帶有整體單極的Reissner-Nordstrom-AdS黑洞在擴展相空間中的霍金輻射*

韓亦文 胡成 洪云

1)(重慶工商大學物理系,重慶 400067)

2)(成都東軟學院基礎教學學院,成都 611844)

1 引言

2019 年,視界望遠鏡(EHT)合作組織首次公布了距人類5500 萬光年外的大質量星系M87 中心超大質量黑洞的照片,這是人類首次能真正“看見”黑洞.自此人類不僅能“聽”到黑洞的聲音、還能“看”到黑洞的陰影,對黑洞這一神秘天體的研究由此也掀開了新的序章[1].事實上,早在20 世紀70 年代,霍金就開創性地揭示了黑洞視界的面積不會減小[2,3].從那時起,人們普遍相信黑洞就是一個普通的熱力學體系.在這樣的熱力學系統中黑洞存在一個視界,通過視界的任何粒子都無法逃脫它的引力,即使是光.這也意味著任何能量或物質都無法到達位于黑洞外的觀察者.然而,考慮到量子效應,一小部分能量可以通過輻射到達黑洞時空的視界之外.此前的研究顯示,從輻射能量出發,黑洞的溫度被定義.同時,黑洞也可以被視為具有霍金溫度的熱力學系統[4].此外,黑洞具有不可約質量,這是一個在不可逆過程中增加的性質.不可約質量與普通熱力學系統中的熵相似,基于這種相似性,黑洞的熵由不可約質量得到.這就是黑洞的貝肯斯坦-霍金熵[5,6],它與視界面積成正比.利用溫度和熵這兩個熱力學特性,建立了黑洞作為熱系統的熱力學定律.在正常相空間,黑洞熱力學系統的守恒量,如電荷、角動量以及系統的熱力學勢,也都在黑洞的視界上得到定義.換言之,基于黑洞視界,黑洞的熱力學被建立起來.之后,有關黑洞熱性質尤其是對黑洞的霍金輻射得到廣泛的研究[7–15].但是,在這些眾多的研究中,由于沒有考慮到黑洞熱力學系統的自引力相互作用,其所得到的輻射光譜都是純粹的熱譜.

2000 年,Parick 和Wilczek[16]提出了一種研究霍金輻射的新的方法即量子隧穿方法.這種方法將黑洞的事件視界視為量子隧穿中的勢壘,在考慮到能量守恒及時空背景結構的前提下,給出了勢壘的位置并且得到了黑洞輻射的隧穿概率.以此對霍金輻射熱譜進行了修正,并證明了黑洞的霍金輻射譜不是純粹熱光譜.由于這種方法的普適性,這項工作很快被推廣到對一系列黑洞輻射的廣泛研究[17–37].然而,當這種方法在被應用到對德西特黑洞時空和反德西特黑洞時空中的研究時,通常是將宇宙學參數處理成了一個固定的參數[38–41].最近,研究人員注意到,如果將宇宙學參數考慮作為一個熱力學系統的動態參量,探索其對黑洞熱力學系統會有何貢獻與影響將是一項十分有趣的工作.因為,若將宇宙學參數考慮作為黑洞熱力學系統的一個動態參量,即在擴展相空間中,黑洞熱力學定律是否成立,宇宙監督假設是否有效都是值得探討和深入研究的.

幾乎在這一同時,Caldarelli 等[42]率先將宇宙學常數提升為黑洞熱力學系統的可變的狀態參數,并研究了Kerr-Newman-AdS 黑洞的熱力學性質.Hendi 等[43]直接將包含了宇宙學常數這個可變狀態參數的相空間(M,Q,Λ) 稱為擴展相空間,并進一步研究了一類帶電黑洞的熱力學相變.此外,一些學者提出了一個黑洞的體積,它可以被定義為熱力學系統共軛變量,聲稱宇宙學常數的作用變成了壓力P自然的候選者.因此,熱力學體積可以被解釋成V=(?M/?P)|S,J,Q,黑洞熱力學第一定律修改為 dM=TdS+?dJ+ΦdQ+VdP.其中,M被解釋為焓,亦即焓被定義成熵與壓強的變量[44–48].實際上,從一般相對論的角度來看,一個負的宇宙學參數Λ,在被解釋成一個熱力學體積的共軛動態參量,即將宇宙學常數Λ視作黑洞熱力學系統的動態參量,這樣的變化有時是令人費解的.但更多地,這個理論引起了人們極大的興趣和廣泛關注.基于這理論,諸如黑洞熱力學系統范德瓦耳斯相變、弱宇宙監督假設、黑洞微觀結構的排斥性相互作用以及Smarr 關系與熱力學第一定律是否一致等許多有趣現象被廣泛研究,也得到許多有意義的結果[49–53].這些研究顯示,在正常相空間中引入了壓強、體積項,使得黑洞熱力學系統的相結構空間更加豐富.在這樣的擴展相空間,黑洞熱力學定律依然成立,弱宇宙監督假設同樣有效,具有重要的現實意義.但是,作為構成黑洞熱性質重要組成部分的霍金輻射,在考慮到將宇宙學常數作為動態參量后,即在擴展相空間中,一類AdS 黑洞時空及反AdS 黑洞時空的量子隧穿行為將會有何影響,出射粒子穿越黑洞視界面時的隧穿概率將有何變化等問題都是值得深入探討和研究的.

最近,我們在擴展相空間中,對RN-AdS 黑洞的量子隧穿效應進行了嘗試性的研究.結果顯示,包含熱力學壓力和體積的情況下,RN-AdS 黑洞出射粒子的輻射概率依然與其粒子出射前后黑洞的貝肯斯坦-霍金熵差成正比,即輻射概率

不依賴于相空間[54].為了驗證這一結果是否在其他黑洞中同樣出現,本文以帶整體單極的AdS黑洞時空為例進行研究.整體單極子可能是在早期宇宙演化的相變過程中拓撲破缺形成的.帶整體單極的黑洞度規最初是由Barriola 和Vilenkin[55]得到的,這一度規是在Schwarzschild 背景下具有多重態的標量場的SO(3)對稱破缺導致的.帶有整體單極子時空的拓撲結構和 Schwarzschild 時空的拓撲結構完全不同,特別是具有一個虧損角.目前這一黑洞的各種性質已被廣泛研究,如熱力學[56]、透鏡效應[57]、全息超導[58]、全息糾纏熵[59].本文試圖獲得帶有電荷的粒子從帶有整體單極黑洞視界穿出的行為,計算在擴展相空間中出射粒子的隧穿概率(即含有熱力學壓力).由于時空背景帶有整體單極,所以計算粒子在有拓撲缺陷的時空背景中沿測地線運動時,粒子和時空的Arnowitt-Deser-Misner(ADM)質量、電荷及黑洞的熵實際上都要多一個因子 (1?8πη2).文獻[31,60]將霍金輻射推廣到有時空拓撲缺陷的黑洞,研究了在有拓撲缺陷的時空背景中出射粒子的隧穿形式但是都沒有考慮宇宙學參數的情況,所以本文將進一步討論粒子在擴展相空間從有時空拓撲缺陷的Reissner-Nordstrom-AdS 黑洞穿出的行為,其中將宇宙學參數解釋為熱力學壓強.本文選擇單位G=?=c=1.

2 擴展相空間黑洞熱力學

靜態帶電球狀物體周圍的真空引力場(即時空彎曲狀況),可以從愛因斯坦方程解出.具有負宇宙學常數的Reissner-Nordstrom AdS 黑洞的作用量可表示成:

式中,G是牛頓常數,R為里奇張量,Λ為宇宙學常數,FμνFμν表示為電磁拉格朗日常量.在自然單位下,文獻[61]給出了具有整體單極的時空線元表達式為

其中

以及,m和q分別是黑洞的質量和電荷,η是規范對稱破缺的尺度.考慮到整體單極,該黑洞的阿諾維特-德斯特-米斯納(ADM)總質量和電荷應分別修改為

在擴展相空間,熱力學壓強為[45,46]

相應地,Reissner-Nordstrom AdS 黑洞度規f(r)被重寫成:

由f(r)=0,可得黑洞質量:

其中,rH是黑洞的事件視界位置.由此,可以導出熱力學體積為

相應地,帶有整體單極子Reissner-Nordstrom AdS黑洞的相空間得到了擴展.在擴展相空間中,黑洞熱力學第一定律被改寫成:

黑洞熵:

3 帶電粒子的測地線方程

為了描述粒子穿越視界的行為,應當消除坐標奇異性.為此,引入 Painlev坐標系進行變換[62,63],(2)式可改寫成

在帶整體單極Reissner-Nordstrom AdS 黑洞中,出射粒子為有靜止質量帶電的粒子.眾所周知,靜止質量不為零的粒子不再是類光粒子,將不沿著類光測地線,其世界線應該是類時的.因此,不能利用文獻[16]中通過 ds=dθ=dφ=0 的方法來計算粒子的測地線方程.由此,Zhang 等[24,27]提出一種關于有質量粒子測地線方程的方法,他們將出射粒子看作出射德布羅意波球面波(S 波).然后,先求出出射粒子的相速度及群速度,再根據兩者之間的關系求出測地線方程.應用WKB 近似,有靜止質量粒子的球面波徑向波函數可以寫成:

其中,ri?ε表示粒子出射時的初始位置,然后假設取某一特定的相位,令:

對(13)式兩邊同時微分,可得

其中,k為德布羅意波的波數.由(14)式可知,實際上對應德布羅意波的相速度.這里,德布羅意波不同于電磁波,德布羅意波的相速度νp不等于群速度νg.二者之間關系為

當粒子穿越勢壘時,其運動的過程是一個瞬時過程.一般認為“粒子穿入勢壘”和“粒子穿出勢壘”這兩個事件同時發生.根據朗道(Landau)的對鐘理論,這兩個事件發生的坐標時差為

其中,rc為粒子的位置.出射粒子貫穿勢壘時,波包的群速度為

因此,根據相速度與群速度之間的關系,粒子的相速度表達式為

再將gtt和gtr的表達式代入即可得到粒子的類時測地線方程.這里gtt和gtr為

將(19a)式及(19b)式代入(18)式可得

4 具有熱力學壓力下帶電粒子隧穿輻射譜

接下來討論有質量粒子在引入體積壓強項之后黑洞視界處的霍金輻射.在黑洞事件視界處附近(邊界極靠近內部),由于量子效應真空漲落產生正負粒子對.其中的負能粒子被黑洞吸收,正能粒子通過視界而輻射到無窮遠處,從而使黑洞能量、電荷減少.考慮到出射粒子的自引力相互作用,在能量守恒,電荷守恒的條件下,一個大質量的帶電粒子從事件視界向外輻射,黑洞的質量M、壓力P和電荷Q應該減少為M→M?ω′,P→P?p′和Q→Q?q′.至此,我們已將擴展相空間中的能量視為系統的總能量.亦即,包括了系統的內能和環境真空能.因此,在擴展相空間中得到的黑洞貝肯斯坦-霍金熵ΔS應該重新改寫為ΔSBH=S(M?ω′,P?p′,Q?q′)?S(M,P,Q),而非一般相空間中的 ΔSBH=S(M?ω)?S(M).因此,度規f(r) 的表達式(3)被改寫成:

同時,粒子的徑向類時測地線方程隨之修改為

電磁勢的非零分量也相應地修改為

我們的研究對象是從黑洞視界出射的大質量帶電粒子,因此需要考慮電磁場的影響.在這里,物質-重力系統包括黑洞和其外部電磁場.該系統的拉格朗日量可以表示成:

其中,Lh=?1/4FμνFμν為對應于廣義坐標Aμ=(At,0,0,0)的電磁場的拉格朗日函數.但從Lh的表達式中,發現Aμ=(At,0,0,0) 是一個可忽略的坐標.為了消除與可遺坐標對應的自由度的影響,出射粒子的作用量的表達式應該寫為

其中,Pr是r對應的正則動量.利用粒子的哈密頓正則方程,則有:

在粒子穿越視界時,出射粒子的軌跡會經過視界半徑處(r=rH),這導致上述積分在該點存在奇異性.為了計算這個積分,可以使用換元的方法來消除極點上的奇異性,即將變量做以下替換:

對方程兩邊同時微分,可以得到

如前所述,可得

因此,(29)式可以改寫為

將其代入(28)式,積分可得

可以看出,該積分在u=1 處是一個存在一個極點.因此,上述積分可以上半復平面進行計算,先對u進行積分,可以得到:

將(34)式代入(33)式,可得

因此,可得到帶整體單極Reissner-Nordstrom AdS黑洞的隧穿概率為

ΔSBH=SBH(M?ω′,P?p′,Q?q′)?SBH(M,P,Q)是粒子穿越事件視界初始和穿越后的黑洞貝肯斯坦-霍金熵的變化值.顯然,計算結果表明即使在擴展相空間的具有整體單極的黑洞中,考慮熱力學壓強,得到的帶電粒子出射譜實際上也偏離了純熱譜,粒子的出射率與出射粒子穿越勢壘前后的貝肯斯坦-霍金熵變有關,同時滿足量子力學中的幺正性理論,支持了信息守恒的結論.

5 熱力學角度分析粒子隧穿輻射過程

事實上,我們發現不論是靜態球對稱黑洞,還是穩態軸對稱黑洞,不管討論的出射粒子是哪一種粒子(無質量粒子、有質量粒子,或者帶電粒子),在證明信息守恒過程中都可以用到熱力學第一定律在可逆過程中的表達式.

之前的研究已顯示出輻射光譜與黑洞熱力學第一定律密切相關,但沒有包含熱力學體積和壓強項.通過第1 節的討論,可以看到在擴展相空間中,熱力學第一定律得到修改,即(9)式可修改為

利用(26)式,經典禁止軌道作用的虛部可表示為

式中,T為霍金溫度.出射粒子穿越視界的概率為

不難看出,通過應用黑洞熱力學第一定律的微分形式和熱力學第二定律,我們同樣能夠導出出射粒子穿越視界的概率,并且與(36)式得到的結果相同.但是需要注意的是這種推導只適用于可逆的靜態過程,這是因為若不是可逆過程,熱力學第二定律的關系式為

因為對應過程有不可逆熵產生,而將(40)式代替(38)式,將得不到(39)式的結果.總之,這個結果與(36)式得到結果一致.同時,這個結果表明,在擴展的相空間中,將宇宙學參數Λ視作黑洞熱力學系統的動態參量并將其解釋為熱力學壓強的情形下,所得到的帶電粒子的出射譜實際上也偏離了純熱譜,粒子的出射率與出射粒子穿越勢壘前后的黑洞貝肯斯坦-霍金熵差有關,同時滿足量子力學中的幺正性理論,支持了信息守恒的結論.

6 結論

將宇宙學參數Λ視為一個動態變量,并將其解釋為熱力學壓強,從而使黑洞相空間得到了擴展并包含了體積壓強項.以此為基礎,我們進一步研究了擴展相空間中帶有整體單極Reissner-Nordstrom-AdS 黑洞在擴展相空間中的霍金輻射.計算結果顯示,在有拓撲缺陷的時空背景下,有靜止質量帶電粒子在擴展相空間中的出射概率與粒子穿越勢壘前后的貝肯斯坦-霍金熵差有關,它意味著所得到的出射光譜偏離了純熱光譜,這與將宇宙學參數作為固定參數的情況一致.特別是整體單極子盡管影響粒子的動力學行為和熱力學量,但并不影響熵變和隧穿率.因此,即使在擴展相空間中,出射粒子穿越黑洞視界面時的隧穿概率依然與貝肯斯坦-霍金熵變化量成正比,并且粒子的出射光譜也并非純熱譜,輻射概率不依賴于相空間.這一結果滿足量子力學的幺正性原理,支持了信息守恒.霍金輻射作為黑洞熱力學成立的證據,從另一個角度證明了將負宇宙學常數解釋為熱力學壓強的理論有其正確性,并進一步完善了黑洞熱力學的理論框架,同時豐富了黑洞熱力學系統的相結構.這為我們更深入地理解黑洞、量子場論和引力理論之間的內在聯系提供了重要的理論依據.當然,本研究僅僅局限于對帶有整體單極Reissner-Nordstrom-AdS 黑洞在擴展相空間中的隧穿輻射的討論,其普適性還有待進一步的廣泛研究和有效證明.