借助概念圖 解答數學題

鐘志偉

(昆山市新鎮中學,江蘇 昆山 215300)

初中數學在學生整個學習生涯中起著承上啟下的作用.通過解決數學問題,不但能夠考查學生對知識的理解和掌握情況,而且也是檢驗數學教師教學效果的重要方式.數學問題給出的條件是學生建構解題思維的切入點,結論則是解決問題的目標.學生只有調動所學知識與技能,突破解題障礙,才能達成上述解題目標.概念圖作為展現知識間結構關系與思維的圖形,將其應用于解題中,可提升學生思維的靈活性,提升解題效率.

1 借助概念圖,串聯數學知識

概念圖具有顯著的層級結構特征,即概念圖以分層形式直觀清晰地展示知識點間層級關系.部分領域的知識相互交叉連接,此交叉連接在創建新概念圖時直接表明知識概念間的跳躍性.與此同時,概念圖也能直觀展現師生情感狀態,反映概念圖創建者與學習者思想情感品質[1].

事實上,在解題中應用概念圖旨在幫助學生明確問題的前因與后果,其中解決問題前提條件為前因,后果即為運用所學數學知識獲得的正確答案.教師指導學生運用概念圖時,需先列出題目設置問題和給出的前提條件,并在前提條件與設置問題間梳理所學數學知識點之間的關系,然后學生再自主繪制概念圖,梳理解題脈絡及探索知識點組合成解題方式.學生在繪制概念圖中可增強串聯知識能力,提升解題效率.在解答幾何證明題時應用概念圖,可使其串聯知識點的優勢得到充分體現.

以“直角三角形全等的判定”為例,教師運用例題展示證明直角三角形全等的解答過程時,可運用概念圖劃分證明步驟,使學生清晰地認識每個步驟對應的知識原理.即先證明三角形為直角三角形,然后證明任意一對對應邊與對應銳角相等,或兩條對應邊相等,最后獲得全等結論,如圖1所示.教師在解題中按照最初劃分的解題步驟,形成完整性與系統化的知識體系.學生通過概念圖可直觀認識直角三角形全等證明方法.事實上,證明直角三角形全等時已將證明一般三角形全等的對應角相等的條件省略,只需對任意一條對應邊相等證明并從中獲得結論即可[2].教師運用概念圖梳理證明直角三角形全等的思路,當學生在解題陷入困境時就可由概念圖將思維轉至題目,再按照順序解答.

圖1 直角三角形全等證明的概念圖

2 借助概念圖,培養解題習慣

初中數學教師可指導學生針對不同類型題目積累解題經驗.一道題目的解答分為四個步驟:第一步即理解題意,該環節也稱為審題,明確題目給出哪些條件,需要解答什么問題,從題目中獲取解答此題目的邏輯起點、推理目標等信息;第二步為探索解題思路,即挖掘題目條件與結論之間的數學聯系,將條件與結論的推理驗算作為重點;第三步為書寫表達,即梳理解題思路后運用文字表達;第四步為回顧反思,所謂反思即脫離自身認知,作為“第三者”觀察自身在剛才做了哪些事情,把自身活動作為思考對象,再從解題層面和學會解題層面進行回顧反思.

例1 如圖2,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2CD,對角線AC⊥BD,垂足為點F,過點F作EF∥AB,交AD于點E.求證:四邊形ABFE是等腰梯形.

圖2 例1題圖

解析按照上述四大解題步驟進行解題,解題過程如圖3所示.

圖3 等腰梯形證明概念圖

首先,理解題意.需明確題目共有幾個條件以及有何數學含義.此題條件很長,有四個獨立條件:四邊形ABCD為直角梯形;兩底邊滿足AB=2DC;對角線AC⊥BD;EF∥AB.本題需證明的結論為:四邊形ABFE為等腰梯形,其涵蓋的數學含義有三個:①EF∥AB;②直線BF與AE不平行;③AE=BF.其中①②是已知條件,故證明本題的關鍵是證明③成立.顯然,需明確題目條件與結論之間的數學聯系以及屬于何種結構.其次,探索思路.運用分析法,挖掘多余條件.如圖2所示,因為AD和BD的交點是D,因此,欲證四邊形ABEF為梯形,可通過證明△DAB是等腰三角形來證明梯形ABFE為等腰梯形.如圖2,過點D作DG⊥AB于點G.因為四邊形ABCD為直角梯形,所以GD∥BC,CD∥BG,所以四邊形BCDG為平行四邊形.因為AB=2CD,所以BG=AG.由此可見,在△DAB中,DG既是AB邊上的高,又是AB邊上的中線,所以△DAB為等腰三角形.上述解題思路中尚未應用對角線,說明其為多余條件.再次,書寫表達.如圖2所示,過點D作DG⊥AB于點G.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,所以四邊形BCDG為平行四邊形,所以BG=CD,因為AB=2CD,所以BG=AG,所以點G是AB的中點.又因為DG垂直AB,AE與BF相交于點D,所以四邊形ABFE為等腰梯形.最后,回顧反思.解答此題時分為兩大步驟,先證明四邊形BCDG為平行四邊形,再證明梯形ABFE為等腰梯形.整個證明過程運用理解題意、探索思路、書寫表達等步驟,明確思考方向,思維也呈現可視化,同時在解題中運用轉化與數形結合思想,有效積累解答圖形問題的經驗,從而提升解題能力.

3 借助概念圖,實現舉一反三

在解答初中數學主觀題時,應用概念圖的目的是讓學生捋順數學知識點之間的結構關系.根據順序明確標注解題步驟及需開展的解題工作,順利剝離解題過程,形成系統解題體系,促使學生歸納總結適合自身學情的解題方式,提升其解題能力.

在初中數學教學中,教師運用概念圖指導學生解題時,要結合圖形理清已知條件與所求量之間的關系,規范概念圖繪制,明確邏輯關系推理方向,使學生總結正確、規范且適合自身學情的解題技巧,避免在解題初期就出現方向性錯誤.與此同時,教師需積極鼓勵學生在習題練習中盡可能嚴謹規范地利用繪制概念圖的方式分析和解答問題,熟練梳理知識點之間的邏輯關系,增強運用概念圖分析問題的能力,提升學生舉一反三的解題能力.例如,在解答與勾股定理相關的題目時,學生只需根據勾股定理即可簡單分析解答方式與順序等問題,再利用概念圖的方式在問題旁邊羅列知識點及對應的解題步驟,從而順利解答問題.

例2 工人在一塊直角梯形的草坪邊修建一條從點A至點D再至點C的小路,其中AB為直角梯形兩個直角的公共邊,已知AD=4 m,AB=12 m,BC=9 m,部分行人為減少路程,沿路線AC行走,但此方式對草坪造成破壞,請問路人少走了多少米路?

分析上述題目可得知,問題重點考查勾股定理知識.若將直角梯形補為長方形,即可運用勾股定理獲得DC=13 m.連接AC,則△ABC是直角三角形,根據勾股定理得出AC=15 m,所以路人少走的路為4 m+13 m-15 m=2 m.學生運用概念圖解答可有效降低題目難度,有利于學生分析題目中的已知條件和所求量之間的關系,然后基于邏輯順序順利完成問題解答.

例3 如圖4,點C為線段A與B的中點,點D在線段BC上,其中DB=4,AD=6,求CD長度.

圖4 例3題圖

在教學中,可借助如圖5所示的概念圖分析思考問題.

圖5 例3概念圖

結合題目條件,運用以下思路分析解決.其一,采取綜合法.從已知條件至所求結論思考問題.根據線段AD與DB的長即可求得線段AB的長,添加中點條件可獲得AC的長,再根據AD的長可求出CD的長.其二,采取分析法.即從所求結論過渡至已知條件.由AD-AC即可獲得CD的長,只需求得AC或BC的長,即可求出AB的長.其中AB=AD+DB,AD與DB為已知條件.其三,通過已知與結論進行分析,通過線段AD與DB長獲取線段AB的長,運用中點定義求出線段AC與BC的長,然后求出AD-AC即可求出線段CD的長.在此過程中已求出AC、AD、BC、DB.上述三種思路均可順利解題,以下為規范解題表達方式.

因為AD=6,BD=4,所以AB=10.因為點C為線段AB的中點,所以AC=5,所以CD=1.

為強化學生思維,教師可對原題進行變式,然后要求學生運用概念圖分析解答.

變式1 如圖4,點C為線段AB的中點,點D位于線段BC上,AD=6,CD=1,求線段BD長度.

變式2 如圖4,點C為線段AB中點,點D位于線段BC上,BD=4,CD=1,求線段AD的長.

上述變式題能夠鍛煉學生運用概念圖分析問題和解決問題的能力.最重要的是,學生在解題中能夠充分感悟互逆命題,發展其思維能力,提升其解題水平.學生在解答部分常見題目時,會不可避免地出現思維定式.為此,在初中數學學習中,除了教師的指導和督促外,更需要學生自我不懈堅持與努力.在數學學習中,受應試觀念的影響,學生接觸的題型較為單一,且鮮少有變化,這不利于培養學生靈活的解題思維.概念圖作為清晰、直觀的網絡結構知識導圖,應用于解題過程中,可發揮梳理知識與理解知識作用,促使學生高效解題.

4 結束語

總之,在初中數學解題中,應用概念圖可概括加工各種數學概念,直觀形象地反映知識點間組織結構與邏輯關系,引領學生在腦海中構建系統化數學知識體系,深入理解數學知識點.