MIMO雷達分組正交波形集優化設計方法

孫進平,劉天趣*,喬亞瓊,胡衛東

(1. 北京航空航天大學 電子信息工程學院, 北京 100191) (2. 國防科技大學 電子科學學院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

多輸入多輸出(MIMO)雷達基于波形分集和多天線技術可提升其角度分辨率、抗干擾和緩解衰落等方面的能力[1-2]。MIMO雷達一般通過匹配濾波分離回波,因此其對正交波形集的要求是不同發射波形兩兩之間的互相關函數峰值盡可能低。同時,為實現良好的目標檢測性能,每個波形的自相關函數旁瓣峰值也是越低越好。針對MIMO雷達相位編碼波形集設計,Multi-CAN[3]利用循環迭代算法實現了正交波形集相關函數積分旁瓣的最小化,在其基礎上,MM-Corr[4],p-MM[5]等性能更好的正交波形集設計算法也被提出。此外,文獻[6]基于原始對偶(Primal-Dual)算法實現了目前最優的相關函數峰值旁瓣性能。遺傳算法[7]等智能優化方法也是可行的方法,但其速度較慢。

隨著數字射頻存儲(DRFM)技術的問世[8],更先進的雷達干擾技術得到了迅速發展和廣泛應用,對MIMO雷達也形成了很大的威脅。相較于傳統干擾機,基于DRFM的干擾機具有更強的截獲波形和存儲波形的能力。在此情況下,雖然MIMO雷達使用的波形比傳統雷達復雜,其也容易被新型DRFM干擾機截獲和干擾,其任務能力會受到嚴重影響。

波形捷變技術是對抗DRFM欺騙干擾的一種有效的方法[8]。對MIMO雷達而言,除了要求每個脈沖內發射正交波形集,相鄰脈沖之間的波形集也應該相互正交。雖然現有的正交波形設計算法可以將MIMO雷達所需數量的波形同時設計出來,但其無法精細控制組內和組間的相關函數性能。

本文建立了一種分組正交波形集優化設計模型。為最大化利用系統能量和波形自由度、靈活平衡組內和組間的正交性,所提模型引入了權重系數構建了加權和形式的目標函數。目標函數分為兩部分：一是盡可能降低每組正交波形集內部的相關函數旁瓣峰值;二是盡可能降低每組波形集合之間的互相關函數峰值。為了快速求解所提優化模型,本文提出了一種基于MM算法[9]的分組正交波形集設計方法。所提方法首先基于p-范數近似相關函數峰值,然后利用MM算法框架將原優化問題轉化為了一系列簡單的子優化問題的求解,最后基于快速傅里葉變換推導出了可快速求解的迭代表達式。仿真實驗結果表明,所提方法可通過調節權重參數來靈活平衡MIMO雷達的探測性能和抗干擾性能。

1 分組正交波形集優化模型

分組正交波形集優化的對象是多組波形集,設所需波形為G組,每組波形集內有M個波形。由于總的波形數較大,本文利用高自由度的恒模相位編碼波形來實現組內和組間的波形正交性。由于碼片寬度、脈沖寬度和載頻等雷達系統參數對匹配濾波后的相關函數值影響不大,分組正交波形集可被建模為碼長為N的恒模相位編碼序列,即

xi[n]=ejφi,n,i=1,2,…,GM,n=1,2,…,N

(1)

(2)

為評估分組正交波形集的相關函數性能,本文將相關函數分為組內和組間兩部分來考慮,對組內M個波形的相關函數,可采用峰值旁瓣電平(PSL)評估,第g組的PSLg定義為

(3)

Kg={i,j,k|i,j∈[M(g-1)+1,Mg],i≠jork≠0}

(4)

式中：Kg表示第g組內部波形之間的相關函數索引的集合,注意Kg不包含大小恒等于N的自相關函數峰值的索引。不同組之間只存在互相關函數,無需考慮自相關函數。定義如下的組間峰值互相關電平(PCL)來評估組間的互相關函數峰值

(5)

(6)

式中：G為所有組間互相關函數索引的集合。

(7)

其中目標函數的表達式包含卷積運算和取最大值運算,而且優化變量具有非凸的恒模約束,所以優化模型式(7)是一個復雜的多目標極小化極大值問題,其求解難度較高。因此,本文首先用p-范數近似max(·)函數,將p設置為較大值,用p-ISLg和p-ICL來近似原來的PSLg和PSL,接著引入權重系數w將原目標函數轉化為單目標函數,最后將原優化問題轉化為以下更易求解的單目標優化問題

(8)

式中：p-ISLg(g=1,2,…,G)和p-ICL定義為

(9)

(10)

(11)

根據式(11)可知,原優化問題可以轉化為

(12)

通過加權和p-范數近似,原分組正交波形集優化模型被轉化為式(12)所示的一個多項式優化問題。

2 基于MM算法的分組正交波形集設計

本文采用MM算法框架來快速求解優化問題式(12),其核心思路是構造原目標函數的一個“代理函數”,從而將復雜目標函數最小化問題轉化為迭代求解一系列簡單代理函數極小值的過程。MM算法原理如圖1所示,其中g(x)表示目標函數曲線,f(x,x(l))表示第l次迭代時的代理函數,其極小值對應的自變量為x(l+1),則顯然g(x(l+1))

圖1 MM算法原理示意

(13)

(14)

(15)

其中

(16)

式(15)中的4次目標函數的極小值仍然難以求解,所以下文將利用矩陣不等式關系進一步構造出一個簡單易于求解的代理函數。首先,定義向量

(17)

(18)

(19)

式中：vec{·}表示矩陣按列向量化;矩陣S為

(20)

(21)

式中：°表示矩陣的哈達瑪積;矩陣T定義為

(22)

(23)

因此,優化問題式(15)可轉化為

(24)

根據文獻[10]可知λmax(T°(v(l)v(l)H))=λmax(T),利用λmax(R-T°(v(l)v(l)H))≤‖R‖∞+‖T‖∞,并基于文獻[10]中的引理1可將式(24)進一步簡化為

(25)

根據優化模型式(25)不難得出原優化問題的迭代求解表達式為v(l+1)=ejarg(-z)。根據R的表達式可知

(26)

根據文獻[11],Toeplitz矩陣Rij可以分解為

(27)

進而可得到矩陣乘積Rv(l)的快速計算方法如下

(28)

式中：2N×N的矩陣F的元素為Fm,n=e-jπ(m-1)(n-1)/N;Diag(x)為對角線為向量x的對角矩陣;FFT為快速傅里葉變換。式(28)可利用快速傅里葉變換高效計算。不難發現式(25)中的(T°(v(l)v(l)H))v(l)可化簡為(T1GMN×1)v(l),其中1表示元素全為1的向量或矩陣。根據式(22)可知矩陣T與R的結構幾乎相同,同理可基于快速計算Rv(l)的方法來快速計算(T1GMN×1)v(l)。最后,可以使用SQUAREM算法[12]來加速該算法。本文所提MIMO雷達分組正交波形集設計算法的步驟可總結如下：

(1) 根據式(25)迭代求解一次得到v(l+1)=ejarg(-z);

(2) 再次迭代得到v(l+2);

(3) 計算r=v(l+1)-v(l),u=(v(l+2)-v(l+1))-r;

(4) 計算步長α=-‖r‖/‖u‖,并根據反向搜索策略更新步長;

(5) 將v(l)-2αr+α2r代入式(25)迭代更新波形;

(6) 判斷是否收斂,否則重復步驟(1)～步驟(5)。

3 仿真實驗

為了測試本文所提分組正交波形集優化設計方法的效果,固定波形參數M=3,G=2,N=256不變,仿真不同權重系數w的取值情況下所得PSL1、PSL2、PCL指標值的大小,結果如圖2所示。可以看出,權重系數w的值越小,組內PSL值越低,組間PCL值越高。

圖2 M=3, G=2, N=256時權重w對PSL和PCL的影響

圖3和圖4的結果表明,碼長越長,所得波形集的PCL和PSL指標值就越低,總的波形數GM越多,得到的PCL值就越高,組內PSL指標值的大小主要取決于M的大小。圖4a)中PSLmax和PSLmin分別代表G組波形中PSLg的最大值和最小值。

圖3 M=3, G=2時波形碼長N對結果的影響

假設發射波形集在上個脈沖被截獲,仿真當前脈沖MIMO雷達處理輸出的距離-角度圖像,仿真結果如圖5所示。圖5中距離單元采樣間隔為100 m,第一個單元對應的距離為50 km。雷達位于坐標原點,發射陣元數量為3,按半波長間距線陣分布,接收陣元數量為16。仿真設置真實目標角度、所在距離單元和回波信噪比分別為(-15°, 400, 3 dB)、(0°, 400, 3 dB)、(20°, 400, 3 dB)和(20°, 50, 5 dB)。DRFM的欺騙干擾產生假目標所在角度、距離單元和干擾信號干噪比分別為(-15°, 50, 5 dB)和(0°, 50, 5 dB)。

圖5 不同波形集在DRFM干擾下的距離-角度圖像

圖6繪制了Primal-Dual、p-MM以及本文所提方法設計的不同波形集的組內相關函數和組間互相關函數峰值,Random Set表示隨機數生成的波形。結果表明,當w=0.1時,相較于其他波形,所提方法得到的組內自相關和互相關峰值是最低的,而只損失了少量組間互相關函數性能。當w=0.9時,其可實現更低的組間互相關峰值。總之,所提分組正交波形集設計算法可調整權重系數來靈活平衡干擾抑制和距離壓縮性能,其在未來的波形博弈和雷達對抗領域有潛在的應用價值[13]。

圖6 M=3, G=2, N=128時分組正交波形集的相關函數曲線

4 結束語

為了靈活滿足MIMO雷達抗干擾的需求,本文首先建立了一種分組正交波形集優化設計模型。所提模型引入了權重系數來平衡組內、組間正交性能。然后,提出了一種基于MM算法框架的分組正交波形集分組優化設計方法。最后,仿真結果表明,所設計的波形可實現MIMO雷達抗干擾性能和距離旁瓣的平衡。