系統思辨　整體架構

顧婷婷 徐雪剛

現“量”“率”本是分數的一體兩面，無論從何處入手教學“分數的初步認識”都可能丟失“分數”認知的完整性，給學生的后續學習，尤其是分數應用題的解決帶來“負遷移”。為解決這個問題，文章以“平均分”為切入點，引導學生利用已有生活經驗自然對接“量”與“率”，使學生在認識分數之初便整體感知分數，體悟“量”和“率”的“共通處”與“區分點”，為后續分數學習打下更加全面而穩固的基礎。

［關鍵詞］教材；學情；整體架構；“量”“率”同行

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0022-08

●爭鳴：分數認識何處始？

關于“分數初步認識”一課的教學，可謂百家爭鳴，不同專家有不同的觀點：或從“量”切入，或從“率”開啟，都試圖讓學生更高效地認識和理解分數。特級教師朱國榮老師指出：“一開始就把分數教成一個量與另一個量的關系，不是一種合理的教學順序，這是學生難以理解和接受的根源。” 特級教師俞正強老師教學時是從“量”的認識開始，再到“率”的體悟，最后對兩者進行辨析。而劉善娜老師則質疑：“教材和配套練習中均是以‘率為主。如果三年級只教學‘量，后續分數的教學如何處理？”

●思辨：教學實踐何所依？

研讀教材，把握本質，是有效開展單元整合的前提。整合教材并不是盲目地改編教材，而是要在充分尊重教材的基礎上，抓住數學知識的本質和知識發展的主線。研讀教材不僅僅是針對某一節課的教材，還應從單元的角度、從整個小學數學教材的角度進行研讀，甚至可以從“同一知識體系”中小學教材的編排角度進行研讀，以理解教材的編排脈絡，全面把握教材的內容編排。為此，筆者對人教版教材中分數的相關內容進行了詳細的梳理，并進行了全面的學情分析。

一、讀教材——先“率”后“量”，“理想”“現實”有沖突

三年級上冊的教材，是從“一個物體為整體”過渡到“多個物體為整體”，讓學生逐步加深對分數所表達的“部分—整體”關系的認識。“分數初步認識”這一單元內容全都圍繞“率”這一基本含義展開（見表1）。

雖然這樣的編排充分考慮到了分數概念的抽象性及其理解方式的多樣性，但是還存在以下幾個問題。

（一）“學科”“學生”有沖突

考慮到“部分—整體”概念在分數中所處的地位，教材是讓學生先從重要的內容入手，因為這樣可以按照學科知識邏輯的順序進行教學。然而，小學生從一年級入學開始，接觸的數基本是“量”而非“率”，只有在三年級上冊“倍的認識”中，學生“臨時”接觸了一下“比率”。因此，在初步認識分數時，如果教師沒有明確解釋，學生對分數的第一印象會是“量”，還是“率”，抑或模糊不清？

（二）“相關教學”難銜接

三年級下冊的“小數的初步認識”，教材是利用[110]米、[110]元與0.1米和0.1元進行對接（見表2），讓學生通過十進制分數初步認識小數。這是教材中首次出現“量”的分數。在這之前學生從未在教材中接觸過帶單位的分數。在“小數的初步認識”中直接讓學生用含義是“量”的分數作“橋梁”進行銜接，學生是否存在理解困難？

（三）“配套練習”有糾結

教材編排的習題（如圖1-1、1-2）原意是想體現分數的“率”，但又沒有點明，這樣難免引起學生的誤解，造成學生混淆“量”“率”，因為如果要真正體現含義是“率”的分數，如圖1-3、1-4所示的習題更合適。

配套的課堂作業本在“分數的初步認識”這一單元中多次出現“量”的習題（如圖2-1、2-2）。教材和教學目標都未體現“量”，為何配套的課堂作業本中頻繁出現“量”的習題？

（四）后續學習存“痛點”

五年級下冊“分數的意義”在單位“1”中呈現分數“率”的含義（見表3）。“分數與除法”是教材首次出現“量”，但后續直接呈現“量”“率”結合的題目，學生還來不及辨別“量”“率”的差異，“量”旋踵即逝，這樣的編排是否會給學生的后續學習留下“痛點”？

二、察學情——“量”“率”同行，“雙線”并進有基礎

整合教材的研究一定要關注學生學情，離開了學情，一切整合都沒有任何意義。筆者對三所不同層次學校的136名學生進行前測，前測問題及前測結果如下。

問題 1：你知道“分數”這種數嗎？如果知道，請告訴老師你是怎么知道的。

將近一半的學生認識或者聽說過分數，也會用自己的語言表達（如圖3）。因此，對于經驗并不豐富的學生，教師只要在課堂上讓數學與生活建立溝通，就可以幫助學生理解分數。

問題2：（1）“[12]”這個分數表示什么意思？請你寫一寫。（2）用涂色的方法在圓（如圖4）里涂出“[12]”。

對于第（1）題，雖然很多學生對[12]含義的表達存在困難，但也有不少學生能用自己的語言表達（如圖5）。

對于第（2）題，雖然存在畫錯的情況，但有不少學生能基本畫對，畫錯的學生基本是先將圓分成了2份，再將其中1份涂色（如圖6）。只是不管是表達還是涂色，學生都還未意識到要“平均分”，因此教師要引導學生理解分數中的“分”指的是平均分，因為只有平均分才能產生合適的分數。

問題 3：如圖7所示的6 幅圖的陰影部分在表示“[12]”時，有些是正確的，有些是錯誤的。請你判斷對錯，并寫出你的理由或依據。

由表4可知，學生已初步感知到[12]可以表示不同數量的圖形，即使是相同的數量，因其平均分的份數不同，也會用不同的分數表示。

“水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮。”學生有經驗，自然就有教育的可能和空間。通過學情分析，筆者認為學生對“量”的分數有更多的知識基礎和生活經驗，教師只要設計好情境，調動學生已有的經驗，引導學生用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“形象的”去解釋“抽象的”，數學學習就會變得簡單有趣。

●踐行：整體架構如何定？

對于“分數的初步認識”一課，只關注“量”，或只關注“率”，都會人為地割裂了“分數”的整體性，讓學生對后續分數的學習產生“負遷移”。因此，筆者嘗試對三年級上冊和五年級下冊的分數內容進行重組整合。

一、整體架構，重組教材內容

在“分數的初步認識”一課中重組教材內容做“加法”，將“分數與除法”的例1、“幾分之一”與“分數的簡單應用”的例1整合為一節課，對接學生的現實起點，體現知識的結構性，在分數概念建構初期幫助學生清晰地認識分數。同時，在教材目標上做“減法”，學生只需感知分數的兩重含義，會用簡單的語言、涂色、畫圖等方式來辨別“量”“率”即可。重組整合如圖8所示。

[整合前 三年級上冊 認識幾分之一 認識幾分之一 比較幾分之一的大小 認識幾分之幾 認識幾分之幾 比較同分母分數的大小 分數的簡單

計算 同分母分數的簡單加、減法 1減去幾分之幾 分數的簡單

應用 體會“1”是群體時分數的含義（例1） 已知“1”，求“1”的幾分之幾簡單實際問題（例2） 五年級下冊 分數的意義 認識單位“1”和“分數單位” 分數與除法 分數與除法（例1、例2） 求一個數是另一個數的幾分之幾 ][整合后 三年級上冊 認識幾分之一

（“量”“率”并進） 分數與除法（例1）

認識幾分之一

分數的簡單應用（例1） 練習課 認識幾分之幾

（“量”“率”并進） 認識幾分之幾 練習課 分數的簡單應用 分數的簡單應用（例2） 分數的大小

比較與計算 比較同分母分數的大小 比較幾分之一的大小 同分母分數的簡單加、減法 五年級下冊 分數的意義

（“量”“率”并進）

認識單位“1”和“分數單位” 分數與除法 分數與除法（例2） 求一個數是另一個數的幾分之幾 ]

圖8? ? 分數內容整合前后的對比

打破三年級和五年級的知識邊界，將五年級下冊“分數與除法”的例1移至三年級起始課，分解三年級分數的相關內容，將“認識幾分之一”和“分數的簡單應用”的例1整合，拓展認識“率”。練習課設計“量”“率”結合的習題鞏固新知，后續“認識幾分之幾”、“分數的簡單應用”的例2、“分數的意義”等內容皆“量”“率”并進。對“分數的大小與比較”也做了適當調整，先教學“同分母分數的大小”，后教學“幾分之一的大小”。因為認識幾分之一和幾分之幾后，學習“同分母分數的大小”比學習“幾分之一的大小”容易。

二、教學實踐，尋求“并進”之法

吳正憲老師曾說：“要敢于打亂教材的安排順序，將教材中容易混淆的概念安排在同一節課中學習，用比較的手段來辨析概念的內涵”“‘量‘率本是同根生，教學何不一起行”。 筆者遵循學生學情，起始課是從“量”含義出發帶領學生認識分數，利用學生的生活經驗引出“率”含義，再“量”“率”并進，呈現分數的全貌。

筆者對“分數的初步認識”一課進行了全新的設計（如圖9）。

[喚醒經驗][轉換經驗][對接經驗][超越經驗][經歷分餅，了解[12]個][多元素材，豐富[12]的含義][動手操作，創造[12]張][與生活對接，揭示“率”的含義][由“1”及多，助推“率”的生長] [分數的初步認識]

任務一：喚醒經驗——創設情境，引出“量”的含義

三年級學生在生活中已經有平均分的經驗，有半個、半塊、月餅的一半、蘋果的一半這樣的生活經驗。在課堂教學中，若以這些經驗為生長點，“生長”出新的知識，就能完成整數到分數的過渡。這樣，分數就能在“經驗”與“數學”中自然生長，無縫銜接，符合學生的認知發展過程。

【教學片段1】除法的應用

師：什么時候會用除法呢？

生（齊）：平均分東西的時候。

師：4個餅平均分給2個人，每人幾個？

生1：4÷2=2（個）。

師：其中的4、2、2分別表示什么意思？

（學生回答略）

師：2個餅平均分給2個人，每人幾個？

生2：2÷2=1（個）。

師：其中的2、1表示什么意思？

（學生回答略）

師：1個餅平均分給2個人，每人幾個？

生3：1÷2……

師：每人得到幾個？

生4：半個。

“平均分”這一概念是學生認識分數的重要基石。教學從學生熟悉的平均分引入，先回顧除法中蘊含的平均分過程，再利用“1÷2=”這一問題激活學生認識新知的動力，同時也闡明了分數產生的價值所在，為學生后續的學習做好鋪墊。

任務二：轉換經驗——自主探究，構建“量”的特征

教育并不是一件“告知”和“被告知”的事情，而是一個主動的、建設性的過程。雖然不同的教學方式都能讓學生學會知識，但給學生帶來的學習感受卻千差萬別。自主探究能讓學生在探尋知識的過程中有不同的收獲。

【教學片段2】經歷分餅，了解[12] 個

師（出示月餅圖，圖略）：請分一分這個月餅，怎么分？不對折可以嗎？

（學生回答略）

師：把這個月餅平均分成2份，其中1份就是你們說的半個，半個還可以表示為[12]個。

師：這半個月餅是[12]個，那么另外半個呢？1÷2是多少？

（學生回答略）

師：聽說過[12]嗎？它和以前學習的數有什么不一樣？它表示什么意思呢？

師（出示三種分月餅的方法，如圖10所示）：它們分成的每一份都是[12]個嗎？

（學生回答略）

圖10

【教學片段3】多元素材，豐富[12]的含義

師：之前我們分1個月餅，分得的月餅不是整個的，分數就出現了。

師（出示圖11）：看圖，請按“把（）平均分成2份，其中1份就是（）”說一說。

師：不管是分什么東西，只要是平均分成2份，其中的1份就可以用[12]個或[12]顆或[12]根來表示。

師（出示圖12）：用分數表示涂色部分。

教師提供豐富的素材，通過不同素材的比較和概括，學生可以更深入地理解分數的形成過程。在板書和課件上完整呈現數學語言，并幫助學生表達，是一種很有效的教學策略。因為在一次次的表述和討論中，學生能夠感受到分數與其他概念之間的聯系和區別，進一步加深對分數的理解。

【教學片段4】動手操作，創造[12]張

師：接下來動手折一折，并試著在紙上涂出[12]張紙。

師：為什么折法不同，涂色部分的形狀也不同，卻都是[12]張紙？

師：這張紙除了可以平均分成2份，還可以平均分成幾份呢？

（教師展示學生作品，如圖13所示。）

（教師引導學生說出“把1張紙平均分成幾份，其中1份是[1（? ? ? ）]張”。）

學生通過動手折出[12]張紙，體會異中求同，深化對幾分之一的理解。讓學生自主制作出[1（? ? ? ）]張紙，學生就能從“圖形表征”“語言表征”“數字表征”三個維度去豐富和完善“量”的數學模型，進一步加深對分數“量”的理解。

任務三：對接經驗——與生活對接，揭示“率”的含義

“種子”的力量在于生長。對“種子課”中新概念的認知越全面，在之后的“生長課”教學中，學生就能夠更高效地學習新知，進而實現“減負增效”的目標。

【教學片段5】關聯“量”與“率”

師：我們了解了很多分數，有[12]個，[13]張等，那么分數是怎么來的呢？

生1：平均分得來的。

師：是的，把1個月餅平均分成2份，其中1份就是半個，也就是幾個？

生2：[12]個。

師：也有小朋友說這1份是月餅的一半，一半怎么表示呢？

師：一半就是[12]，也可以說這1份是月餅的[12]。

（教師出示練習，如圖14、圖15所示。）

從“量”到“率”的過渡，一直是整個教學設計中的難點。生活中，將一個月餅平均分給2個人，通常會說每人得到“半個”或者是“月餅的一半”。“半個”對應分數中“量”的含義，即“[12]個”；而“一半”則對應“率”的含義，即“月餅的[12]”。教學從學生的生活出發，自然實現“量”“率”的銜接。

任務四：超越經驗——由“1”及多，助推“率”的生長

學生是發展中的人，教學中要關注學生的發展，要用發展的眼光看待學生。要想學生“跳起來摘桃子”，那么適當的拓展就必不可少。如從“一個物體”延伸至“一些物體”，學生就能感知每一個“率”都有其對應的“量”，“量”和“率”是相輔相成的。

【教學片段6】拓展延伸

師（出示圖16）：把2個月餅平均分給2個人，每人得到了1個，那么這1個是2個月餅的幾分之幾？

師（出示圖17）：4個月餅，平均分給2個人，每人得到2個，這2個是4個的幾分之幾？

師：分數不僅可以在分1個月餅時用，在分2個、4個等多個月餅時也可以用。

師：回答以下幾個問題。

（1）你家里有（? ? ）人，你是（? ? ）人中的一個，也就是[（? ? ? ?）（? ? ? ?）]；

（2）這一列有5人，你是5人中的一個，也就是[（? ? ? ?）（? ? ? ?）]；

（3）全班有（? ? ）人，你是其中的一個，就是[（? ? ? ?）（? ? ? ?）]。

此拓展環節中，由平均分1個月餅回到平均分2個、4個月餅，與教學初環節相似卻更進一步，讓學生從“1”走向“多”，建立起“一個整體”的概念，幫助學生打通理解“量”與“率”的節點。因此，在認識“一個整體”的幾分之一時，表示“量”和“率”的分數含義得以真正凸顯，學生也就能夠清晰感知分數的兩層含義。

●反思：“量”“率”并進也能“行”

“量”“率”并進效果如何？筆者對試教的兩個班級進行了后測，問題如圖18-1所示，結果如圖18-2所示。

后測結果顯示，三年級學生具備了辨析分數“量”“率”雙重含義的能力，“量”“率”并進是可行的。

“量”“率”并進的整體教學思路，不僅能豐富分數認識的維度，同時也解決了學生后續學習“小數的初步認識”中的認知斷層問題，學生在今后學習分數時不再“望而卻步”，同時增強了學習自主性。綜上所述，“量”“率”并進有需求，有基礎，也有方法。“量”“率”本一體，無須先后行。

“權威的教材也要敢于動刀。”這是成尚榮先生對新一輪基礎教育課程十年改革的概括和判斷，這樣堅定回答的底氣來源于“以生為本”的教學理念。當然，對分數“量”“率”并進的可行性進行實踐嘗試，不能僅停留在“種子課”的實踐中，在后續的教學中也應一以貫之。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 方蘇云.兒童視角·單元立意：“分數的初步認識”的整合設計與實踐[J].教學月刊小學版（數學），2020（4）：31-36.

[2] 曹洋.起始知識應起于經驗，長于未來：以《分一分（一）》教學設計及反思[J].小學教學研究，2017（35）：65-67.

（責編 金 鈴）