二次函數背景下特殊四邊形的存在性問題探究

黃 芳

(廣西南寧市第十四中學,廣西 南寧 530028)

在初中階段,平行四邊形、矩形、菱形、正方形等都是特殊的四邊形,其與二次函數相結合的中考試題屢見不鮮,這類問題具有一定的選拔功能,對學生而言具有一定的難度.

1 知識引入

問題1 已知線段AB平行于y軸,A(-2,2),B(-2,-1),線段AB的長度是多少?

問題2 如圖1,將線段AB平移到線段A1B1的位置,則點A1的坐標是____.

圖1 線段平移示意圖

學生運用平面直角坐標系中點的平移規律進行解答,有多種解法.下面展示其中一種解法.

如圖2,連接AA1,BB1,分別過點A作x軸的垂線,過點A1作y軸的垂線相交于點E,過點B作y軸的垂線,過點B1作x軸的垂線相交于點F.易得△AA1E≌△B1BF.設A1的坐標是(x,y),則A1E=BF,x-(-2)=3-(-3),求得x=4,同理可得y=4.所以點A1的坐標為(4,4).

圖2 線段平移的解法示意圖

設計意圖:學生回顧平移的有關性質,可得AB∥A1B1,AA1∥BB1,且AB=A1B1,AA1=BB1,四邊形ABB1A1是平行四邊形,為后面的問題作鋪墊[1].

2 規律探究

問題3 如果有一個任意的平行四邊形ABCD,頂點坐標分別A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),這四個頂點的橫縱坐標之間分別有什么樣的數量關系?

追問1 反過來,如果有一個四邊形ABCD,它的四個頂點的坐標滿足上面的數量關系,這個四邊形ABCD是平行四邊形嗎?

追問2 通過證明發現它們是一個等價于的關系.大家再仔細觀察,上述兩個方程組有什么共同特征?

追問3 同學們能用文字語言總結此結論嗎?

性質:平面直角坐標系中,平行四邊形兩組相對頂點的 橫坐標之和相等,縱坐標之和也相等．

判定:平面直角坐標系中,兩組相對頂點的橫坐標之和相等,縱坐標之和也相等的四邊形是平行四邊形,不妨稱之為“對點法”.

設計意圖:從平移線段開始引導學生觀察平行四邊形坐標間的關系,借助問題2的探究方法和思路,開展問題3的探究,歸納出一般結論,滲透化歸,從特殊到一般等思想方法,得到的方程組簡潔、對稱性好,為結論的靈活應用創造了良好條件[2].

3 結論應用

3.1 類型1:“三定一動”型

例1 如圖3,已知拋物線y=x2-x-2與x軸的交點為A、B,與y軸的交點為C,點P是平面內一點,判斷有幾個位置能使以點P、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形,請寫出相應的坐標．

圖3 點的分布示意圖

解析根據題意求出A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),設點P的坐標為(x,y),分三種情況討論.

思路小結:第一步,求出定點,根據條件用含字母的式子表示動點的坐標,即設點;第二步,根據對應頂點分類,利用對點法列方程組求解,即求點;第三步,畫出幾何圖形,檢驗結果的正確性,即驗點.

設計意圖:通過應用“對點法”,學生體驗到從代數角度解決幾何問題的優點,思路清晰,分類明確,不用借助圖形,直接利用頂點間的關系列出方程組求出結果.第三步驗點,讓學生感受幾何圖形的直觀,整個過程生動體現了華羅庚先生所說的“數缺形時少直觀,形少數時難入微.”

3.2 類型2:“兩定兩動”型

例2 (2022年攀枝花中考試題改編)如圖4,二次函數y=x2-2x的圖象與x軸交于O、A兩點,且二次函數的最小值為-1,點M(1,m)是其對稱軸上一點,y軸上一點B(0,1)．在二次函數圖象上是否存在點N,使以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有符合條件的點N的坐標,若不存在,請說明理由．

圖4 例2題圖

解析根據條件易得A(2,0),B(0,1),設M(1,m),N(n,n2-2n).分三種情況討論.當點N與點A相對,點B與點M相對時,得n+2=0+1,n= -1,n2-2n=3所以N(-1,3);當點N與點B相對,點A與點M相對時,得n+0=1+2,n=3,n2-2n=3,所以N(3,3);(3) 當點N與點M相對,點A與點B相對時,得n+1=0+2,n=1,n2-2n=-1,所以N(1,-1).綜上所述,滿足條件的點N有三個,分別為(-1,3),(3,3),(1,-1).

設計意圖:進一步熟練對點法的應用,不用畫出圖形,直接根據例1的思路小結分類求解,并且此題求點N的坐標,只要求出n的值即可.根據條件不需要列出方程組,只需利用對點法中相對頂點的橫坐標之和相等列出第一個方程就能得出結果.

3.3 類型3:“四動”型

練習 平面直角坐標中,y= 0.5x2+x- 4與y軸相交于點B(0,-4),點P是拋物線上的動點,點Q是直線y= -x上的動點,判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,寫出相應的點Q的坐標.

設計意圖:在應用結論環節,設計了“三定一動”和“兩定兩動”型問題,常規方法對學生而言是有一定困難的.利用對點法,直接設點列方程組求解點的坐標更加直接,通過兩個例題總結了設點、求點的解題思路,最后拓展到四個動點的情況仍可用這樣的方法解決.

4 拓展延伸

例3 (2022年隨州中考試題改編)如圖5,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=-x2-2x+3與x軸分別交于點A(-3,0)和點B(1,0),與y軸交于點C,對稱軸為直線x=-1,且OA=OC,P為拋物線上一動點．設M為拋物線對稱軸上一動點,當P,M運動時,在坐標軸上是否存在點N,使四邊形PMCN為矩形?若存在,直接寫出點P及其對應點N的坐標;若不存在,請說明理由．

圖5 例3題圖

解法從略,請讀者自行探究.

設計意圖:矩形的存在性問題有一定的難度,此題在對點法求平行四邊形存在性的基礎上再根據對角線相等的平行四邊形是矩形的性質,利用勾股定理列方程,解出方程組即可.

5 教學思考

5.1 建構知識,理清脈絡

二次函數背景下特殊四邊形的存在性問題具有一定的挑戰性,為了突破這一難點,我們歸納出“對點法”的解題策略.平行四邊形的存在性問題中由“一動”“兩動”到“四動”三個問題層層推進,讓學生體會到方法的一致性和思維的連貫性.從平行四邊形到矩形的例題設計注重層次性、階梯性,始終有意識地挖掘學生的最近發展區,讓難度螺旋式遞進,遵循“高立意,低起點,深研究”的設計原則,讓不同學習水平的學生都能從中獲得進步和發展.

5.2 思想立意,提升思維

在中考復習中,數學思想方法的滲透也是教學的重任,本專題中運用了轉化,化歸、從特殊到一般、分類討論、數形結合等思想對問題展開研究.比如,借助問題2的探究方法和思路開展問題3的探究,歸納出一般結論、滲透化歸、從特殊到一般、數學建模等數學思想.