例說解決排列組合問題的基本策略和常見模型

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級中學,甘肅 金昌 737200)

排列組合知識是高中數學必不可少的內容之一,對于思維能力的要求比較高,解題時一定要講究策略.本文將對高中階段排列組合問題的基本策略和常見模型進行全面總結.

1 解決排列組合問題的基本策略

1.1 特優策略

例1 用0,1,2,3,4組成無重復數字的五位數,共有多少種排法?

1.2 正難則反策略

例2 在10件產品中,有7件合格品,3件次品,從這10件產品中任意抽出3件,至少有一件次品的情況有多少種?

1.3 先取再排策略

例3 從4名男生和3名女生中選3人,分別從事3項不同的工作,若這3人中只有一名女生,則選派方案有多少種?

1.4 合理分類與分步策略

例4在一次演唱會上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目,有多少種選派方法?

1.5 構造模型策略

例5馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現要關掉其中3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種?

2 排列組合問題的常見模型

2.1 相鄰問題(捆綁法)

例6 5個人排隊,其中甲乙相鄰,共有多少種不同的排法?

評注當題目中有“相鄰元素”時,則可將相鄰元素視為一個整體,與其他元素進行排列,然后再考慮相鄰元素之間的順序即可.

2.2 不相鄰問題(插空法)

例7有6名同學排隊,其中甲乙不相鄰,則共有多少種不同的排法?

評注當題目中有“不相鄰元素”時,則可考慮用剩余元素“搭臺”,不相鄰元素進行“插空”,然后再進行各自的排序,注意兩點:(1)要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊;(2)要從題目中判斷是否需要各自排序.

2.3 涂色問題(種植問題)

例8 如圖1所示,將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩個端點異色,如果只有5種顏色可供使用,則有多少種染色方法?

圖1 例8題圖

解析A,C不相鄰,按照A,C是否同色分類,按照A→C→S→B→D的順序進行染色:第一類,A,C相同顏色,則有5×1×4×3×3=180種不同的染色方法,第二類,A,C不同顏色,則有5×4×3×2×2=240種不同的染色方法,根據分類加法計數原理,共有180+240=420種不同的染色方法.

評注涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”,在處理涂色問題時,可以找出不相鄰區域,按它們相同顏色和不同顏色進行討論.

2.4 錯位排列

例9 安排6個班的班主任監考這六個班,則其中恰好有兩個班主任監考自己班的安排總數有多少種?

評注排列好的n個元素,經過一次再排序后,每個元素都不在原先的位置上,則稱為這n個元素的一個錯位排列.例如對于a,b,c,d,則d,c,a,b是其中一個錯位排列,3個元素的錯排有2種,4個元素的錯排有9種,5個元素的錯排有44種,以上三種情況可作為結論記住.

2.5 特定順序排列

例10已知A,B,C,D,E,F6個人排隊,其中A,B,C相對位置不變,則不同的排法有多少種?

2.6 多排問題直排處理

例11 在一次講座活動中,前后排分別有11,12個座位,需空出前排中間的3個座位,現安排兩名學生分開就座(即彼此不相鄰),有多少種不同的排法?

評注多排元素排列問題通常可簡化為一排考慮,然后分段進行研究.但在其中需要注意的是,多排轉化為一排后會存在實際不相鄰的情況(如前后排的首尾是不相鄰的,將其拉成一排則首尾相連),因此在解決此類問題時,需仔細觀察實際情況.

2.7 不同元素分組

例12 將編號為A,B,C,D,E,F的6個小球,放入3個不同的盒子,每個盒子至少放一個小球,則不同的放法有多少種?

2.8 相同元素分組

例13將6個相同的小球放入到4個不同的盒子里,每個盒子至少放1個球,則不同的放法有多少種?

3 結束語

只有熟練掌握基本的解題策略,根據它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種策略結合起來應用,把復雜的問題簡單化,舉一反三,觸類旁通,進而為后續學習打下堅實的基礎.