立足圓錐曲線定義巧用幾何運算解析探索

王秀利

【摘要】本文基于圓錐曲線的定義，通過巧妙的幾何運算解析方法，對其進行深入的探索.首先，介紹圓錐曲線的定義和相關性質，然后通過對比分析，闡述解析探索的重要性.接著，運用幾何運算，如相似三角形、中位線定理等，對圓錐曲線進行深入的解析.最后，通過具體的實例，展示這種方法的有效性和實用性.立足圓錐曲線定義巧用幾何運算解析探索不僅可以深入理解圓錐曲線的性質，而且可以提供有效的解題方法，對解決相關的幾何問題具有重要的理論和實踐意義.

【關鍵詞】圓錐曲線；幾何運算；解題技巧

1? 引言

在數學領域，圓錐曲線是二次曲線的一種，具有極高的研究價值.例如，在天文、物理、工程等領域中，可以使用圓錐曲線來描述行星的運動軌跡、機械振動的規律等.此外，圓錐曲線還在密碼學、計算機圖形學等領域中有所應用.從古至今，眾多數學家對圓錐曲線進行了深入的研究和探索.研究圓錐曲線的方法主要包括幾何計算、代數、物理實驗、數值模擬和計算機代數等方法.其中基于圓錐曲線定義巧用幾何計算的解析探究是一個既有理論價值又有實踐意義的研究領域.圓錐曲線問題的求解，若能回到幾何的本質，不僅能減少計算，也有利于滲透數形結合的思想，給解題帶來方便，使問題獲得巧解、妙解，通過幾何計算，可以精確地確定曲線的形狀和性質，從而更好地理解圓錐曲線的定義.

2? 例題探究

圓錐曲線的統一定義：圓錐曲線，也稱為二次曲線，是指平面上與一個固定點（焦點）的距離與到一條固定直線（準線）的距離之比為常數（小于1）的點的軌跡，如圖1.這個常數被稱為離心率，而焦點和準線之間的距離被稱為焦距.根據離心率和焦距的不同，圓錐曲線可以劃分為橢圓、雙曲線和拋物線三種類型.下面我們首先將以橢圓為例來探究如何運用幾何運算解析圓錐曲線的定義.

圖1

當離心率e小于1時，焦點和準線之間的距離小于焦點到平面上任意一點的距離，此時形成的軌跡為橢圓.通過解析法，我們可以將幾何問題轉化為代數問題，來探究橢圓的定義.

例1? 動點Mx，y到定點F－4，0的距離與M到定直線l：x=－254的距離的比等于45，求動點M的軌跡方程.

解析? 根據題意可得x+42+y2x+254=45，

平方化簡可得9x2+25y2=25×9，

x225+y29=1.

這道例題中我們將幾何問題：平面上與一個固定點（焦點）的距離與到一條固定直線（準線）的距離之比為常數（小于1）的點的軌跡解析成坐標系中的代數問題，利用幾何運算兩點間距離公式、點到直線的距離公式求解，成功地探討到除教材定義之外的橢圓的方程.

例2? 已知圓M與圓O：x2+y2=1內切，且圓M與直線x=2相切，求圓M的圓心的軌跡方程．

解析? 設M（x，y），點M到直線x=2的距離為d，

如圖2，點M只能在直線x=2的左側，則d=2－x.

因為圓O：x2+y2=1的圓心為O0，0，半徑為1，

所以依題意可得|MO|+1=d，

圖2

即x2+y2=（2－x）－1，

化簡可得y2=1－2x，

故圓M的圓心的軌跡方程為y2=1－2x．

本例題將圓和圓相切、圓和直線相切的幾何性質，解析為點到點的距離、點到直線的距離公式，將幾何問題轉化為代數問題，從而更容易地揭示曲線的性質，進而巧妙地利用幾何運算求出軌跡方程，幫助我們更好地理解曲線的性質，并為我們提供了豐富的解題工具.

例3? 已知P為雙曲線x2a2－y2b2=1右支上的一個動點（不經過頂點），F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，△PF1F2的內切圓圓心為I，過F2作F2A⊥PI，垂足為A，下列結論錯誤的是（? ）

圖3

（A）I的橫坐標為a.

（B）S△PIF1－S△PIF2S△IF1F2=ac.

（C）OA=a.

（D）S△PF1F2S△IF1F2=a+cc.

解析? 設△PF1F2的內切圓在PF1，PF2，F1F2上的切點分別為D，C，B，如圖3.

設切點B的坐標Bm，0，

因為|PF1|－|PF2|=|BF1|－|BF2|=2m=2a，

所以m=a，

因為IB⊥F1F2，I的橫坐標為a，所以（A）正確；

因為S△PIF1－S△PIF2S△IF1F2=12rPF1－PF212rF1F2=ac，所以（B）正確；

延長F2A交PF1于E點，因為PA為∠F1PF2的角平分線，且PA⊥AF2，故PF2=PE．

所以PF1－PF2=EF1=2OA=2a，

所以OA=a，所以（C）正確．

S△PF1F2S△IF1F2=PF1+PF2+F1F2F1F2

≠a+cc，（D）錯．

故選：（D）．

本例題中（A）（C）選項利用雙曲線的定義，線線垂直，解析轉化為所求的線段長度，坐標值.（B）選項利用三角形內切圓的圓心到各邊的距離相等、雙曲線的定義巧妙地將三角形的面積之比轉化為雙曲線的長半軸和焦距的一半的距離之比.（D）選項利用三角形面積的割補法，轉化為其他三角形的面積之比，再利用雙曲線定義，進而轉化為線段長度之比，展示了幾何運算在解析探索中的有效性和實用性.

通過這些實例的分析，我們可以清晰地看到幾何運算在解決各種問題時的強大能力.這種方法不僅可以幫助我們快速解決問題，提高我們的解題效率和質量，而且還可以幫助我們更好地理解和掌握數學知識.因此，我們應該充分認識到幾何運算的重要性，積極運用它來解決各種問題.

3? 結語

本文通過立足圓錐曲線定義巧用幾何運算解析探索的方法，深入研究了圓錐曲線的性質和解題方法.通過對比分析，我們闡述了解析探索的重要性，并展示了幾何運算在解析探索中的有效性和實用性.這種方法不僅可以幫助我們更好地理解圓錐曲線的性質，而且可以提供有效的解題方法，對解決相關的幾何問題具有重要的理論和實踐意義.

參考文獻：

［1］湯銳.一道圓錐曲線定點定值問題的探究與拓展［J］.新世紀智能，2023（Z9）：35-37.

［2］林秋林.再談圓錐曲線焦點弦長的統一公式［J］.中學數學研究，2023（09）：26-29.

［3］吳悅彤.利用同構法探究圓錐曲線雙切線問題［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2023（21）：47-50.