差比復(fù)合型數(shù)列的六種解法及其應(yīng)用

張 宇

(桂平市第一中學(xué),廣西 桂平 537200)

差比復(fù)合型數(shù)列的求和在高考中頻繁出現(xiàn),如2020年全國Ⅰ卷、Ⅲ卷等.教師課堂上給的方法一般都是“錯位相減”,這種方法比較直觀,學(xué)生也好理解,但我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常算錯,很難得到正確答案.那怎樣解決這一問題呢?除了多訓(xùn)練運(yùn)算能力外,筆者認(rèn)為以下兩點(diǎn)也很重要:(1)找出“錯位相減”法的易錯環(huán)節(jié),并進(jìn)行優(yōu)化;(2)嘗試從其他運(yùn)算量較小或處理方式更簡潔或更容易理解的角度來解決.

1 差比復(fù)合型數(shù)列的定義

定義:設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,cn=anbn,則稱{cn}為差比復(fù)合型數(shù)列.

2 差比復(fù)合型數(shù)列的解法

引例已知an=(2n-1)×3n,n∈N*,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

分析1根據(jù)Sn的結(jié)構(gòu),將Sn乘以3,以獲得更多的“同類項”,然后錯開一位,兩式相減.“錯位”的目的是方便同類項合并.

解法1(錯位相減法)

Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n.

①

3Sn=1×32+3×33+…+(2n-3)·3n+(2n-1)·3n+1.

②

①-②,得

-2Sn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)·3n+1

=2(3+32+33+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1

=3n+1-6-(2n-1)·3n+1.

所以2Sn=(2n-2)·3n+1+6.

所以Sn=(n-1)·3n+1+3.

解法2(裂項相消法)把a(bǔ)n裂項為an=bn+1-bn,可設(shè)bn=(pn+q)×3n(因常數(shù)c抵消了),則

[p(n+1)+q]×3n+1-(pn+q)×3n=(2n-1)×3n.

即(2pn+3p+2q)×3n=(2n-1)×3n.

所以bn=(n-2)·3n,

an=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

分析3因為an=Sn-Sn-1(n≥2),設(shè)an=bn+1-bn(bn的求法同分析2),則Sn-Sn-1=bn+1-bn.即Sn-bn+1=Sn-1-bn(n≥2).故{Sn-bn+1}是常數(shù)列.所以Sn-bn+1=S1-b2.即Sn=bn+1+a1-b2.此處起到調(diào)節(jié)作用的是bn,而因為bn和Sn的結(jié)構(gòu)相似,故可設(shè)bn=(pn+q)×3n[2].

解法3(構(gòu)造常數(shù)列)設(shè)an=bn+1-bn,bn=(pn+q)×3n,同解法2,可得bn=(n-2)·3n.

所以an=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

又an=Sn-Sn-1,

故Sn-Sn-1=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

即Sn-(n-1)×3n+1=Sn-1-(n-2)×3n.

所以{Sn-(n-1)×3n+1}是常數(shù)列.

故Sn-(n-1)×3n+1=S1-(1-1)×32=3.

所以Sn=(n-1)×3n+1+3.

分析4阿貝爾公式為

解法4(利用阿貝爾公式)

分析5不妨設(shè)an=(pn+q)xn,p,q,x為常數(shù),x≠0,1.根據(jù)an的結(jié)構(gòu),將Sn分拆為兩組,得

Sn=(p+q)x+(2p+q)x2+(3p+q)x3+…+(np+q)xn=(px+2px2+3px3+…+npxn)+q(x+x2+x3+…+xn)=px(1+2x+3x2+…+nxn-1)+q(x+x2+x3+…+xn).

解法5 (微分法)將數(shù)列的和分拆為兩部分:

Sn=(2-1)×3+(4-1)×32+(6-1)×33+…+(2n-1)×3n=(2×3+4×32+6×33+…+2n×3n)-(3+32+33+…+3n)=2×3(1+2×3+3×32+…+n×3n-1)-(3+32+33+…+3n),

引入變量x(x≠0,1),則

兩邊對x求導(dǎo)得

令x=3代入Sn,得

=(n-1)×3n+1+3.

分析6設(shè)an=(an+b)qn,則其前n項和Sn=(Bn-A)qn+A.證明過程留給讀者完成.

解法6(公式法)設(shè)Sn=(Bn-A)qn+A,由題意,S1=3,S2=3+33=30.

解得A=3,B=3.

所以Sn=(n-1)·3n+1+3.

3 在高考中的應(yīng)用

例1(2020年全國Ⅲ卷) 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)猜想{an}的通項公式并加以證明;

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.

解析(1)an=2n+1.

(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n.

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n,

③

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1,

④

由③-④,得

-Sn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n+1

=(1-2n)×2n+1-2.

即Sn=(2n-1)×2n+1+2.

例2(2020年全國Ⅰ卷)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項.

(1)求{an}的公比;

(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項和.

解析(1)公比q=-2.

(2)設(shè){nan}的前n項和為Sn,a1=1,an=(-2)n-1,

Sn=1×1+2×(-2)+…+n(-2)n-1,

⑤

-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.

⑥

⑤-⑥,得

3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n(-2)n

4 結(jié)束語

給一線教師和高中生一點(diǎn)建議:對于差比型復(fù)合數(shù)列的求和問題,平時要多練習(xí),做到熟能生巧.考場上,時間緊,任務(wù)重,最好的方法往往就是最常規(guī)的方法,也是你平時熟悉的解法.做完以后,記得把數(shù)列的第一項和第二項代入所得到的前n項和公式檢驗一下,只要正確,說明你的答案應(yīng)該是正確的.