換底公式的應用

魏燕

【摘要】換底公式是對數運算問題中比較常用的一個重要公式，借助同底化處理，方便直接利用對數的基本運算性質，在代數式的化簡與求值、證明性、應用性與創新性等問題中都有很大的用處.本文結合實例進行合理剖析，巧妙轉化，正確化簡，綜合應用，引領并指導數學教學與解題研究．

【關鍵詞】對數；換底公式；解題技巧

對數運算中的換底公式logab=logcblogca（a > 0，且a≠1；b > 0；c > 0，且c≠1），是對數中一個非常重要的運算公式，其目的是完成不同底數的對數式之間的變形與轉化，然后再運用對數的運算性質等對同底數的對數進行合理變形與運算．在實際應用換底公式時，可正向應用、逆向應用、變形應用或綜合應用等，使用的關鍵是恰當選擇底數，進而利用對數的運算性質進行對數式的化簡、轉化與計算等．

1? 代數式化簡問題

例1? 化簡：（log23+log53）·（log35+log95）·lg2．

分析? 根據題意，由于要化簡的代數式中各對數式的底數不相同，選取同底利用換底公式進行轉化，進而結合關系式的變形與對數的運算性質加以應用，進而實現代數式的化簡目的．

解析? 利用換底公式，可得

log23+log53·log35+log95·lg2

=lg3lg2+lg3lg5·lg5lg3+lg52lg3·lg2=

lg3（lg2+lg5）lg2lg5·3lg52lg3·lg2

=32（lg2+lg5）=32lg10=32，

故填答案：32．

點評? 對于不同底對數式的代數式化簡問題，底數的統一化是變形與轉化的基本策略，借助換底公式是實現代數式化簡的基本手段．利用換底公式時，經常利用題中已有的底數，或常用對數、自然對數等的底數來進行同底化處理．

2? 關系式求值問題

例2? 已知a，b，c為正實數，實數x，y，z滿足ax=by=cz，且1x+1y+1z=0，則abc的值為．

分析? 根據題意，結合聯等式引入參數，通過指數式與對數式的互化，并利用換底公式進行同底化處理，代入對應方程并結合對數的運算性質加以變形與轉化，進而得以確定相應代數式的值．

解析? 由于a，b，c為正實數，實數x，y，z滿足ax=by=cz，

設ax=by=cz= k ＞0，

由指數與對數的互換，并結合換底公式進行化簡，

由ax=k，可得x=logak=lgklga；

由by=k，可得y=logbk=lgklgb；

由cz=k，可得z=logck=lgklgc，

而由于1x+1y+1z=0，

則有lgalgk+lgblgk+lgclgk=0，

即lga+lgb+lgclgk=lg（abc）lgk=0，

所以lgabc=0，

解得abc=1，

故填答案：1．

點評? 利用換底公式進行同底化的目的就是方便關系式的變形，為進一步的數學運算提供條件，而對數的基本運算性質的應用才是對應運算與求值等的靈魂．借助換底公式的同底化變形與應用，經常為代數式的化簡、關系式的求值等指明方向．

3? 證明性問題

例3? 設實數x，y，z＞0，且滿足3x=4y=6z．

（1）求證：1z－1x=12y；

（2）比較3x，4y，6z的大小關系．

分析? （1）根據題意，結合題設中的聯等式引入參數，借助指數式與對數式的互化，并利用換底公式進行同底化處理，結合所證的關系式由復雜一邊向簡單一邊變形與轉化，得以合理證明；（2）在指數與對數的互換的基礎上，結合換底公式，改變不同代數式所對應的對數式的底數（真題相同），結合底數的大小關系，利用對數的性質加以大小關系的比較．

解析? （1）設3x=4y=6z=t，

由于x＞0，y＞0，z＞0，

可得t ＞1，即lgt＞0，

由指數與對數的互換，并結合換底公式進行化簡，

可得x=log3t=lgtlg3，

y=log4t=lgtlg4，

z=log6t=lgtlg6，

所以1z－1x=lg6lgt－lg3lgt=lg6－lg3lgt=lg2lgt=12×lg4lgt=12y，

故原等式成立；

（2）由（1）得x=log3t，

y=log4t，

z=log6t，

結合換底公式，

可得3x=log33t，

4y=log2t，

6z=log66t，

而33=1281，2=1264，66=1236，

所以3x＜4y＜6z．

點評? 在證明一些涉及對數運算的關系式、不等式等問題中，借助換底公式，可以解決不同對數關系式中的相同底數、相同真數等問題，結合關系的鏈接與應用，綜合對數運算、對數性質等相關的知識來綜合與應用．

4? 創新性問題

例4? 已知函數f（n）=log（n+1）（n+2）（n∈N*），定義使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）為整數的數k（k∈N*）叫做“企盼數”，若k∈1，2023，則這樣的“企盼數”共有個．

分析? 根據題意，合理構建函數g（k），結合換底公式對f（k）進行同底化變形，進而利用相消法化簡g（k），結合整數的性質以及參數的取值限制，結合指數冪的運算與大小關系的判斷來分析與確定對應的“企盼數”即可．

解析? 令函數g（k）=f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），

結合換底公式，可知

f（k）=log（k+1）（k+2）=lg（k+2）lg（k+1），

所以g（k）=lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×…×lg（k+2）lg（k+1）

=lg（k+2）lg2

=log2（k+2），

要使g（k）為整數，則需k+2=2n，n∈N*，

由于k∈1，2023，

即（k+2）∈3，2025，

即2n∈3，2025，

而22=4，23=8，…，210=1024，

211=2048＞2025，

所以可取n = 2，3，…，10，即這樣的“企盼數”共有9個，

故答案填：9．

點評? 在解決有一定規律的對數式問題中，合理巧妙利用換底公式對相應的對數關系式進行合理的恒等變形，巧妙轉化，是解決此類函數關系式問題的一個常見思維技巧．換底公式的應用，對復雜有規律的對數關系式的化簡有奇效，也是解答與本題相類似的問題的一個關鍵與技巧．

5? 結語

對數運算中的換底公式，借助同底對數式的統一變形，實現不同底對數式之間的關系，合理串聯起對數的相關概念、基本性質以及運算法則等，在基本運算、基本應用等方面都有很好的用處，實現對數式的化簡等化歸與轉化，進而全面提升數學品質，提高數學能力，培養數學核心素養．