二次函數(shù)背景下特殊四邊形的存在性問題探究

黃 芳

(廣西南寧市第十四中學(xué),廣西 南寧 530028)

在初中階段,平行四邊形、矩形、菱形、正方形等都是特殊的四邊形,其與二次函數(shù)相結(jié)合的中考試題屢見不鮮,這類問題具有一定的選拔功能,對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.

1 知識(shí)引入

問題1 已知線段AB平行于y軸,A(-2,2),B(-2,-1),線段AB的長(zhǎng)度是多少?

問題2 如圖1,將線段AB平移到線段A1B1的位置,則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是____.

圖1 線段平移示意圖

學(xué)生運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律進(jìn)行解答,有多種解法.下面展示其中一種解法.

如圖2,連接AA1,BB1,分別過點(diǎn)A作x軸的垂線,過點(diǎn)A1作y軸的垂線相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作y軸的垂線,過點(diǎn)B1作x軸的垂線相交于點(diǎn)F.易得△AA1E≌△B1BF.設(shè)A1的坐標(biāo)是(x,y),則A1E=BF,x-(-2)=3-(-3),求得x=4,同理可得y=4.所以點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(4,4).

圖2 線段平移的解法示意圖

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生回顧平移的有關(guān)性質(zhì),可得AB∥A1B1,AA1∥BB1,且AB=A1B1,AA1=BB1,四邊形ABB1A1是平行四邊形,為后面的問題作鋪墊[1].

2 規(guī)律探究

問題3 如果有一個(gè)任意的平行四邊形ABCD,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),這四個(gè)頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間分別有什么樣的數(shù)量關(guān)系?

追問1 反過來,如果有一個(gè)四邊形ABCD,它的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上面的數(shù)量關(guān)系,這個(gè)四邊形ABCD是平行四邊形嗎?

追問2 通過證明發(fā)現(xiàn)它們是一個(gè)等價(jià)于的關(guān)系.大家再仔細(xì)觀察,上述兩個(gè)方程組有什么共同特征?

追問3 同學(xué)們能用文字語言總結(jié)此結(jié)論嗎?

性質(zhì):平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形兩組相對(duì)頂點(diǎn)的 橫坐標(biāo)之和相等,縱坐標(biāo)之和也相等．

判定:平面直角坐標(biāo)系中,兩組相對(duì)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等,縱坐標(biāo)之和也相等的四邊形是平行四邊形,不妨稱之為“對(duì)點(diǎn)法”.

設(shè)計(jì)意圖:從平移線段開始引導(dǎo)學(xué)生觀察平行四邊形坐標(biāo)間的關(guān)系,借助問題2的探究方法和思路,開展問題3的探究,歸納出一般結(jié)論,滲透化歸,從特殊到一般等思想方法,得到的方程組簡(jiǎn)潔、對(duì)稱性好,為結(jié)論的靈活應(yīng)用創(chuàng)造了良好條件[2].

3 結(jié)論應(yīng)用

3.1 類型1:“三定一動(dòng)”型

例1 如圖3,已知拋物線y=x2-x-2與x軸的交點(diǎn)為A、B,與y軸的交點(diǎn)為C,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)寫出相應(yīng)的坐標(biāo)．

圖3 點(diǎn)的分布示意圖

解析根據(jù)題意求出A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),分三種情況討論.

思路小結(jié):第一步,求出定點(diǎn),根據(jù)條件用含字母的式子表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),即設(shè)點(diǎn);第二步,根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分類,利用對(duì)點(diǎn)法列方程組求解,即求點(diǎn);第三步,畫出幾何圖形,檢驗(yàn)結(jié)果的正確性,即驗(yàn)點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖:通過應(yīng)用“對(duì)點(diǎn)法”,學(xué)生體驗(yàn)到從代數(shù)角度解決幾何問題的優(yōu)點(diǎn),思路清晰,分類明確,不用借助圖形,直接利用頂點(diǎn)間的關(guān)系列出方程組求出結(jié)果.第三步驗(yàn)點(diǎn),讓學(xué)生感受幾何圖形的直觀,整個(gè)過程生動(dòng)體現(xiàn)了華羅庚先生所說的“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微.”

3.2 類型2:“兩定兩動(dòng)”型

例2 (2022年攀枝花中考試題改編)如圖4,二次函數(shù)y=x2-2x的圖象與x軸交于O、A兩點(diǎn),且二次函數(shù)的最小值為-1,點(diǎn)M(1,m)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn),y軸上一點(diǎn)B(0,1)．在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N,使以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由．

圖4 例2題圖

解析根據(jù)條件易得A(2,0),B(0,1),設(shè)M(1,m),N(n,n2-2n).分三種情況討論.當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A相對(duì),點(diǎn)B與點(diǎn)M相對(duì)時(shí),得n+2=0+1,n= -1,n2-2n=3所以N(-1,3);當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B相對(duì),點(diǎn)A與點(diǎn)M相對(duì)時(shí),得n+0=1+2,n=3,n2-2n=3,所以N(3,3);(3) 當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M相對(duì),點(diǎn)A與點(diǎn)B相對(duì)時(shí),得n+1=0+2,n=1,n2-2n=-1,所以N(1,-1).綜上所述,滿足條件的點(diǎn)N有三個(gè),分別為(-1,3),(3,3),(1,-1).

設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步熟練對(duì)點(diǎn)法的應(yīng)用,不用畫出圖形,直接根據(jù)例1的思路小結(jié)分類求解,并且此題求點(diǎn)N的坐標(biāo),只要求出n的值即可.根據(jù)條件不需要列出方程組,只需利用對(duì)點(diǎn)法中相對(duì)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等列出第一個(gè)方程就能得出結(jié)果.

3.3 類型3:“四動(dòng)”型

練習(xí) 平面直角坐標(biāo)中,y= 0.5x2+x- 4與y軸相交于點(diǎn)B(0,-4),點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線y= -x上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖:在應(yīng)用結(jié)論環(huán)節(jié),設(shè)計(jì)了“三定一動(dòng)”和“兩定兩動(dòng)”型問題,常規(guī)方法對(duì)學(xué)生而言是有一定困難的.利用對(duì)點(diǎn)法,直接設(shè)點(diǎn)列方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)更加直接,通過兩個(gè)例題總結(jié)了設(shè)點(diǎn)、求點(diǎn)的解題思路,最后拓展到四個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況仍可用這樣的方法解決.

4 拓展延伸

例3 (2022年隨州中考試題改編)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2-2x+3與x軸分別交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=-1,且OA=OC,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P,M運(yùn)動(dòng)時(shí),在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N,使四邊形PMCN為矩形?若存在,直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．

圖5 例3題圖

解法從略,請(qǐng)讀者自行探究.

設(shè)計(jì)意圖:矩形的存在性問題有一定的難度,此題在對(duì)點(diǎn)法求平行四邊形存在性的基礎(chǔ)上再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形的性質(zhì),利用勾股定理列方程,解出方程組即可.

5 教學(xué)思考

5.1 建構(gòu)知識(shí),理清脈絡(luò)

二次函數(shù)背景下特殊四邊形的存在性問題具有一定的挑戰(zhàn)性,為了突破這一難點(diǎn),我們歸納出“對(duì)點(diǎn)法”的解題策略.平行四邊形的存在性問題中由“一動(dòng)”“兩動(dòng)”到“四動(dòng)”三個(gè)問題層層推進(jìn),讓學(xué)生體會(huì)到方法的一致性和思維的連貫性.從平行四邊形到矩形的例題設(shè)計(jì)注重層次性、階梯性,始終有意識(shí)地挖掘?qū)W生的最近發(fā)展區(qū),讓難度螺旋式遞進(jìn),遵循“高立意,低起點(diǎn),深研究”的設(shè)計(jì)原則,讓不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生都能從中獲得進(jìn)步和發(fā)展.

5.2 思想立意,提升思維

在中考復(fù)習(xí)中,數(shù)學(xué)思想方法的滲透也是教學(xué)的重任,本專題中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化,化歸、從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想對(duì)問題展開研究.比如,借助問題2的探究方法和思路開展問題3的探究,歸納出一般結(jié)論、滲透化歸、從特殊到一般、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想.