楊森公式和深倉側壓力計算

張美梅，李新南

（上海市建筑材料工業設計研究院有限公司，上海 200032）

0 引言

圓筒倉（深倉）廣泛應用于建材和糧食等行業的物料貯存。目前，對于深倉側壓力的計算，國內外普遍采用楊森計算公式。在GB 50077—2003 《鋼筋混凝土筒倉設計規范》中也明確規定，深倉側壓力計算以楊森公式為主，并輔乘修正系數來進行調整。這種計算方法已延續多年，但我們在引用計算公式時發現，楊森公式無論在計算假設還是在計算所得結果方面均存在很多問題。因此，必須深入研究這些問題產生的根源并予以解決。筆者依據散粒體的物理特性，在研究和分析楊森公式的基礎上，推導出新的深倉側壓力的計算公式。

1 楊森公式的運用及問題分析

當前計算圓形深倉中的散粒體對倉壁和倉底所產生的壓力時，楊森公式的推導依據如下。

假設散粒體任意一點（包括倉壁）的水平壓力qx與垂直壓力qz成正比。即：

式中：Ka為主動側壓力系數。

假設散粒體沿倉壁滑動的阻力為τ:

式中：f0= tanφ0為散粒體與倉壁的摩擦因數；φ0為散粒體與倉壁的摩擦角。

在距倉頂深度為Z處取一層厚度為dz的貯料單元體，如圖1 所示。單元體上的作用力有：自重γFdz（F為單元體面積，γ為散粒體重度），垂直壓力qz和下面的反力qz+ dqz，倉壁上的滑動阻力τ。列出在各力作用下的平衡方程，對該方程進行積分，最后得到楊森公式中垂直壓力qz的計算式：

圖1 貯料單元體受力示意Fig.1 Schematic diagram of the force of the storage unit

倉壁的水平壓力qx可利用式（1）求解。雖然楊森公式已成功應用于深倉的設計實踐，但是早期依據楊森公式設計的鋼筋混凝土深倉屢次出現問題，主要表現在倉壁出現垂直裂縫。許多學者為追查原因而進行多次試驗，發現式（3）給出的計算壓力與實際壓力相比偏小，因而許多國家的筒倉計算規程和我國的筒倉計算規范規定：倉底長度為2/3倉高的下部倉壁的水平壓力qx比式（3）計算出的水平壓力增大一倍。由此可見，楊森公式是一個被試驗所推翻的計算公式，可以說楊森公式的假設是不成立的。

前蘇聯學者克列因認為：試驗結果與楊森公式的差別主要是按式（1）給出的主動側壓力系數Ka偏低。因為剛性倉壁的彈性位移太小，散粒體不可能出現完整的滑動面，不可能產生主動側壓力。所以克列因主張在計算時采用靜止側壓力系數K0，它比極限狀態下的Ka值大很多，例如谷物的平均Ka= 0.3，而K0= 0.7。

依據克列因的分析，分別采用Ka= 0.3 和K0=0.7代入式（1）和式（3）進行計算，所得結果是：2種情況下的倉底水平壓力幾乎一致，但倉底的垂直壓力卻有差距，與實際壓力相比，式（3）所得結果還是偏小很多，由此可見，楊森公式計算所得結果比實際壓力偏小的原因不是主動側壓力系數Ka偏低，而在于假設基本不成立。

對式（3）進行研究和分析后得到：式（3）給出的計算壓力比實際壓力偏小的原因在于楊森公式的第二條假設：考慮散粒體沿倉壁滑動的阻力τ，這個阻力τ的計算值很大，致使倉底的垂直壓力減小很多。由于qz減小，倉底的水平壓力qx也隨之減小。現通過計算例題進行說明。

設有一組深倉，高h=20 m；內徑D分別為5、8、10、12 m；γ=17 kN/m3；散粒體的內摩擦角φ= 30°，散粒體與倉壁的摩擦角φ0= 25°。

按式（3）和式（1）計算出每種倉的倉底垂直壓力qz和倉底水平壓力qx。每種倉散粒體總重W，每種倉倉壁總的摩擦阻力∑τ，∑τ和W的比值，計算結果見表1。

表1 各種內徑筒倉qz、qx、W、∑τ和β的計算結果Tab.1 Calculation results of qz、qx、W、∑τ and β of various inner diameter silos

（1）當不考慮阻力τ時，深倉倉底的垂直壓力應為：qz=γh= 17 kN/m3× 20 m = 340 kPa。考慮阻力τ后，倉底的qz減小很多。如D=5 m 的深倉，qz由340 kPa 減小至126 kPa，β=0.63。即使是D=12 m 的深倉，qz也由340 kPa 減小至211 kPa，倉中散粒體的重力很多都轉至倉壁上，致使倉底的qz和qx均比實際壓力小很多。

（2）計算深倉時，是否應考慮τ值？按照楊森公式的假設，散粒體沿倉壁滑動而產生阻力τ。但是當貯料靜止時，散粒體不產生滑動，因而阻力τ也不存在。考慮了阻力τ以后，將使計算偏于不安全，計算所得的垂直壓力qz和水平壓力qx大幅度減小。結構計算的基本原則是考慮最不利的因素，而考慮阻力τ是有利因素。

2 “新的”深倉側壓力的計算

基本假設如下：1）依據散粒體的物理特性，深倉中散粒體對倉壁的作用力為E，其方向是由散粒體的內摩擦角φ指向倉壁；2）由于深倉倉壁的剛度很大，在計算時采用靜止側壓力系數K0；3）倉中散粒體除了對倉壁產生水平壓力qx外，還對倉壁產生垂直壓力qy。

在深倉截面中，采用單位圓周長所對應的扇形截面abo作為計算單元，如圖2所示。

圖2 圓庫貯料受力示意Fig.2 Schematic diagram of the force of the circular warehouse storage

圖2 中，E為散粒體對倉壁所產生的作用力，力的作用方向是由散粒體的內摩擦角φ指向倉壁；Gz為距倉頂深度Z處扇形截面abo中的散粒體重量；qx為散粒體對倉壁所產生的水平壓力，即靜止側壓力；qy為散粒體合力E對倉壁所產生的垂直壓力。

式中:Kw0為單位重量散粒體的靜止側壓力系數。

目前引用的都是單位重量散粒體的靜止側壓力系數K0，依據靜止側壓力系數的定義：靜止側壓力系數為水平應力σh和垂直應力σv的比值，即：

但是目前所引用的靜止側壓力系數K0卻不符合定義。目前計算靜止側壓力的公式為：

圖3 散粒體作用于擋墻示意圖Fig.3 Schematic diagram of the action of the bulk particles on the retaining wall

由式（9）和式（10）得：

在距倉頂深度為Z處扇形面積上散粒體的重量為：

式中：R為深倉半徑。

重量為Gz的散粒體對倉壁所產生的靜止側壓力即水平壓力為：

因為計算所取的單元為扇形，而扇形面積僅為矩形面積的一半，所以在求水平壓力qx時，必須乘上面積折減系數S=0.5，此時式（13）改為：

依據散粒體的物理特性，散粒體對倉壁作用力E的方向是由散粒體的內摩擦角φ指向倉壁，因此散粒體除了對倉壁產生水平壓力qx外，還對倉壁產生垂直壓力qy：

單元體中散粒體的重量原是Gz，由于產生垂直壓力qy，因而Gz減小為：

由于散粒體的重量由Gz減小為G，因而散粒體對倉壁所產生的水平壓力qx為：

代入式（15），整理后得到倉底垂直壓力的計算式為：

由式（19）可知，倉底垂直壓力僅與倉高H和φ有關，而與倉徑大小無關。

計算例題：深倉內徑D=10 m，高h=20 m，γ=17 kN/m3，φ=30°，靜止側壓力系數K0= 1 - sinφ=0.5，要求計算倉底水平壓力和倉底垂直壓力。

倉底單元扇形面積上散粒體重量GH為：

單元散粒體對倉壁所產生的垂直壓力qy為：

3 算例及分析

為了研究和分析深倉中散粒體產生的水平壓力和倉底垂直壓力，對一組深倉進行計算。

設有一組鋼筋砼深倉：倉高h均為20 m；倉直徑D分別為5、8、10、12 m；貯料的散粒體內摩擦角φ為40°、35°、30°和25°；散粒體重度γ=17 kN/m3，散粒體與倉壁的摩擦因數f0=0.466；靜止側壓力系數K0=1 - sinφ。計算倉底垂直壓力和水平壓力。

按以下3 種計算方法進行計算：1） 楊森公式。2） “筒倉計算規范”所規定的方法。3） 本文所推導的公式。結果詳見表2。依據表2中計算結果可知：

表2 用3種公式計算所得各直徑深倉不同貯料的水平、垂直壓力Tab.2 Horizontal and vertical pressure results of different storage materials of each diameter deep silo calculated from 3 formulas

（1） 楊森公式計算所得結果的確偏小很多。

（2） 楊森公式假設散粒體對倉壁的作用力是垂直于倉壁的，這不符合散粒體的物理特性。依據散粒體的物理特性：散粒體對倉壁的作用力方向是由散粒體的內摩擦角φ指向倉壁。

（3） 楊森公式引用主動側壓力系數Ka來計算散粒體的側壓力。由于倉壁不存在位移，實際上這個系數在計算中是不存在的。

（4） “筒倉設計規范”對深倉側壓力的計算規定以楊森公式計算為依據，考慮到楊森公式計算結果比實際壓力偏小太多，因而在使用楊森公式計算時，引用貯料壓力的修正系數C，使楊森公式計算所得結果比較符合實際壓力。“規范”規定，倉底垂直壓力的修正系數Cv=1.4；在長度為2/3 倉高的下部倉壁，倉底水平壓力的修正系數Ch=2.0。按照楊森公式的假定：散粒體的任意一點的垂直壓力qz與水平壓力qx成比例，為什么在引入修正系數C進行調整時，水平壓力qx的修正系數Ch=2.0，而垂直壓力qz的修正系數Cv=1.4？這是由于引用了偏小的修正系數，使得垂直壓力的計算結果偏小很多。

本文所推導的計算公式主要依據是引用了散粒體的靜止側壓力，因而靜止側壓力系數K0的取值是否恰當，將影響到壓力的計算值是否符合真實的壓力值。在表2 中，計算所采用的K0值是引用Jaky 所提出的K0= 1 - sinφ的經驗計算公式。該式是在大量室內試驗的基礎上經統計而得到的。由于是經驗公式，不可能把全部試驗數據都歸納進去，因而誤差難以避免。由于K0值的不定性，導致本文計算公式所得結果與實際壓力可能存在偏差。

按“規范”規定：楊森公式計算結果乘以修正系數后所得的壓力值存在3 種情況：1） 與實際壓力相符合；2） 比實際壓力偏大；3） 比實際壓力偏小。

4 結語

本文推導得出的公式主要依據散粒體的物理特性，以及假設圓筒倉中散粒體所產生的側壓力是靜止側壓力。公式的物理概念清楚且計算簡單。由實例計算結果得知，本文公式計算所得結果與“規范”所規定的計算方法所得結果比較接近，有些甚至是相同的。