利用“兩點之間線段最短”解決最值問題

陳禮弦

(貴州省貴安新區普貢中學,貴州 貴安新區 561113)

與線段之和或差有關的幾何最值問題是中考熱點,通常以中考壓軸題的形式出現,具有一定的選拔性功能,對學生而言具有一定的難度.這類問題是教學的難點,是核心素養的重點考查對象[1].在初中數學教學中,教師該如何引導學生利用“兩點之間線段最短”解決最值問題呢?根據筆者多年的教學經驗,只要弄清三個數學模型,學生在解決這類問題時便會收到事半功倍之效.

1 模型1 “一線兩點”型

1.1 利用“兩點之間線段最短”求線段和的最小值

1.1.1點在直線兩側時,線段和的最小值問題

例1 如圖1,兩定點C、D位于直線a兩側,在直線a上找一點M,使得MC+MD的值最小.

圖1 點在線段兩側示意圖

解析如圖2,連接CD交直線a于點M,點M就是所找的點.理由是“兩點之間線段最短”.

1.1.2點在直線同側時,線段和的最小值問題

例2 如圖3,兩定點C、D位于直線a的同側,在直線a上找一點M,使得MC+MD的值最小.

圖3 點在直線同側示意圖

解析如圖4,作點D關于直線a的對稱點D′,連接CD′與直線a交于點M,點M就是所找的點.顯然,將直線a同側兩個定點轉化為兩側兩個定點,便可以利用點在直線兩側時線段和的最小值問題的處理方法解決最值問題.

1.1.3模型應用

例3 如圖5,已知△DEF中,DE=DE,GH是DE的垂直平分線,M是GH上一動點,點N是EF的中點,如果DE=13,△DEF的周長是36,求EM+MN的最小值.

圖5 例3題圖

1.2 利用“兩點之間線段最短”求線段差最大值

1.2.1點在直線同側時,線段差的最大值問題

例4 如圖7,兩定點M,N位于直線b的同側,在直線b上找一點H,使得|HM-HN|的值最大.

圖7 點在直線同側示意圖

解析如圖8,連接MN并延長與直線b交于點H,點H就是所找的點.

1.2.2點在直線兩側時,線段差的最大值問題

例5 如圖9,兩定點B,C位于直線l的兩側,在直線n上找一點M,使得︱MB-MC|的值最大.

圖9 點在直線兩側示意圖

解析如圖10,作點C關于直線n的對稱點C′,連接BC′并延長與直線n交于點M,點M就是所找的點.顯然,將已知直線兩側的兩個定點轉化為同側的兩個定點,便可以用同側線段差最大值的方法解決問題.

1.2.3模型應用

例6 如圖11,在正方形DEFG中,DE=6,點I是對角線EG上靠近點E的三等分點,點H是DG邊上的一點,且GH=2.J為EF上一點,連接JH、JI.

圖11 例6題圖

①在圖中畫JH-JI的最大值時點J的位置(為區分點J,請用字母J’標記);

②求JH-JI的最大值.

解析如圖12,連接HI并延長交BC于點J′,則點J′即為所求作的點.

2 模型2 “一定兩線”型

2.1 利用“兩點之間線段最短”求周長最小值

例7 如圖13,點D是∠BOC的內部一定點,在OB上找一點N,在OC上找一點M,使得△DMN的周長最小.

圖13 例7題圖

解析如圖14,分別作點D關于OB、OC的對稱點D′、D″,連接D′D″,交OB、OC于點N、M,點N、M便是所找的點.

2.2 利用“兩點之間線段最短”求線段和的最小值

例8 如圖15,點M是∠DEF的內部一定點M,在ED上找一點A,在EF上找一點B,使得MB+AB的值最小.

圖15 例8題圖

解析如圖16,作點M關于EF的對稱點M′,過點M′作ED的垂線,分別與ED、EF交于點A、B,點A、B是所找的點.

2.3 模型應用

例9 如圖17,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,DC=6,BC=8,DE是∠BDC的平分線.若M、N分別是DC、DE上的動點,求NC+NM的最小值.

圖17 例9題圖

3 模型3 “一定長,兩定點”型

3.1 異側線段和最小值問題

例10 如圖19,已知直線a∥b,直線a和直線b之間距離為c,在直線a和直線b上分別找點A、B兩點,使AB⊥a,且MA+AB+BN的值最小.

圖19 例10題圖

解析如圖20,將點M向下平移c個單位到M′,連接M′N交直線b于點B,過點B作BA⊥l1于點A,點A、B兩點是所找的點.

3.2 同側線段和的最小值問題

例11 如圖21,在直線a上找A、B兩點(A在B左側),使得AB=k,且MA+AB+BN的值最小.

圖21 例11題圖

解析如圖22,將點M向右平移k個單位到點M′,作點M′關于直線a的對稱點M″,連接M″N交直線a于點B,將點B向左平移k個單位到點A,A、B兩點是所找的點.

4 結束語

在初中數學教學中,教師引導學生經歷并弄清“一線兩點”型、“一定兩線”型、“一定長,兩定點”型最值問題的求解方法,不僅能夠提高學生分析問題和解決問題的能力,而且能夠使教師的教學效果達到“教是為了不教”之目的[2].