差比復合型數列的六種解法及其應用

張 宇

(桂平市第一中學,廣西 桂平 537200)

差比復合型數列的求和在高考中頻繁出現,如2020年全國Ⅰ卷、Ⅲ卷等.教師課堂上給的方法一般都是“錯位相減”,這種方法比較直觀,學生也好理解,但我們會發現學生經常算錯,很難得到正確答案.那怎樣解決這一問題呢?除了多訓練運算能力外,筆者認為以下兩點也很重要:(1)找出“錯位相減”法的易錯環節,并進行優化;(2)嘗試從其他運算量較小或處理方式更簡潔或更容易理解的角度來解決.

1 差比復合型數列的定義

定義:設數列{an}為等差數列,{bn}為等比數列,cn=anbn,則稱{cn}為差比復合型數列.

2 差比復合型數列的解法

引例已知an=(2n-1)×3n,n∈N*,求數列{an}的前n項和Sn.

分析1根據Sn的結構,將Sn乘以3,以獲得更多的“同類項”,然后錯開一位,兩式相減.“錯位”的目的是方便同類項合并.

解法1(錯位相減法)

Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n.

①

3Sn=1×32+3×33+…+(2n-3)·3n+(2n-1)·3n+1.

②

①-②,得

-2Sn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)·3n+1

=2(3+32+33+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1

=3n+1-6-(2n-1)·3n+1.

所以2Sn=(2n-2)·3n+1+6.

所以Sn=(n-1)·3n+1+3.

解法2(裂項相消法)把an裂項為an=bn+1-bn,可設bn=(pn+q)×3n(因常數c抵消了),則

[p(n+1)+q]×3n+1-(pn+q)×3n=(2n-1)×3n.

即(2pn+3p+2q)×3n=(2n-1)×3n.

所以bn=(n-2)·3n,

an=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

分析3因為an=Sn-Sn-1(n≥2),設an=bn+1-bn(bn的求法同分析2),則Sn-Sn-1=bn+1-bn.即Sn-bn+1=Sn-1-bn(n≥2).故{Sn-bn+1}是常數列.所以Sn-bn+1=S1-b2.即Sn=bn+1+a1-b2.此處起到調節作用的是bn,而因為bn和Sn的結構相似,故可設bn=(pn+q)×3n[2].

解法3(構造常數列)設an=bn+1-bn,bn=(pn+q)×3n,同解法2,可得bn=(n-2)·3n.

所以an=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

又an=Sn-Sn-1,

故Sn-Sn-1=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

即Sn-(n-1)×3n+1=Sn-1-(n-2)×3n.

所以{Sn-(n-1)×3n+1}是常數列.

故Sn-(n-1)×3n+1=S1-(1-1)×32=3.

所以Sn=(n-1)×3n+1+3.

分析4阿貝爾公式為

解法4(利用阿貝爾公式)

分析5不妨設an=(pn+q)xn,p,q,x為常數,x≠0,1.根據an的結構,將Sn分拆為兩組,得

Sn=(p+q)x+(2p+q)x2+(3p+q)x3+…+(np+q)xn=(px+2px2+3px3+…+npxn)+q(x+x2+x3+…+xn)=px(1+2x+3x2+…+nxn-1)+q(x+x2+x3+…+xn).

解法5 (微分法)將數列的和分拆為兩部分:

Sn=(2-1)×3+(4-1)×32+(6-1)×33+…+(2n-1)×3n=(2×3+4×32+6×33+…+2n×3n)-(3+32+33+…+3n)=2×3(1+2×3+3×32+…+n×3n-1)-(3+32+33+…+3n),

引入變量x(x≠0,1),則

兩邊對x求導得

令x=3代入Sn,得

=(n-1)×3n+1+3.

分析6設an=(an+b)qn,則其前n項和Sn=(Bn-A)qn+A.證明過程留給讀者完成.

解法6(公式法)設Sn=(Bn-A)qn+A,由題意,S1=3,S2=3+33=30.

解得A=3,B=3.

所以Sn=(n-1)·3n+1+3.

3 在高考中的應用

例1(2020年全國Ⅲ卷) 設數列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)猜想{an}的通項公式并加以證明;

(2)求數列{2nan}的前n項和Sn.

解析(1)an=2n+1.

(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n.

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n,

③

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1,

④

由③-④,得

-Sn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n+1

=(1-2n)×2n+1-2.

即Sn=(2n-1)×2n+1+2.

例2(2020年全國Ⅰ卷)設{an}是公比不為1的等比數列,a1為a2,a3的等差中項.

(1)求{an}的公比;

(2)若a1=1,求數列{nan}的前n項和.

解析(1)公比q=-2.

(2)設{nan}的前n項和為Sn,a1=1,an=(-2)n-1,

Sn=1×1+2×(-2)+…+n(-2)n-1,

⑤

-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.

⑥

⑤-⑥,得

3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n(-2)n

4 結束語

給一線教師和高中生一點建議:對于差比型復合數列的求和問題,平時要多練習,做到熟能生巧.考場上,時間緊,任務重,最好的方法往往就是最常規的方法,也是你平時熟悉的解法.做完以后,記得把數列的第一項和第二項代入所得到的前n項和公式檢驗一下,只要正確,說明你的答案應該是正確的.