巧借抽象函數結構，妙構特殊函數模型

周利平

【摘要】涉及抽象函數的求值或判斷問題，是近年新高考數學試卷中的一個熱點與難點．筆者結合實例，就一些具有一定結構特征的抽象函數類型，進行特殊化處理，構建特殊函數模型來分析，歸納總結構建函數類型與技巧，引領并指導數學教學與復習備考．

【關鍵詞】抽象函數；結構特征；特殊函數；指數

在解決一些涉及抽象函數的小題（選擇題或填空題）時，巧妙借助抽象函數的結構特征，合理構建與之相吻合的特殊函數模型，結合題設中的相關條件配湊相吻合的系數或參數，進而利用特殊化思維來尋找解題的切入點，正確分析與判斷．

1? 正比例函數模型

例1? （多選題）已知函數f（x）的定義域為R，其滿足關系式f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立，且當x<0時，恒有不等式f（x）>0成立，則下列四個說法中正確的是（? ）

（A）f（0）=0.

（B）f（x）為奇函數.

（C）f（x）在區間（m，n）上有最大值f（n）.

（D）f（x－1）+f（x2－1）>0的解集為{x|－2

解析? 根據題中滿足關系式f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立的條件，結合其對應的結構特征，選取特殊函數f（x）=－x，使其吻合恒成立的關系式，由特殊函數的解析式可知f（0）=0，且f（x）為奇函數，故選項（A）和（B）正確；

可得f（x）在區間（m，n）上有最大值f（m），

故選項（C）錯誤；

由f（x－1）+f（x2－1）>0可得f（x－1）>－f（x2－1）=f（1－x2），則有x－1<1－x2，

即x2+x－2<0，解得－2

故選項（D）正確；

故選答案：（A）（B）（D）．

點評? 借助正比例函數模型來特殊化解決此類問題時，其中正比例函數模型f（x）=kx（k≠0）中的正負系數決定函數的正負取值情況以及函數的單調性，根據具體場景加以合理正確選取．

2? 指數函數模型

例2? （2023屆高考強基聯盟10月模擬數學試卷）（多選題）已知函數y=f（x）的定義域為R，且對任意x，y∈R，有f（x）f（y）=f（x+y－1），且當x>1時，f（x）>1，則（? ）

（A）f（1）=1.

（B）f（x）的圖象關于點（1，f（1））中心對稱.

（C）f（x）在R上不單調.

（D）當x<1時，0

解析? 根據題中滿足關系式f（x）f（y）=f（x+y－1）恒成立的條件，結合其對應的結構特征，選取特殊函數f（x）=ex－1，該函數f（x）滿足題設條件，則知f（1）=1，f（x）在R上是單調遞增函數，選項（A）正確，選項（B）（C）錯誤；

而當x<1時，可得0

點評? 指數函數模型的基本特征是其吻合指數冪運算法則f（x）f（y）=f（x+y），而具體的系數配湊往往要結合具體的問題場景加以合理構建，特別是涉及指數函數模型中的指數以及系數等，可以依托現實場景來進行適當的加減配湊，從而確定相應的常數，實現指數函數模型中特殊函數的構建．

3? 對數函數模型

例3? （多選題）已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x），當x>1時，不等式f（x）<0恒成立，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），又有f（2）=－1，則下列四個說法中正確的是（? ）

（A）f（1）=0.

（B）函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減.

（C）f12023+f12022+…+f13+f12+f（2）+f（3）+…+f（2022）+f（2023）=2023.

（D）對應不等式f（1x）－f（x－3）≥2的解集為［4，+∞）.

解析? 根據題中滿足關系式f（xy）=f（x）+f（y）恒成立的條件，結合其對應的結構特征，選取特殊函數f（x）=log0.5x，使其吻合恒成立的關系式，由特殊函數的解析式可知f（1）=0，且f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，故選項（A）（B）正確；

而f1x+f（x）=log0.51x+log0.5x=log0.51=0，則有

f12023+f12022+……+f13+f12+f（2）+f（3）+…+f（2022）+f（2023）=0，故選項（C）錯誤；

由對應不等式f（1x）－f（x－3）≥2，變形可得log0.51x－log0.5（x－3）≥2，整理有log0.51x（x－3）≥2=log0.514，

解得1x（x－3）>01x（x－3）≤14，即x≥4，則對應不等式的解集為［4，+∞），故選項（D）正確；

故選答案：（A）（B）（D）．

點評? 對數函數模型的基本特征是其吻合對數運算法則f（xy）=f（x）+f（y），而具體的系數配湊往往要結合具體的問題場景加以合理構建，也是解決此類問題時要特別注意的一個基本點．

4? 結語

借助特殊函數模型的構建來解決一些涉及抽象函數的小題（選擇題或填空題），關鍵是充分利用題設條件中對應抽象函數的結構特征以及與之對應的函數基本性質，合理聯想并配湊與之相關的特殊函數模型，使之吻合題設條件，進而利用特殊思維來分析與解決，優化解題過程，提升解題效益．