構建乘法運算聯系 探尋乘法運算本質

董永奎

一、基于經驗，掌握算法

師板書：0.3×4=。

師：老師有個要求，不能只寫答案，要把你的想法寫下來，看一看能想出來多少種算法。

學生獨立思考。

師：小組討論，把你的想法講給其他同學聽。

小組合作交流探究，派代表上臺展示方法（如圖1、圖2、圖3）。

此時有學生對方法2（如圖2）產生疑問：豎式中的4究竟和誰對齊。學生陷入困境，顧老師提議先保留問題。接著學生展示方法三（如圖3）。

生1：12÷10運用小數點移動的方法，12除以10 就是小數點向左移動一位，所以答案是1.2。因為我們還沒有學過小數的乘法，我們可以先把它轉化為整數，最后再除。

師：這個方法是利用我們學過的積的變化規律的知識，先乘10，然后再除以10。

生2對上述方法2進行補充（如圖4）。生3建議寫成脫式計算更加簡便。（如圖5）

生4質疑：0.3×4是小數乘整數，0.3×2這不也是小數乘整數嗎？

生2回應：4可以分成2+2，把算式分成了0.3×2加 0.3×2，最后答案一樣。

師：也就是說這樣乘2口算更簡單，不用進位。

生2受啟發提出另一種方法：因為0.3×3等于0.9，也不用進位，也很好算。（如圖6）

生5質疑：這個方法不簡便。如果直接用0.3×4，只列一個算式，如果列很多算式，可能會出錯，最后結果可能算錯。

師小結：把4個0.3加在一起，或者利用乘法的意義，把4個 0.3分成3個加1個或者是2個加2個都可以，但是這樣分起來會有點麻煩。

【賞析】學生已經學習并掌握了整數乘法的意義和運算方法、因數與積的變化規律、小數的意義和性質、小數加減等知識，因此能夠較容易地計算出結果，但要把算理說清楚，對學生來說有一定的難度。在整個交流環節中，學生從乘法的意義、列豎式、積的變化規律等角度呈現多樣化的算法。顧老師并沒有把最優方法直接告訴學生，而是讓他們充分表達各自觀點、評價別人做法、對比不同算法，在交流中通過彼此的補充、完善，使思考過程更加有序、完整，對自己已有的認知經驗進行了重組，不著痕跡地完成了運算方法的優化，既給予學生獨立探索的空間，又尊重了學生不同的認知水平。

二、幾何直觀，聯通算理

1.對話交流，明晰算理。

師：在顧老師班里有一個同學是這樣做的，大家看能不能看得懂？（圖7）

生1：這里的一格代表一個0.1，一大格就代表1。

生2：4個3就先涂12格，左面正好涂滿一大格，小數滿十進位，表示1，右面只涂了2格，表示0.2。所以這個畫圖法表示出來的小數是1.2。

生3：要求的是4個0.3是多少，圖中1格是0.1，畫3格，也就是0.3，要求4個0.3就要畫12格，而12個0.1就是1.2。

師小結：把這個大長方形平均分成10份，這一小份代表0.1，三份就是3個0.1，也就表示0.3，4個0.3就是12個0.1。12個 0.1也就是1.2。我們今天用這種方法來看小數乘整數，只要利用我們之前學過的乘法口訣“三四十二”就可以解決，但要清楚，這個12表示的是12 個0.1，所以答案是1.2。

【賞析】在運算教學中，數形結合可以使算理顯性化，學生能夠更直觀地以整體眼光理解“數是對多少個計數單位的表達”。打通了數域之間的聯系，架起“數與運算”的橋梁，體會整數乘法與小數乘法在算理層面的一致性，讓運算教學走向深刻。

2.對比聯系，溝通算理。

師：考考你們，0.03×4等于多少？

生：我列的算式和上面的一樣，先算3×4=12，3表示3個0.01，得數12 表示12個0.01，也就是0.12。

師：現在是兩位小數，如果我再往下寫下去，你們會嗎？（圖8）是不是幾位小數都沒有問題啦？

【賞析】顧老師基于小數計數單位闡述算理，引導學生將新知與整數計數單位聯系起來，理解數與運算概念系統的內在聯系，通過類比發展推理意識。

三、立足困惑，厘清道理

1.暴露問題，闡明觀點。

師：回過頭看數位如何對齊的問題，我們在學小數乘整數時遇到了困難，可以想想之前學過的整數乘整數。這些3寫在誰的下面？

板書：250×3=，2500×3=，2.5×3=。

生1：3寫在5的下面，因為前兩個3都要寫在最后一位下面，所以第三個也要寫在最后一位數的下面。

生2：第一道題250中的0是個位，3也是個位，所以3要寫在0的下面。第二道題中最后一個0是個位，所以3應該寫在最后一位。第三道題是一位小數，小數點前面的2是個位，所以3應該寫在2的下面。

生3：我跟他們的想法不同，我覺得3應該寫在5的下面，如果寫在2的下面，計算就不方便了。

生4：2.5×3中的3寫在5的下面，雖然表達的是3個0.1，但是腦子里應該想的是3個1，先算25×3，計算完后再把得數除以10。

生5：末尾有0的算式，要把 0 先排除掉，排除掉后再把乘數移到另一個因數的末尾，然后再乘，最后再把剩下的那幾個 0 加上。

生6：應該是寫在5的底下，因為0×3=0，可以先算25×3，算出得數后再添上末尾的0。

2.師生互動，感悟本質。

師：算式250×3，我們把這個 3 寫在 0 的下面，可不可以？（可以）

師：但是像剛才那個同學說的“0×3=0”，我們通常怎么辦？（把0排除掉）

師：那不叫排除掉，我們一般把這個0遮住，我們算的是什么？（25×3）

師：這個25表示的是25個10，求出來的75是75個10，所以要把這個0 給它怎么樣？（添上）

師：同樣道理，2500×3，這個3放在哪里？（5的下面）

師：這個25表示的是25個100，乘3得出來的是75個100，所以要把這個0給它添上。這個2.5×3，我們看的是25個什么？（25個 0.1）

師：乘3，得出來的是75個0.1，我們把什么再給它添上？（小數點）

師：所以現在知道我們通常把3放在誰的下面了吧！當然放到哪個下面都可以。為了方便，帶0的或帶小數點的數，先不看0和小數點，把它看成什么相乘？（兩個整數相乘）

師：所以雖然我們今天學的是小數乘整數，但是它的計算道理和之前整數乘整數怎么樣？（一樣）

【賞析】新知識的學習和生長依托于知識系統，顧老師巧妙利用“數位怎樣對齊”這個問題溝通了舊知整數乘整數和新知小數乘整數之間的聯系。學生通過觀察、比較整數乘整數和小數乘整數兩類算式，發現不論是整數乘法還是小數乘法，都只關注計數單位和它的個數，突出了計數單位參與運算的重要性，建立起結構化知識網絡，體現了運算一致性。

（作者單位：河南省武陟縣喬廟鎮喬廟小學 責任編輯：王彬）