中變量的位置或減少變量的個(gè)數(shù)以便于我們研究。它們的數(shù)學(xué)思想是集中變量，集中變量是這些內(nèi)容的“靈魂”。我們可將看似毫不相關(guān)的問題歸類為一類問題。例如（2022年新高考Ⅰ卷改編題）在中，=，求的最小值。中含有三個(gè)變量，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，利用B與C的關(guān)系式，用B表示C。又因?yàn)锳==，所以==，由此構(gòu)造出了自變量為B的函數(shù)，接下來問題就能得以解決。該題的主題思路是減少變量，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)來求最值。又如（2022年北京）在中，AC=3，BC=4，C=90°。P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1，求·的取值范圍。由題意可知，點(diǎn)P在以C為圓心，半徑為1的圓上。取線段AB中點(diǎn)，設(shè)為M，由極化恒等式可得· ==，則是圓外一點(diǎn)M到圓上點(diǎn)的距離，變量得到了集中。至此·轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，便可由圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最大、最小值得出向量數(shù)量積的取值范圍。

以上是筆者選了兩道題作為例子闡述不同數(shù)學(xué)問題背后的本質(zhì)原理是一樣的。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師還可鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)踐找出更多的例子符合一樣的核心思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸類總結(jié)。當(dāng)學(xué)生積累了一定的經(jīng)驗(yàn)后，面對(duì)數(shù)學(xué)問題自然能找到切入口與轉(zhuǎn)化方向。將具有深層次、普適性、持久性的大觀念教學(xué)理念運(yùn)用到數(shù)學(xué)中，讓學(xué)生在變化中體會(huì)不變性，也能有效避免學(xué)生機(jī)械刷題這一現(xiàn)象，起到化繁為簡的作用。

運(yùn)用大單元、大概念教學(xué)，促使學(xué)生遷移所學(xué)內(nèi)容，有利于學(xué)生進(jìn)行跨學(xué)科融合學(xué)習(xí)，提升學(xué)生思維深度。有利于教師從宏觀上把握數(shù)學(xué)教學(xué)，讓核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂落地。這是落實(shí)國家“雙減”政策，響應(yīng)新課改的有效教學(xué)方式之一。