“排隊問題”的魔力

4月9日

星期二

天氣：晴

大地回春，萬物萌生，迎著春光，懷揣著期待，終于到了春游的日子，全班同學興高采烈地登上了大巴車，來到了郊外的月亮島風景區。

列隊前行

月亮島碧水環繞，景色迷人，具有質樸、粗獷、天然無飾的原野風光特色。春天的月亮島更是山花爛漫、芳草萋萋、綠葉盈枝、鳥雀齊鳴、流水叮咚、清泉飛瀑，一幅萬籟俱唱、繁花盈野的景象。大家都陶醉在這美麗的景色中，于是走著走著就走散了。

這下老嚴著急了，月亮島這么大，萬一走丟了可麻煩了。還好班級的同學們之前剛剛訓練了走隊列，老嚴說：“不如大家排成隊伍再走，這樣也讓人家看看我們的精神風貌！”

在老嚴的指揮下，很快大家分男女排成了兩隊。

“數學課代表呢？快速算一下班級人全不全，看看有沒有掉隊的?！崩蠂勒f道。

陸小豆還有點不太習慣自己的身份，愣了一下才反應過來，只是隊伍站得很緊密，游人又很多，他自己也在隊伍中，不太方便查數。于是他旁邊的趙依茗和李嘉陽給他提供了數據。

趙依茗站在女生隊伍里，她說自己前面有7人、后面有8人。

李嘉陽站在男生隊伍里，他說自己是從前面數第7人、后面數第9人。

陸小豆在男生隊伍里是從前面數第4人。

“呃……這應該不難，我算算……7加8加7加9，怎么感覺不對呢？”

“錯了錯了，完全錯了，這么簡單的間隔陣列問題你都搞不清，難怪未來世界又亂作一團！”學霸精靈忽然冒了出來，給了陸小豆一個“奔雷掌（就是用貓爪拍他的腦門）”。

物理學家和化學家的集體聲討

“你看看，你看看，”學霸精靈一邊投射出未來世界的新聞，一邊氣哼哼地說道，“未來的物理學家和化學家都集體罷工了！所有的科研機構都陷入了癱瘓。”

“這和我有什么關系？”陸小豆一臉懵。

“當然有關系，你要知道間隔和陣列可是物理化學研究中的很重要的概念，有著廣泛的應用。比如把不同顏色的光波按照波長的大小排列，形成的叫做光譜，有一種科學就叫光譜學。還有化學中研究的力的來源，分子由于不規則運動碰撞發生了化學反應，這就是化學動力學……”學霸精靈一下子說了很多。

“說的都是些什么？我一個也聽不懂。不過就是排個隊的事，怎么讓你說得這么復雜?！标懶《箵狭藫项^。

“也是，你還是個小學生，說太多你也不懂，總之你就知道間隔和陣列的知識很重要，是科學研究的重要理論就行了。你必須學好！你這次的錯誤，讓未來很多科研設備都出現了混亂，比如病人生病需要的核磁共振成像檢查，都會無法檢測出病灶，總之還會有許多科學研究都將無法進行?！?/p>

“又不知道你在說什么了？總之……我改還不行？”說完陸小豆摁下了學霸變身器，他的眼神一下子變得炯炯有神。

8+7=15（人），漏算了趙依茗，所以女生隊伍總人數應該是15+1=16（人）。

7+9=16（人），把李嘉陽多算了一次，所以男生隊伍總人數應該是16-1=15（人）。

男生隊伍共有15人，我是前面數起第4人，所以我后面顯然應該是15-4=11（人）。如果從后面數起，我應該是第11+1=12（人）。

真希望你能一直是這個狀態，算的全都對！

在處理直線或環線上的排列問題時，我們需要深入理解間隔數與端點數之間的數量關系。另外，將物體排成陣列形式的問題，則需要從“層”的角度來考察陣列的數量規律，并結合等差數列的相關知識進行計算。

難度：

在長為10米的小橋一側每隔1米插一面彩旗，小橋兩端都要有彩旗。一共需要多少面彩旗？

答案：11面

解答：小橋全長是10米，相鄰兩面旗的間隔是1米，則共有10÷1=10（個）間隔。

兩端都有彩旗，則彩旗面數=間隔數+1，所以一共需要11面彩旗。

難度：

學校有一個圓形水池，水池的周長為40米。如果繞著水池每隔4米種一棵樹，一共要種幾棵樹？

答案：10棵

解答：每個間隔的長度為4米，水池周長為40米，所以一共有40÷4=10（個）間隔。

從示意圖上可以發現樹的棵數和間隔數一樣多，所以10個間隔正好要種10棵樹。

難度：

一塊綠地由3塊相同的等邊三角形草地和一個水池組成，現在要在草地上種花，要求在草地與草地的公共點處種上花（即圖中的A、B、C點），且每塊草地上的花朵排成一個三角形實心點陣，每塊草地上最外層的每條邊上有10朵花。請問：整個綠地一共要種多少朵花？

答案： 162朵

解答：每個三角形陣列每邊都有10朵花，所以每塊草地都有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 55（朵）花。

3塊草地加在一起共有55×3=165（朵）花。

三角形連接處的點被算了兩次，多算了1次，必須減去。因此，整個綠地一共種花165—3=162（朵）。

難度：

水池周圍種了一些樹，墨莫和卡莉婭沿順時針方向繞水池散步，邊走邊數樹的棵數。由于兩人的出發地點不同，因此墨莫數的第20棵在卡莉婭那兒是第7棵，墨莫數的第7棵在卡莉婭那兒是第94棵。請問：水池四周一共種了多少棵樹？

解答：兩棵樹分別為A和B。由于這兩棵樹在墨莫和卡莉婭那兒的編號不同，因此把墨莫和卡莉婭的編號分開看。先看墨莫。墨莫數的是第7棵和第20棵，就在圓內部沿順時針方向標出7和20，并順便標出附近幾棵樹的編號。

再看卡莉婭，由題意可知，A點是卡莉婭數的第94棵，B點是卡莉婭數的第7棵。把所有的樹分成左右兩部分，把它們分別數清楚。

墨莫數到A時是第7棵，到B時是第20棵，因此，從A順時針到B（不包含A、B）是墨莫數的第8，9，10，…，19號，有19—8+1=12（棵）。卡莉婭數到B時是第7棵，到A時是第94棵，因此，從B順時針到A（不包含A、B）是卡莉婭數的第 8，9，10，…，93號，有93—8+1=86（棵）。再加上A、B這2棵，水池四周一共栽了2+12+86=100（棵）樹。

難度：

這是一些棋子擺成的正三角形點陣，和“空心方陣”類似，也可以有“空心三角陣”。

（1）如果有一個5層的空心三角陣，最外層每邊有20枚棋子，那么一共有多少枚棋子？

（2）如果一個空心三角陣共有294枚棋子，那么它最多有多少層？

（3）如果一個空心三角陣共有294枚棋子，不止一層，那么它的最外層最多有多少枚棋子？

（4）已知一個空心三角陣共有108枚棋子，如果增加42枚棋子后可以讓它增加一層，請問：如何增加這42枚棋子？

答案：（1）195枚；（2）7層；（3）87枚；（4）中心用7枚補一條邊，外面用35枚補兩條邊

解答：（1）最外邊每邊是20枚棋子，那么最外層有 20×3—3=57（枚）棋子。

觀察可知，每往里一層減少9枚棋子，那么從最外層向內依次為48枚、39枚、30枚、21枚，總和為 39×5=195（枚）。

（2）要讓層數盡量多，最內層的棋子數應該盡量少，首先用最內層1枚棋子的情況估算一下，不會超過8層，可以從8層開始往下討論，發現7層是符合條件的，那么它就是最大的情況。

（3）最外層要盡量地多，也就是說層數要盡量地少，從2層開始討論，發現4層的時候是符合條件的，最里層是60，最外層是60+3×9=87（枚）。

（4）首先通過分類討論層數計算出來108枚可以擺成最內層每邊10枚的三層三角形，最外層每邊16枚，如果只在里面加一層，那么棋子會多，如果在外面加一層，那么棋子不夠，所以是另外一種加法：在里面加一條邊，用去7枚棋子，然后在外面加兩條邊，用去35枚棋子，42枚棋子正好用完。

“間隔和陣列”的廣泛應用

生態學：在生態學中，陣列和間隔的概念可以用于研究物種的分布、生態系統中的相互作用等。

金融和經濟：在金融建模和經濟學中，間隔和陣列的數學概念可以用于分析時間序列數據、市場趨勢等。

醫學成像設備：在核磁共振成像（MRI）和計算機斷層掃描（CT掃描）等醫學成像設備中，陣列技術常用于設計多通道天線陣列，以提高圖像分辨率和減少噪音。

無線通信：在無線通信中，多天線系統（MIMO）利用陣列技術，通過調整發送和接收天線的間隔，以提高通信系統的容量和可靠性。例如，Wi—Fi路由器和移動通信基站就采用MIMO技術來改善數據傳輸性能。

聲吶技術：在聲吶系統中，陣列技術常用于設計聲吶陣列，用于定位和跟蹤水下目標。這在海洋勘測、潛艇監測等方面具有重要應用。

天文學：射電天文學中的射電望遠鏡陣列利用天線的間隔來合成更大的有效孔徑，從而提高分辨率和靈敏度，用于觀測天體。

數碼攝影：數碼相機和手機攝像頭中的圖像傳感器陣列使用了排列和間隔的概念，以捕捉和處理光信號，提高圖像質量。

衛星遙感：在衛星遙感中，衛星傳感器通常以陣列形式布置，以便更好地捕捉地球表面的圖像，用于監測環境、農業、城市規劃等。

未來的科學家可不是那么好當的。

這就是數學的魔力！