測邊網坐標平差的加性乘性混合型誤差模型解算

王樂洋,胡芳芳

(1.東華理工大學 自然資源部環鄱陽湖區域礦山環境監測與治理重點實驗室,南昌 330013; 2.東華理工大學 測繪與空間信息工程學院,南昌 330013)

加性乘性混合型誤差模型在大地測量領域前進的步伐未曾停止。在20世紀早期,Helmert[1-2]首次提及了加性誤差模型,引入了大地測量觀測標準誤差的概念;到20世紀中期,考慮到觀測誤差的比值是恒定的而不是方差,Kneissl[3-4]引入了乘性誤差模型的概念;20世紀80年代,Wübbena[5-7]提出了用于GPS觀測調整的組合模型的概念,將加性誤差模型和乘性誤差模型擴展為允許在單一模型中考慮兩種類型誤差的加性乘性混合型誤差模型。

此后學者對于加性乘性混合型誤差模型的研究不斷深入[8-15]。文獻[8]通過改變直線擬合算例中點的質量驗證了文中所提出的偏差改正最小二乘方法與擬似然函數法的等價性,同時還驗證了該方法具有二階無偏性。文獻[9]推導出了文獻[8]中所提出方法的精度評定公式,通過模擬一個用激光雷達測量的滑坡模型驗證了偏差改正加權最小二乘方法比普通最小二乘方法的性能要好很多。文獻[10]通過模擬的直線擬合模型和數字高程模型(digital elevation model,DEM)驗證了Sterling插值方法可以使乘性隨機誤差模型的精度評定方法的精度達到二階。文獻[11]增加了一個真實的病態DEM數據案例來驗證文中提出的比例無跡變換(scaled unscented transformation, SUT)精度評定方法能夠得到更準確的參數估計且該算法在大地測量領域的適用性也更強。文獻[12]和[13]通過模擬的直線擬合模型和DEM模型驗證了更加符合現代大地測量手段的加性乘性混合型誤差模型的參數求解方法的有效性,其中偏差改正加權最小二乘法是二階近似無偏的,精度最好。之后,文獻[14]和[15]將加性乘性混合型誤差模型和智能優化算法相結合,通過模擬的直線擬合模型和改進的DEM模型驗證了兩者相結合后可以得到更快的收斂速度、更優的參數估值和更合理的精度信息。

以上對于加性乘性混合型誤差模型的參數估計方法的算例當中鮮少提及使用測邊網坐標平差算例來進行驗證。測邊網坐標平差模型用于測量邊長的測距儀的標準精度可以表示為:σSi=a+bSi,其中a和b可以很好的對應于加性乘性混合型誤差模型當中的加性隨機誤差和乘性隨機誤差。測邊網坐標平差模型是大地測量領域廣泛采用的數學模型,是一種利用邊長測量的觀測方法,其主要應用于對由大量測量邊長組成的測邊網進行處理。顯而易見,距離測量相對操作簡單可行,每一條邊長的觀測時間均較短,同時測邊網坐標平差模型被廣泛應用于確定區域內各個測量點的坐標,這對于地圖繪制、土地規劃和建筑工程等領域具有極大的實用價值。此外,該模型還能夠有效地校正測量誤差,提高測量精度。因此,對于測邊網坐標平差的加性乘性混合型誤差模型解算的研究十分有必要。

1 加性乘性混合型誤差模型及其求解

已有文獻中研究的加性乘性混合型誤差模型的數學表達式為[12]:

y=f(β)⊙(1+εm)+εa.

(1)

式中:y∈Rn×1表示觀測值向量;f(β)表示未知參數的函數;β∈Rt×1表示未知參數向量;n為觀測值數量,t為未知參數個數; ⊙表示向量或矩陣的哈達瑪乘積符號;1∈Rn×1表示元素全為1的列向量;εm∈Rn×1表示服從正態分布的隨機乘性誤差列向量;εa∈Rn×1表示服從正態分布的隨機加性誤差列向量。

y=Aβ⊙(1+εm)+εa.

(2)

E(y)=Aβ.

(3)

由式(2)和式(3)可得觀測值y的方差協方差陣為:

Dy=E[(y-E(y))(y-E(y))T]T=

(4)

將最小二乘準則應用到式(2)的加性乘性混合型誤差模型當中,可以得到目標函數的表達式為[13]:

min:F(β)=(y-Aβ)TP(y-Aβ).

(5)

(6)

(7)

式中:

(i=1,2,…,t).

(8)

(9)

單位權中誤差的估計式為:

(10)

2 測邊網坐標平差的加性乘性混合型誤差模型解算

測邊網是一種測量地面上點的方法,然而由于儀器誤差、環境條件和人為因素等各種因素的影響,測量數據可能存在誤差。為了提高測量精度,需要進行坐標平差。而坐標平差則是指在已知部分點的坐標和測量距離的情況下,通過數學方法計算出其余點的坐標,使得測量距離的觀測值與計算值之間的差異最小。

測邊網由一系列相互連接的點組成。其中,一些點的坐標事先已知,而其他點的坐標未知。已知點稱為控制點,未知點稱為掛點。相鄰點之間的距離和角度測量是測邊網的基礎。本文將選用參考文獻[16]中的例7～10來進行計算,該測邊網的基本計算步驟如下[16]:

1)根據所給已知點的坐標和已知測距邊長的信息,由邊長交會計算出待定點的近似坐標。如圖1所示,A,B,C,D為4個已知點,P1,P2,P3,P4為4個待求點,1～13為通過測距儀觀測得到的13條邊長,分別記為L1～L13,則待定點的近似坐標為:

圖1 測邊網示意圖

(11)

2)由已知點坐標和求解得到的待定點近似坐標計算出誤差方程的系數和常數項,列出整個網的誤差方程,誤差方程的個數對應測距儀所測得的邊長的個數。其中邊L2即邊AP1的誤差方程為:

(12)

(13)

其中:

l4=L4-SP1P2。

同理,可得到邊長L5,L9,L10,L12的誤差方程。

4)由步驟1)～3)所求得的信息組成法方程求解待定點的坐標改正值。根據步驟1)列出所有的誤差方程后可得到誤差和方程:

(14)

5)將待定點的近似坐標與待定點的坐標擬合值相加得到待定點的坐標平差值結果,求解單位權中誤差。

3 算例與分析

本文選用文獻[16]中的例7～10,采用測距精度為σs=3+1×10-6S的某測距儀觀測了13條邊長(S為測量邊長)。表1為已知點坐標,表2為觀測邊長。

表1 已知點坐標 m

表2 觀測邊長 m

根據表1的已知點坐標和表2的觀測邊長,通過勾股定理和邊長交會可以求解出4個待求點的近似坐標分別為:P1(48 580.270,60 500.505)m,P2(48 681.390,55 018.279)m,P3(43 767.223,57 968.593)m,P4(40 843.219,64 867.875)m。根據待定點P1,P2,P3,P4的近似坐標和已知點A,B,C,D的坐標求解出組成誤差方程的相關數據;若誤差方程計算過程中涉及到點A,B,C,D的坐標則選用式(12)計算,其余誤差方程的計算選用式(13)。求得該算例的誤差方程為:

(15)

其中待求的誤差改正數和測量長度平差值的單位均為mm。

根據文獻[16]中的例7～10的測距儀的標準精度σs=3+1×10-6S設置本算例中的加性乘性混合型誤差模型中的隨機乘性誤差的標準差為1×10-3mm和隨機加性誤差標準差為3 mm,令單位權中誤差為10 mm,觀測值的方差協方差陣由式(4)計算得到。使用本文提到的測邊網坐標平差的加性乘性混合誤差模型的WLS和bcWLS方法對待定點P1,P2,P3,P4的坐標平差值進行計算,求解得到的坐標改正值和單位權中誤差估值結果見表3,待求點點位中誤差結果見表4。

表3待求點坐標改正值和單位權中誤差估值 mm

表4 待求點點位中誤差 mm

如表3可知,本文所推導測邊網平差模型的加性乘性混合型誤差模型的WLS和bcWLS方法所求得單位權估值與設定的真值更加接近,且三種方法中的bcWLS所求得的結果最優。通過本文的WLS方法所求得的單位權估值比文獻[16]中的方法所求得的單位權中誤差估值提高了25.304%,通過bcWLS所求得的單位權估值比文獻[16]中的方法所求得的單位權中誤差估值提高了25.305%。通過本文的WLS和bcWLS方法所求得的待定點的坐標平差值與文獻[16]中的方法所求得的結果不相同,在點位P1和P2的x方向的坐標改正值結果與文獻[16]的結果相差明顯,在點位P2和P4的y方向的坐標改正值結果與文獻[16]的結果差距較小。

如表4可知,本文所推導的WLS和bcWLS所求得待定點的點位中誤差更小,精度更高;這是因為文獻[16]中的WLS所選用的權值與測距儀所測得的邊長有關,這些邊長均是含有誤差的,而本文的WLS所選用的權值根據文獻[16]中所求得的結果進行了一定的修正,bcWLS方法則進一步修正了WLS方法中的偏差項,因此通過bcWLS方法所求得的待定點坐標中誤差最小,精度最高。

4 結 論

現代大地測量數據處理領域當中的誤差模型大多為加性乘性混合型誤差模型。為了使該模型在處理實際數據時更具有優勢,本文首次引入加性乘性混合型誤差模型進行測邊網平差。通過實驗計算分析,表明加性乘性混合型誤差模型的WLS和bcWLS可以對根據測量值所得到的不正確的權值加以改正,通過本文所推導的WLS和bcWLS方法可以得到更準確的坐標改正值且得到的坐標改正值精度更高。