利用角度變換方法解決空間角問題

王道金

(湖北省廣水市第一高級中學,湖北 廣水 432700)

空間角包括二面角、線面角、線線角,平面角是空間角的基礎,文[1]和文[2]指出了常用的解決空間角問題的幾何法(添加輔助線結合空間角的定義)和空間向量法(建立空間坐標系).文[3]則提出了解決空間角問題的幾何法與空間向量法(提出了方程思想),也提出了構造法.筆者發現,在特定環境下,空間角之間可以相互轉化,利用空間角度的變換可以簡化空間角的作圖和計算.有幾個關于空間角關系的基本事實,可以用來簡化空間角的求解過程.下面以四個基本事實作為依據,以角度變換的視角求解高考中的空間角問題.

1 對有公共棱的二面角實施和差變換

變換依據如圖1,平面ABEF在二面角D-AB-M的兩個半平面ABCD和ABNM之間,二面角D-AB-M大小為θ,二面角D-AB-E大小為α,二面角E-AB-M大小為β,則有θ=α+β.

圖1 二面角和差變換示意圖

問題1 (2023年全國Ⅱ卷20)如圖2,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC中點,

(1)證明:BC⊥AD;

又DE⊥BC,所以BC⊥平面ADE.所以BC⊥AD.

(2)如圖3,二面角D-AB-F的大小設為θ,可以看成二面角D-AB-C和二面角F-AB-C組成的.

圖3 問題1解答示意圖

二面角F-AB-C為直二面角,作EM⊥AB于點M,連接DM,則由DE⊥平面ABC得到∠DME為二面角D-AB-C的平面角.

圖4 問題2原題圖

(1)證明:DE⊥平面ACD;

(2)求二面角B-AD-E的大小.

圖6 問題3原題圖

分析三個二面角D1-AC-D,D1-AC-B1,B1-AC-B之和為π,可以先求二面角D1-AC-D與二面角B1-AC-B.

設二面角D1-AC-D的大小為α,設二面角B1-AC-B的大小為β,可以證明AC⊥AB,AC⊥平面ABB1,∠B1AB=β,tanβ=2.如圖7,設H為AC中點,連接DH,D1H,則有DH⊥AC.

圖7 問題3解答示意圖

2 對二面角實施降維變換

變換依據如圖8,OP⊥平面ABNM,OQ⊥平面ABCD,則∠POQ與二面角M-AB-D的平面角相等或者互補.

圖8 二面角降維變換示意圖

圖9 問題4原題圖

問題5 (2016年全國Ⅰ卷理18)如圖11,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD= 90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.求二面角E-BC-A的余弦值.

圖11 問題5原題圖

分析如圖12,考慮尋找平面ABCD與平面BCE的垂線,作CM⊥EF,垂足為點M,作MN⊥AB,垂足為點N,連接CN,則AB⊥平面CMN.作MP⊥CN于點P,則MP⊥平面ABC.作MH⊥CE于點H,則由平面BCE⊥平面EFDC得到MH⊥平面BCE[3].

3 對二面角的半平面實施位置變換

變換依據如圖13,平面ABFE∥平面MNCD,則二面角D-AB-E與二面角A-CD-M的大小互補.

問題6 (2014年全國Ⅰ卷19)如圖14,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

圖14 問題6原題圖

4 對線面角實施降維變換

圖16 線面角降維變換示意圖

圖17 問題7原題圖

分析設法找到平面PAM的垂線,先求此垂線與PC所成的角,如圖18,取PA的中點K,OK∥PC,設I為AK的中點,則OI⊥AK.設AM與BO交于點N,由BO⊥AC,BO⊥平面PAC得到BO⊥AK.

所以AK⊥平面INO.

問題8 (2021年全國甲卷19)如圖19,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.當B1D為何值時,面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

圖19 問題8原題圖

分析因為AB⊥平面BCC1B1,要使面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小,需要AB與平面DEF所成角最大.EF為定直線,AB與平面DEF所成角最大值為AB與EF所成角,EF∥AC1,所以需要平面AC1B與平面DEF垂直.

又平面AC1B與直線B1C垂直,所以需要B1C∥平面DEF,如圖20.

5 結束語

從上面的求解過程可以看出,角度變換方法可以直接抓住幾何本質,以較小的運算量解決空間角度問題,在教學中可以引導學生自覺加以應用,這對培養學生的空間想象力,提升學生的基本學科素養方面大有益處,值得研究.