橢圓與雙曲線共焦點的離心率問題解決策略

陳雪冰

【摘要】圓錐曲線知識是高考數學考查的重點內容，而橢圓和雙曲線的共焦點的離心率問題是常見的一類題型，重點考查學生的轉化、分析、數形結合及數學運算求解能力.一般是根據條件得到關于a，b，c的齊次式，然后通過a，b，c的平方關系，消元，化為a，c之間的關系式，從而求得離心率.而將兩條曲線結合起來的橋梁是焦點.

【關鍵詞】橢圓；雙曲線；焦點；離心率

圓錐曲線問題在高考試題中一直是比較重要的一部分，近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之間的最值與范圍問題.兩種曲線結合在一起考查多見于選擇題和填空題，能力要求較高.為此，將橢圓與雙曲線的共焦點求離心率問題做了梳理，旨在幫助學生提高轉化能力和分析與解決問題的能力等.

1? 橢圓與雙曲線基礎知識靈活再現

1.1? 橢圓的基礎知識

焦點在x軸的橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），焦點坐標為（－c，0），（c，0），c2=a2－b2， 離心率e=ca（0

1.2? 雙曲線的基礎知識

焦點在x軸的雙曲線方程為x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），焦點坐標為（－c，0），（c，0） ，c2=a2+b2， 離心率e=ca（e>1），焦點三角形面積為S=b2tanθ2.

2? 重點題型匯總

2.1? 共焦點齊次式求離心率關系式

例1? 已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左、右焦點，分別為F1，F2，橢圓C1的離心率為e1，雙曲線C2的離心率為e2，且兩曲線在第一象限的公共點為P，滿足PF1：F1F2：PF2=4：3：2 ，則e2+e1e2－e1 的值為（? ）

分析? 方法1直接利用離心率公式即可求得.計算e1=ca1=2c2a1=F1F2PF1+PF2=12，同上可求e2=32，故原式的值為2.

方法2? 根據離心率公式，計算可得：e1e2=a2a1，設e1=a2k，e2=a1k，所以e2+e1e2－e1=a1+a2a1－a2=2a1+2a22a1－2a2，根據橢圓和雙曲線的定義可得：PF1+PF2=2a1，PF1－PF2=2a2，代入上式計算得2.

小結? 本題考查學生的抽象思維、邏輯思維和計算能力，借助焦點△PF1F2的三邊關系可求.設PF1=m，PF2=n，m>n，根據橢圓和雙曲線的定義可得：m+n=2a1，m－n=2a2，即為：PF1+PF2=2a1，PF1－PF2=2a2，同時還可解得：m=PF1=a1+a2，n=PF2=a1－a2.

2.2? 共焦點已知頂角求離心率關系式

例2? 設e1，e2分別為具有公共焦點F1和F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足PF1·PF2=0，則1e12+1e22的值為（? ）

分析? 方法1 由已知得：△PF1F2為直角三角形， 根據焦點三角形的三邊長度轉化為（a1+a2）2+（a1－a2）2=4c2，所以a12+a22=2c2，所以 a12c2+a22c2=1e12+1e22=2.

方法2? 根據橢圓焦點三角形面積公式和雙曲線焦點三角形面積公式，結合題意可得：S1=S2，tanθ2=1.可推得b12=b22，可得a12－c2=c2－a22，求解為2.

小結? 本題主要考查的是數形結合的數學思想，通過幾何圖形建立邊長關系，轉化為運用離心率公式進行計算.

例3? F1，F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1 ，C2 在第二、四象限的交點，若∠AF1B=2π3 ，則C1與C2的離心率之積的最小值為（? ）

分析? 連接AF1，AF2，構成△AF1F2，∠F1AF2=π3，解三角形得：a12+3a22=4c2，所以1e12+3e22=4≥23e12e22=23e1e2，所以e1e2≥32，故C1與C2的離心率之積的最小值為32.

小結? 計算離心率關系式的最值問題，考查到解三角形的余弦定理和均值不等式、重要不等式等內容，增加了一定難度.

2.3? 共焦點無頂角求離心率

例4? 已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）與雙曲線C2：x2m2－y2n2=1（m>0，n>0）有共同的左、右焦點 F1，F2，且在第一象限的交點為P，滿足 2OF2·OP=OF22 （其中O為坐標原點），設C1，C2的離心率分別為e1， e2 ，當4e1+e2取得最小值時，e1的值為（? ）

解? 過點P作PM⊥OF2于M，因為2OF2·OP=OF22，由數量積公式可得M為OF2的中點，故OP=PF2，設PF2=x，則PF1=2a－x，F1M=32c，OM=12c，所以PF12－F1M2=OP2－OM2，化簡可得：4a2－4ax=2c2，因為x=a－m，所以ca×cm=2，故e1e2=2，因為4e1+e2=4e1+2e1≥42（當且僅當4e1=2e1，4e1+e2取得最小值），即e1=22.

小結? 本題通過圖形建立邊之間的關系，利用方程思想，轉化到離心率的關系式.

2.4? 共焦點求圖形面積

例5? 若橢圓x2m+y22=1（m>2）與雙曲線x2n－y22=1（n>0）有相同的焦點F1，F2，P是橢圓與雙曲線的一個交點，求△F1PF2的面積.

解? 由題意知m－2=c2，n+2=c2，即m－n=4，PF1+PF2=2m，

PF1－PF2=2n，所以PF1=m+n，PF2=m－n，所以PF1·PF2=4，在△F1PF2中，

cos∠F1PF2=PF12+PF22－F1F222PF1PF2=0，得∠F1PF2=π2，可求得△F1PF2的面積為2.

小結? 本題通過橢圓、雙曲線的基本關系式，在焦點三角形中，利用余弦定理求角，確定圖形的特殊性從而求得圖形面積.

3? 結語

總之，橢圓與雙曲線的密切結合點就在共焦點問題上.面對橢圓與雙曲線共焦點問題時，多找共同點，多分析，多總結，多采用均值不等式、三角換元、消元等方法來解決.