文化之所向 素養(yǎng)之所往

李建英 易良斌

摘要：近年來(lái)數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題以越來(lái)越高的比例出現(xiàn)在考生視野中.通過(guò)對(duì)2022年浙江省各地區(qū)數(shù)學(xué)中考文化類(lèi)試題的賞析，挖掘數(shù)學(xué)文化的工具價(jià)值、人文價(jià)值、思維價(jià)值和素養(yǎng)價(jià)值，總結(jié)出“以‘著名與成果為引領(lǐng)，挖掘數(shù)學(xué)文化”“以‘綜合與實(shí)踐為依托，著力素養(yǎng)提升”“以‘跨學(xué)科學(xué)習(xí)為契機(jī)，拓展數(shù)學(xué)價(jià)值”滲透數(shù)學(xué)文化的三條教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程內(nèi)容中指出“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”［1］，旨在教學(xué)活動(dòng)中創(chuàng)設(shè)和積累以數(shù)學(xué)文化為背景的問(wèn)題，滲透數(shù)學(xué)文化，突出文化價(jià)值，讓數(shù)學(xué)文化落地生根.

1 文化試題數(shù)量、內(nèi)容與類(lèi)型剖析

通過(guò)對(duì)2022年浙江省九個(gè)地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共有20道以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，其中杭州、寧波、溫州卷各有3題，其他地區(qū)除麗水卷外均有2題.中考數(shù)學(xué)文化試題的具體內(nèi)容和考查知識(shí)點(diǎn)見(jiàn)表1.

通過(guò)對(duì)2018-2022年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷的分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題在2022年的比重尤其突出（如圖1），試題內(nèi)容除了涉及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美等，還增加了更多數(shù)學(xué)與人文社會(huì)及其他學(xué)科融合的試題.

2 數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題賞析

對(duì)2022年浙江省中考數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題進(jìn)行賞析，發(fā)現(xiàn)不同的試題背景下，數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造著不同的價(jià)值.命題者分別從融合多學(xué)科、滲透數(shù)學(xué)史、凸顯數(shù)學(xué)美、串聯(lián)現(xiàn)代科技的視角挖掘數(shù)學(xué)文化的工具價(jià)值、人文價(jià)值、思維價(jià)值和素養(yǎng)價(jià)值.

2.1 融合多學(xué)科，體現(xiàn)工具價(jià)值

例1 （嘉興卷＼515）某動(dòng)物園利用杠桿原理稱(chēng)象：如圖2，在點(diǎn)P處掛一根質(zhì)地均勻且足夠長(zhǎng)的鋼梁（呈水平狀態(tài)），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計(jì)）分別懸掛在鋼梁的點(diǎn)A，B處，當(dāng)鋼梁保持水平時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為k（單位：N）.若鐵籠固定不動(dòng)，移動(dòng)彈簧秤使BP擴(kuò)大到原來(lái)的n（n>1）倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數(shù)為??? （單位：N）（用含n，k的代數(shù)式表示）.

2.2 滲透數(shù)學(xué)史，體現(xiàn)人文價(jià)值

從2022年浙江省中考數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題的類(lèi)型可以看出，數(shù)學(xué)史占總數(shù)量的44%，足以看出命題者對(duì)數(shù)學(xué)史的重視程度.不同的命題人會(huì)選擇不同的載體融入數(shù)學(xué)史，有外揚(yáng)型、內(nèi)嵌型和引譯型.外揚(yáng)型是基于數(shù)學(xué)家的著名成就，增設(shè)條件，改變情境.內(nèi)嵌型是問(wèn)題本身看不出數(shù)學(xué)文化，但在解題中需要借鑒數(shù)學(xué)史帶來(lái)的啟示解決問(wèn)題.引譯型是直接引用數(shù)學(xué)著作中的問(wèn)題，用譯文映射到考題中.

2.2.1 外揚(yáng)型滲透，展示文化貢獻(xiàn)

賞析：此題將勾股定理、趙爽弦圖、黃金分割等數(shù)學(xué)文化巧妙地串聯(lián)起來(lái)，勾股定理是刻畫(huà)直角三角形三邊關(guān)系的重要定理，它的證明方法達(dá)五百多種，具有豐富的文化價(jià)值，而趙爽弦圖就是其中之一.勾股圖和趙爽弦圖在教材中均有呈現(xiàn)，分別來(lái)自八年級(jí)上冊(cè)第二章的閱讀材料和“探索勾股定理”的合作學(xué)習(xí)，給考生以親切感.解決本題的關(guān)鍵是利用趙爽弦圖，將正方形ABGF與正方形JKLM的面積比轉(zhuǎn)化成線段比，結(jié)合趙爽弦圖的圖象特征，得到△FMG的三邊之比為1∶2∶5.

解決此題的過(guò)程貫通了正方形、銳角三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等初中數(shù)學(xué)幾何核心知識(shí)間的聯(lián)系，同時(shí)滲透了方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.解題余味濃厚，計(jì)算發(fā)現(xiàn)C是EH的黃金分割點(diǎn)，L是CM的黃金分割點(diǎn).通過(guò)此題不僅向?qū)W生展示了文化貢獻(xiàn)，提升思維層級(jí)，還寓意著在巨人的肩膀上不斷前行.

2.2.2 內(nèi)嵌型滲透，凸顯文化意義

例3 （湖州卷·16）如圖4，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，tan∠ABO=3，以AB為邊向上作正方形ABCD.若

賞析：趙爽弦圖中蘊(yùn)含著豐富的幾何特征和代數(shù)結(jié)構(gòu)，被稱(chēng)為“中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰”.命題者在反比例函數(shù)的背景下將趙爽弦圖內(nèi)嵌其中，圖5將數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得酣暢透徹.解題的關(guān)鍵是需要將圖中的“斜”正方形轉(zhuǎn)為“正”正方形，俗稱(chēng)“改斜歸正”.構(gòu)圖的啟發(fā)來(lái)源于趙爽弦圖，既可以如圖5構(gòu)造外弦圖，也可以如圖6構(gòu)造內(nèi)弦圖.將數(shù)學(xué)文化以這種內(nèi)嵌式的方式進(jìn)行滲透，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀、模型意識(shí)、模型觀念等核心素養(yǎng)，凸顯數(shù)學(xué)文化的意義.

2.2.3 引譯型滲透，揭示文化發(fā)展

賞析：《九章算術(shù)》是一本反映我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的重要著作，全書(shū)總結(jié)了246個(gè)古人在生產(chǎn)生活中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，此題就是其中之一.命題者既關(guān)注情境應(yīng)用，也關(guān)注文化滲透.首先以引譯型的方式將古代問(wèn)題呈現(xiàn)在考生面前，引用部分是為了提升學(xué)生對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)成就的文化自信，增強(qiáng)民族自豪感;譯文部分揭示了文化的發(fā)展，也為保證考試的公平性.本題主要考查學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，建立模型觀念.

2.3 凸顯數(shù)學(xué)美，體現(xiàn)思維價(jià)值

例5 （杭州卷·16題）圖7是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點(diǎn)C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對(duì)折，點(diǎn)B落在⊙O上的點(diǎn)D處（不與點(diǎn)A重合），連接CB，CD，AD.設(shè)CD與直徑AB交于點(diǎn)E.若AD=ED，

2.4 關(guān)聯(lián)前瞻性，體現(xiàn)素養(yǎng)價(jià)值

例6 （金華卷·16）圖8是光伏發(fā)電場(chǎng)景，其示意圖如圖9，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)B，B′處各安裝定日鏡（介紹見(jiàn)圖10）.繞各中心點(diǎn)（A，A′

（1）點(diǎn)F的高度EF為? ? m；

（2）設(shè)∠DAB=α，∠D′A′B′=β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是??? .

賞析：此題以光伏發(fā)電的場(chǎng)景為背景，看似是一個(gè)陌生的背景，實(shí)則在浙教版七年級(jí)下冊(cè)第一章閱讀材料“地球有多大”中就有預(yù)設(shè)，因此在考試中同樣具有公平性.我國(guó)在太陽(yáng)能光伏發(fā)電產(chǎn)業(yè)的發(fā)展占據(jù)全球前列，因而該試題是展現(xiàn)數(shù)學(xué)成果在人類(lèi)發(fā)展中的作用.

命題者將光伏發(fā)電這樣的現(xiàn)代科技抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，反映數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，服務(wù)于生活.

解決本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用光的反射原理，如圖11，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值、平行線的性質(zhì)，通過(guò)∠NAG=∠MA′G，轉(zhuǎn)化得到∠FAN與∠FA′M的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解.解決此題既可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在社會(huì)和科技發(fā)展中的應(yīng)用，又能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界［2］，這正是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出的數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的三個(gè)方面.

3 教學(xué)啟示

3.1 以“著名與成果”為引領(lǐng)，挖掘數(shù)學(xué)文化

在教學(xué)中，教師要善于挖掘教材中關(guān)于數(shù)學(xué)成果的介紹.如，浙教版教材在八年級(jí)上冊(cè)的作業(yè)題中記載有《九章算術(shù)》中的一道數(shù)學(xué)題［3］，教學(xué)中要以此為契機(jī)，組織學(xué)生開(kāi)展對(duì)該書(shū)的閱讀活動(dòng)，弘揚(yáng)民族自信，拓寬學(xué)生視野，并在閱讀后征集更多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究.又如，浙教版八年級(jí)下冊(cè)第二章閱讀材料中記載了《幾何原本》《大衍歷》《田畝比類(lèi)乘除捷法》等書(shū)中對(duì)于一元二次方程的不同解法，教師在教學(xué)中可嘗試讓學(xué)生整理解法，關(guān)注古代解法與現(xiàn)代解法的異曲同工之妙，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，也可以找出不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)，培養(yǎng)反思質(zhì)疑精神.

3.2 以“綜合與實(shí)踐”為依托，著力素養(yǎng)提升

筆者對(duì)浙教版六本初中數(shù)學(xué)教材的“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容進(jìn)行了整理，共有110個(gè)學(xué)習(xí)資源，這些資源大多集中在閱讀材料、設(shè)計(jì)題和探究活動(dòng)的位置，這些位置的內(nèi)容有助于學(xué)生更系統(tǒng)化、整體化和結(jié)構(gòu)化地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生更有效地進(jìn)行知識(shí)遷移.如浙教版九年級(jí)上冊(cè)第一章的設(shè)計(jì)題，需要學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)探索一個(gè)物體自由沿著斜面作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的關(guān)系.學(xué)生親自經(jīng)歷設(shè)計(jì)方案、實(shí)驗(yàn)過(guò)程、獲取數(shù)據(jù)以及畫(huà)圖、猜想函數(shù)式、檢驗(yàn)等各環(huán)節(jié)，鞏固二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)模型觀念，使得學(xué)生的思維具有開(kāi)放性和獨(dú)創(chuàng)性.又如浙教版九年級(jí)下冊(cè)第一章探究活動(dòng)，需學(xué)生探究sin18°和黃金比的關(guān)系，教學(xué)中可以融入對(duì)黃金三角形、五角星等圖形的探究，引導(dǎo)學(xué)生一題多解，使學(xué)生思維具有統(tǒng)整性和靈活性.

3.3 以“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”為契機(jī)，拓展數(shù)學(xué)價(jià)值

為了拓展數(shù)學(xué)的價(jià)值，跨學(xué)科的研究是必不可少或缺的.跨學(xué)科學(xué)習(xí)是指從課內(nèi)到課外開(kāi)展項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，以提升學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察真實(shí)世界，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合，培養(yǎng)學(xué)生的多元化思考.如“體育與心率”項(xiàng)目以怎樣運(yùn)動(dòng)更健康更有效為驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，融合了模型觀念，依托信息技術(shù)，融合了生物學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備和體育運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)收集處理等內(nèi)容.通過(guò)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程當(dāng)中提升運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.以“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”為契機(jī)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐與創(chuàng)新能力、應(yīng)用意識(shí)與合作意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，最終實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的育人目標(biāo).

命題者將數(shù)學(xué)文化融入試題，教師將數(shù)學(xué)文化滲入教學(xué)，學(xué)生將數(shù)學(xué)文化擁入靈魂［4］，只有教、學(xué)、評(píng)一致，方能發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的最大價(jià)值，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面形成.

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