數學學科核心素養下的章起始課教學設計

陸燕萍

［摘? 要］ 章起始課具有承上啟下的銜接功效. 文章以“統計”的章起始課教學設計為例，具體從教學分析、教學過程與教學思考三方面展開闡述. 教學過程包括“情境創設，導入主題”“應用實例，提出問題”“實施探究，建構概念”“練習訓練，總結提升”等環節，研究者對每一個環節的設計談了一些看法.

［關鍵詞］ 章起始課；數學學科核心素養；統計

章起始課一般以介紹本章節的基礎概念為主，因為難度系數較小，常被教師忽略. 殊不知，良好的開端是成功的一半. 一方面，上好章起始課不僅能為接下來的教學奠定知識與方法基礎，還能讓學生從宏觀的角度整體把握學習內容，為完善知識體系服務；另一方面，關注章起始課教學，能有效調動學生的探索欲，培養學生的“四基”與“四能”，發展學生的“三會”能力，為核心素養的形成與發展奠定基礎［1］.

教學分析

“統計”是人教A版數學必修第二冊第九章的內容，其章起始課雖然知識點不多，難度也不大，但蘊含的數學思想方法很豐富，對發展學生的整體觀與數學學科核心素養具有重要意義. 縱觀整個章節，都是從經典例題出發，引導學生在自主探索與合作交流的基礎上對數據進行搜集、整理，并基于數學視角進行專業分析的過程，讓學生在此過程中提煉統計思想，感悟學習統計知識的必要性.

本章節共有4個課時，分別是簡單隨機抽樣、用樣本平均數估算總體平均數、分層隨機抽樣、獲取數據. 在章起始課之前，教師要站在整體角度來分析整個章節的教學內容，盡可能為學生初步搭建一個知識或研究方法的框架，為后續教學奠定基礎.

教學簡錄

1. 情境創設，導入主題

借助信息技術分別展示我國第七次人口普查情況、學生高考分析情況、2022年國內生產總值、班級近期各科考試得分情況、奶粉抽檢情況以及某電視臺的收視率等數據. 通過大量數據的展示，引發學生回憶普查和抽樣調查等概念.

師：以上所展示的各組數據，在每一個領域中都起著無可替代的作用. 如根據人口普查結論，我國不僅開放了二胎政策，還倡導三胎，這說明大數據及統計對我們的生活、生產以及政府決策都有著重要意義. 本節課我們一起來開啟一個新的篇章，之前大家接觸過關于統計的部分知識，如圖1所示，此為處理數據的一般流程.

學生在教師的引導下，不僅回顧了初中階段所接觸的關于普查與抽樣調查等統計學知識，還進一步體悟到數學是分析與解決一些生活實際問題的工具.

設計意圖 借助多媒體展示問題情境，意在激發學生對本章節內容的探究興趣. 舊知是新知的“先行組織者”，通過新舊知識的聯系揭露教學主題，深化學生對統計的認識，為進一步提升學生的數據分析能力奠定基礎.

2. 應用實例，提出問題

問題1 分別說說你們所認識的普查與抽樣調查的優缺點. （如表1所示）

學生一致認為普查所耗費的時間比較長，人力、物力等比較大，有時候還可能損壞樣本；抽樣調查的操作性強，耗費的時間比較短，人力、物力等比較少，獲得數據的效率比較高. 因此，抽樣調查的應用更廣泛.

問題2 說說抽樣調查的目的. （了解整體情況）

師：抽取樣本時，需要注意些什么呢？該怎樣抽取樣本可從真正意義上了解整體情況？現在我們一起來看這個抽樣調查案例：為了解某中學高一到高三年級學生每天吃早餐的情況，學校準備做一個調查. 現有如下幾種抽樣方式，選擇哪種樣本具有較好的代表性？

A. 擇取高二年級某班的學生實施調查分析；

B. 擇取高一到高三所有學號中帶有6的學生進行調查分析；

C. 將全體男生作為調查對象；

D. 各班用抽簽的方式抽取20%的學生進行調查分析.

分析 抽樣調查與普查相比，其優點在于節約了時間、人力、物力等. 抽樣的關鍵在于樣本應具有代表性，但也不能以偏概全導致結論存在偏差或遺漏. 第一個選項（A選項），高二年級某班的學生無法代表整個年級，缺乏代表性；第二個選項（B選項）的樣本覆蓋面廣且具有隨機性和一定的代表性，但樣本量偏少；第三個選項（C選項）忽略了女生的情況，缺乏代表性；第四個選項（D選項）的樣本覆蓋面廣，且具有隨機性和代表性，樣本量也夠. 綜上所述，D選項更合適.

設計意圖 貼近學生生活實際的素材有趣又真實，這是啟發學生思維的重要方式. 抽樣調查的目的是更好地了解總體情況，因此樣本的選擇需能代表總體［2］. 此過程，意在幫助學生學會正確選擇樣本，為后續學習奠定基礎.

3. 實施探究，建構概念

師：若要進行隨機抽樣，如何確保每一個樣本被抽取到的機會是一樣的？你們對“隨機”二字有怎樣的理解？

這個問題成功打開了學生的話匣子，各種描述層出不窮. 為了統一說法，讓學生明晰什么是“隨機”，筆者又安排了以下教學探究活動.

探究1 簡單隨機抽樣的概念.

問題3 假設箱子中有白色和紅色共1000個小球，小球的大小、質地完全相同，怎樣通過抽樣調查的方法估計箱子中紅球與白球的比例呢？

筆者分以下幾步實施這個探究活動：

第一步，先將班級學生分成兩大組，各組選任一名大組長，每一個大組再分成五個小組，每一個小組都要做三次實驗——不放回隨機抽取小球、放回隨機抽取小球、不放回一次性隨機抽取小球，每一次抽取的樣本量一樣.

經過多次實驗，讓學生填寫表格，總結實驗報告，并在實驗中思考以下問題：①不放回隨機抽取與放回隨機抽取，是不是均可用來估計總體？②無放回隨機抽取與放回隨機抽取分別具備什么特征？③一次性隨機抽取n個個體（小球）作為樣本與逐個不放回隨機抽取n個個體（小球）作為樣本，這兩種方法是等價的嗎？④簡單隨機抽樣的樣本量是越大越好嗎？

要求各小組派一名學生說明實驗過程，并投影展示本組得到的實驗結論，配以相應的講解.

第二步，提取學生在講解過程中暴露出來的有效信息，在這些信息的基礎上，用問題繼續啟發學生的思維，如“為什么個體的個數是有限的？”“為什么小球的大小、質地要完全相同？”“為什么每一次抽取小球前要搖晃箱子？”“為什么要逐個隨機抽取小球？”等等.

第三步，學生親歷實驗過程，切身感知用樣本估計總體具有可行性，具體可從以下幾方面著手：①在同等條件下放回隨機抽取小球，那么同一個小球就有可能被多次抽中，如此抽樣得到的結論誤差較大；②不放回隨機抽取小球，能避免同一個小球被重復抽中，可減少誤差；③在重復實驗中，實驗次數越多，頻率越接近概率. 一般而言，樣本量大比樣本量小好，但是樣本量太大，耗費的人力、物力等也太大，因此樣本量并非越大越好.

通過實驗，學生不僅親身體驗數據收集、整理與分析的過程，還充分體會樣本的總體思想，并直觀了解簡單隨機抽樣的兩種方法，進一步深化對簡單隨機抽樣的理解.

問題4? 探索表明簡單隨機抽樣.

此為總結提煉的過程，學生根據自己以及組內成員在實驗過程中所獲得的結論，基于整理分析的條件下，自主概括簡單隨機抽樣的定義. 教師在必要時給予補充與說明. 探索完畢，用PPT展示完整的簡單隨機抽樣的概念，進一步強化學生對簡單隨機抽樣的理解.

設計意圖 在問題的驅使下，學生可以開啟一段新的思維旅程，此為抽象簡單隨機抽樣概念的基礎. 師生積極互動可以進一步完善學生的認知體系和概念體系.

問題5 請從簡單隨機抽樣的概念中找出關鍵詞，并分析它的特點.

設計意圖 讓學生從簡單隨機抽樣的概念中找出關鍵詞，意在進一步深化學生對簡單隨機抽樣的理解，為后續綜合應用做鋪墊. 簡單隨機抽樣的特點的分析，一方面鞏固學生的理論基礎，另一方面帶領學生再一次總結本節課的實踐活動，突出教學重點與難點.

探究2 抽簽法（簡單隨機抽樣）.

師：知識為解決生活實際問題服務，接下來我們就用抽簽法來探索生活實際問題.

某家具公司準備為某校高一年級制作一批課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節課桌椅的標準高度. 你知道該怎樣通過簡單隨機抽樣的方法取得高一年級學生的平均身高呢？

在此筆者通過問題串的方式引導學生進行思考：

問題6 到目前為止，你們都接觸過哪些抽樣方法？（抽簽法）

問題7 說說抽簽法的步驟.

師生一起總結抽簽法的步驟如下：①編號，給所有個體編號；②制簽、抽簽，先將號碼編寫在外觀、質地等無差別的小紙片或小球上作為號簽，然后將號簽放在不透明的容器內搖晃均勻，最后從容器內不放回逐個抽取號簽（抽n次，共有n個號簽）；③抽樣，將號簽上的編號對應的（n個）個體作為樣本.

問題8 為什么有“編號”這個環節？需要編多少號？

問題9 是否可以用其他方法來代替制簽環節？能夠借助計算機產生隨機數嗎？

設計意圖 通過問題串的應用，讓學生了解抽簽法的優缺點，為掌握實際問題的解決辦法奠定基礎，達到優化操作過程、激發學習潛能等目標.

問題10 請大家總結隨機數法的步驟.

經過自主思考與合作交流，學生總結出隨機數法的步驟為：①把總體中的所有個體按照1～N進行編號；②借助信息技術，從1～N中抽出n個不重復的編號；③將編號對應的n個個體作為樣本.

設計意圖 隨機數法步驟的總結，可進一步深化學生對操作過程的理解，若后續遇到與之類似的實際問題，學生則能信手拈來.

接下來，要求學生到講臺上展示用計算機產生隨機數的方法，并分別說一說隨機數法與抽簽法的優缺點，以及在實例中該如何擇取抽樣方法. 經探索，學生一致認為：當個體量比較小時，可用抽簽法；當個體量比較大時，選擇隨機數法.

設計意圖 借助類比思想，讓學生切身體會如何將這兩種方法應用在生活實際中.

4. 練習訓練，總結提升

（略）

教學思考

1. 掌握章起始課的內容

章起始課從教學時間的安排來看，屬于章節的第1課時；結合教材內容分析，章起始課涵蓋章引言與第1課時，教學中要將核心知識提煉出來；結合教學過程與成效分析，章起始課要帶領學生親歷活動過程，自主建構新知，為完善認知結構奠定基礎.

2. 章起始課教學設計的注意點

以情境為教學起點，獲得廣大教育工作者的認可，且有大量文獻可證. 章起始課作為一個章節的第1課時，屬于起點中的起點，更有理由借助情境進行教學導入，此為激趣啟思的好手段. 因為豐富的情境展示，如圖片、游戲、實驗、視頻等，能讓學生切身體會知識與生活的聯系，為深入探索做鋪墊. 關于章起始課的情境創設或實驗設計，均需凸顯本章節涉及的數學思想方法，為后續教學奠定基礎［3］. 同時，每一個環節的設計都要基于學情，滲透德育思想，達到立德樹人的目的.

3. 以發展學生的數學學科核心素養為目標

章起始課要把發展學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析六大數學學科核心素養作為教學目標，這是數學學科育人價值的體現，也是促進學生形成正向數學觀的關鍵. 發展學生的數學學科核心素養的舉措有很多，如創設恰當的情境，設計人人皆可參與的活動或實驗等，這些舉措都可應用于日常教學中.

總之，每一位教育工作者都應重視章起始課教學，因為學生對章節知識的情感，決定后續學習的態度；學生對章節知識框架的理解，決定后續能否構建完整的認知體系. 這一切，是發展“四基”與“四能”的基礎，亦是落實核心素養的關鍵.

參考文獻：

［1］ 陳小璐.高中數學章起始課的教學初探——以蘇教版《統計》章節為例［J］. 中學數學月刊，2021（12）：9-11.

［2］ 余建國. 讓章起始課的教學設計更大氣——以“向量的概念及表示”為例［J］. 數學教學研究，2014（09）：19-23+28.

［3］ 汪留嶼. 基于數學抽象的高中數學章節起始課教學設計——以“空間向量與立體幾何”為例［J］. 中學教研（數學版），2022（06）：30-34.