空泡動力學研究進展

周秀英 白軍 姜梅 王超琪 顧巖城 吉華

(西藏農牧學院水利土木工程學院，西藏 林芝 860000)

引言

西藏是我國的關鍵區域，對國家安全、環境保護和清潔能源供應都有著重要作用[1]。“十四五”規劃計劃加快推動雅江下游、瀾滄江上游等多流域水電開發，預計到2025年末，西藏地區的水電建成和在建裝機容量將超過15GW[2]。由于西藏地區的平均海拔超過4km，平均氣壓低于65.25kPa，目前已建電站的運行情況調研結果顯示，此種特殊的地理環境導致了該地區水力機組的空化問題突出，對機組的功效和壽命造成了嚴重的影響[3]。羅紅英等[4]通過數值模擬，從理論上證明了高海拔地區空化規模更大、空化周期更長，水輪機的空蝕現象更加嚴重。因此，總結空化的發展歷程與研究現狀，深入研究空化現象，總結空化研究方法對于西藏地區的國家重點水利水電工程(如雅江下游)等具有重要意義。

空化會對水力機械等工程設備帶來極大的侵蝕，所以一直以來空化都是水動力學的研究熱點與難點，其本質為相變，一般可簡述為“當局部壓力降低，液體中固有的微小氣核發生膨脹以及潰滅的過程”，因此研究流體中氣泡空化行為的空泡動力學則是空化研究的基礎。

空泡動力學最初的建立可以追溯到1917年由Rayleigh提出的Rayleigh方程[4]，其研究了理想情況球形氣泡的運動過程。后續Plesset等[4]逐步考慮了表面張力、黏性等因素對Rayleigh方程進行了修正。雖然空泡的理論方程由于空化本身的強非線性等原因，計算結果與實際情況具有較大差異，無法直接運用于工程實際，但理論的發展催生了目前2種主流研究方法：實驗觀測和數值模擬。根據理論方程選擇合適參數建造的水洞等空化實驗平臺搭配Particle Image Velocimetry(PIV)觀測系統為空化認知提供了基礎。但實驗手段亦存在著成本過高、周期過長、可獲取數據有限等缺陷，局限性過高。數值模擬在理論方程的基礎上搭配高性能計算機，目前已成為了一種極為重要的空化現象研究手段。數值模擬是一種基于選定控制方程，對水力模型進行離散后，迭代求解的方法，相較于實驗手段，數值模擬有著成本低、時效快、易于調整工況參數等優勢。綜上所述，本文對氣泡空化的數值模擬方法進行綜述，介紹了空化研究的發展歷程及空化基本原理；對空泡數值模擬方法現狀進行了總結與綜述，并探討了各方法的優缺點；對空泡研究進行了總結與展望。

1 研究背景與意義

1.1 空泡動力學研究背景

1753年，科學家L Euler曾提出“當水管中的某處壓強降至負值時，水會從管壁分離，形成間隙從而產生真空空間”的觀點。然而，這個所謂的真空空間實際上并非完全真空，而是由液體汽化形成的空穴。對空化現象的研究真正始于19世紀后期，由于船舶行業的興盛，隨之而來的是人們對于船舶螺旋槳等部位大面積剝蝕及運行效率下降的疑問。1917年Lord Rayleigh提出了著名的Rayleigh方程[4]，其形式如式(1)所示。

(1)

式中，R為氣泡半徑，是關于時間t的函數；pv為泡內壓強；p∞為環境壓強。

該方程為空泡動力學奠定了基礎，但由于其忽略了液體的黏性、氣泡的表面張力、非冷凝氣體(NCG)、熱效應等影響項，因此對于空化實際情況的分析并非完全合理。

1951年，Plesset在Rayleigh的基礎上，考慮了氣泡的表面張力及液體黏性，給出了經典的Rayleigh-Plesset方程[4]，如式(2)所示。

(2)

式中，σ為表面張力，是關于時間t的函數；μ為黏性系數。

1952年Gilmore考慮了空泡潰滅后期產生的超聲速射流及流體的可壓縮性[4]，將Rayleigh方程進一步修正，如式(3)所示。

(3)

式中，c為聲速；H為焓值。

1980年Keller在Rayleigh-Plesset方程的基礎上考慮了超聲場中空泡的振蕩以及流體的壓縮性、黏性等影響因素，提出了Keller-Miksis方程[4]，如式(4)所示。

(4)

式中，M為馬赫數；pl為泡外壓強。

2023年，我國哈爾濱工程學院的張阿漫教授提出了氣泡統一方程[4]，形式如式(5)所示。

(5)

式中，H為泡內外焓差。方程左側為氣泡遷移及環境耦合力、右側為體積加速度。該方程同時考慮邊界效應、泡群、流場環境、遷移、可壓縮性、粘性、表面張力等因素，將不同源、不同尺度、不同環境下的氣泡動力學特性統一起來，并且統一了式(1)～(4)經典方程，是空泡動力學中里程碑式的工作。

1.2 研究意義

目前空泡理論研究表明，空化是力學作用、化學腐蝕、電化學腐蝕、熱力學作用[5]等多種機制共同作用的結果，其中力學作用被普遍認為是空蝕破壞的主要原因，認為空化泡在潰滅和再生長的過程中會壓縮空化泡周圍的流體介質，產生強度極大的壓力波，從而使壁面材料發生變形[6]。化學腐蝕理論認為，空化和腐蝕作用往往同步發生，互相促進。空化時的力學作用清除了材料表面的氧化膜，使得腐蝕作用繼續進行，而腐蝕也能使空化的力學作用更為集中[7]。此外，電化學作用能夠使材料內部及其周圍形成電偶電池[8]，熱學作用則能在局部產生上萬度的高溫，這些因素在特定條件下都能對表面材料產生破壞作用[9]。

針對西藏地區的水利水電工程而言，在水力空化中，受高海拔復雜且難以控制與預測的環境因素的影響，空泡伴隨著液體流動經歷初生、發展和潰滅的過程[10]。潰滅振蕩時產生局部高速微射流與壓力沖擊波，使水力機械、泄洪設施、冷卻系統等水力設施局部溫度過高，從而使其過流部件表面產生空化空蝕破壞，帶來巨大的經濟損失，對水利設施造成運行效率降低、使用壽命縮短等問題，甚至可能導致嚴重事故[10]。因此，深入了解空化泡的動力學規律、研究空泡現象具有重要的工程價值和學術意義。

2 空化泡動力學研究方法及國內外研究現狀

2.1 研究歷程

由于理論研究較大的局限性，目前關于空化的研究方法主要包含實驗法與數值模擬2種。2種主流方法的優缺點對比如表1所示。

表1 實驗法與數值模擬法優缺點對比

國內外學者已對多相流系統中氣泡的運動特性開展了一系列實驗研究。然而，受氣泡運動過程的非線性、復雜多變且難以控制的環境、液態金屬的透明程度等因素的影響，難以準確分析氣泡的運動規律，難以在光學測量技術下獲取準確的氣泡運動參數[11]。另外，由于實驗法缺點的局限性，因此許多研究人員利用模擬軟件解決實驗方法中遇到的困難。數值模擬法具有突出的優勢[12]，受到了廣大研究人員的青睞。最初的空泡潰滅過程模擬主要采用有限差分法和MAC方法，然而，這2種方法在空泡模擬方面存在一些限制，求解過程復雜且精度不高[13]。為了克服這些問題，研究者逐漸轉向使用流體體積法(Volume Of Fluid，VOF)和邊界元法(Boundary Element Method，BEM)進行數值模擬。在過去，閉源商業軟件Fluent被廣泛應用于空泡模擬，然而，隨著開源軟件的發展，OpenFOAM和OpenFVM等開源軟件逐漸嶄露頭角[13]。21世紀初，格子波爾茲曼法(Lattice Boltzmann Method，LBM)亦成為空化領域一種重要數值模擬方法。數值計算的流程見圖1。

圖1 數值計算流程

2.2 研究現狀

目前，研究者常常采用實驗、理論和模擬相結合的方式進行研究。在數值模擬方面，常用的方法包括流體體積法、水平集法(Level Set，LS)、界面追蹤法(Finite Volume Method，FTM)、邊界元法、格子玻爾茲曼法以及有限體積法(Finite Volume Method，FVM)。

由于空化的復雜性，現有的理論模型在實際工程應用中很難準確預測空化破壞，因此計算流體力學(CFD)為其提供了有效的方法。上述數值模擬方法的優缺點對比如表2所示。

表2 數值模擬方法的優缺點對比

2.2.1 流體體積法研究現狀

VOF法是一種基于歐拉網格的界面追蹤模擬方法，將氣液兩相視為均相流動，用標量體積分數來區分2種流體[12]。通過求解質量守恒輸運方程，此方法可模擬交界面拓撲結構的變化，使用特殊平流格式(如幾何平流)求解以最小化數值擴散，其界面捕捉方程：

(6)

Sagar等[14]使用流體體積法研究了考慮相變的近壁區域空化氣泡的破裂過程，計算結果與實驗測量一致。Li等[15]使用VOF法研究了旋流中單個氣泡的動力學。Nguyen等[16]使用基于幾何VOF的數值模擬方法，研究了平壁、斜壁和自由表面附近氣泡潰滅過程中的射流和壓力載荷等動力學特性。Annaland等[17]提出了一種三維流體體積方法，可以處理較大的密度粘度比和表面張力系數。

通過使用Fluent軟件中VOF模型以及非穩態方法，李疆等[18]對近水平壁面的空泡潰滅過程進行了數值研究。張凌新等[19]通過Rayleigh方程將球形氣泡隨時間變化的解析解成功求出，使用VOF法模擬了單個純氣體泡。夏冬生等[20]使用VOF計算了空泡潰滅(初始半徑=0.1mm)過程。胡影影等[21]通過VOF中Youngs法追蹤了空泡界面，直接求解納維爾-斯托克斯(Navier-Stokes，N-S)方程，對距離固壁不同位置的空泡進行了數值計算。劉蘭等[22]研究了無邊蒸汽空泡的潰滅過程，結果表明，蒸汽空泡的最小半徑遠小于氣體空泡，且從最大半徑到最小半徑所需的時間比氣體空泡更長。

2.2.2 水平集法研究現狀

LS法是一種用距離函數表示交界面的方法，可以在不重構界面的情況下高精度地確定曲率和方向。但當界面發生斷裂或合并時，不能滿足質量守恒[23]。該方法的目標是減少數值擴散，將界面定義為與界面距離函數的零水平集，隨局部流體速度變化而變化。其控制方程形式如下：

(7)

(8)

式中，φ為定義的距離函數；d為點到界面的歐幾里得距離；Ω+表示氣相；Ω-表示液相；Г表示氣液交界面。

Hu等[23]采用LS法校正守恒損失，模擬二維空泡坍縮沖擊波過程；Mark Sussman[24]將LS法和VOF法應用于探究不可壓縮蒸汽泡的生長與潰滅。Lauer等[25]研究了沖擊波作用下并排放置的3個空泡，采用守恒的明銳界面模型和LS法，精確跟蹤了空化泡壁和自由液面的流動。Can和Prosperetti[26]基于改進的LS法研究了蒸汽泡的動力學。Huang等[27]采用非均勻網格的LS法模擬了空泡在剛性壁面附近的生長、潰滅和回彈過程。

2.2.3 邊界元法研究現狀

BEM，又稱為邊界積分法(Boundary Integral Method，BIM)，是一種常用的研究剛性壁面附近空泡振蕩動力學的方法，假設流體為無旋、無粘、不可壓縮，流動由拉普拉斯方程控制，速度場可表示為速度勢的梯度，被廣泛應用于研究剛性邊界附近的空泡振蕩動力學行為。其控制方程形式如下：

(9)

式中，G為三維格林函數；s為氣泡與自由面表面；φ為速度勢。

BEM方法模擬的空化泡動態特性大致分為2個主要階段，即射流刺穿空化泡前和射流刺穿空化泡后。然而，對于射流刺穿空化泡后的復雜模擬需要特殊處理和復雜的輔助函數。Blak等[28]使用軸對稱構型和三維BEM法計算了近剛性壁面和自由表面的氣泡坍塌過程，闡明了影響潰滅腔內液體射流的形成和方向以及附近剛性邊界上產生壓力的一些因素。Aziz等[29]研究了偏心距對氣泡形狀、射流形成等的影響，以及波向和水平間距對氣泡動力學的影響。Wang等[30]基于經典的BEM法和渦環模型研究了氣泡的分裂現象，建立了多渦環模型，研究了2個環形氣泡之間的相互作用，得到了與實驗結果吻合較好的數值計算結果。王起棣等[31]采用插值法對網格進行細分，模擬近壁空化特性(考慮表面張力的影響)，結果表明近壁空泡潰滅過程受表面張力的顯著影響。

2.2.4 格子玻爾茲曼法研究現狀

近年來，LBM成為了模擬多相流的一種新方法。其基于格子氣自動機的發展，可用來求解Boltzmann方程的離散化方法，其控制方程形式如下：

fi(x+eiδt，t+δt)=Ωi(x，t)+fi(x，t)

(10)

(11)

(12)

式中，x為格點坐標；t為時間；ei為粒子離散速度集；fi為粒子分布函數；δt為離散時間步長；Ωi為碰撞算子。式(6)代表粒子的碰撞，式(7)代表粒子的遷移。

Shan等[32]使用LBM方法對氣泡的潰滅進行了模擬，結果與理論和實驗吻合較好，并從二維壓力場演化過程出發研究了氣泡破裂階段不同部位的動力學特性，討論了第2次塌陷在剛性邊界損傷中的作用，論證了2次塌陷之間的阻礙作用。袁曉龍等[33]采用LBM模型模擬近壁空泡潰滅的過程，以此分析了空泡潰滅過程受不同汽/液黏滯系數對的影響，不同條件下空泡潰滅的最大射流速度的變化以及最大壓強的變化。胡玉等[34]用LBM法模擬靜水中雙氣泡的上升過程，研究發現，當氣泡直徑相同時，上層氣泡的變形程度與單個氣泡相似，而下層氣泡則明顯受到前一氣泡尾跡的變形。

2.2.5 有限體積法及界面追蹤法研究現狀

FVM及FTM相似，都是采用一組標記點，并通過點來擬合出一組線條，用于標記整個氣泡界面的方法。該方法的核心在于如何標記點的位置，不同的學者采用不同的方法。但無論如何選擇方法，為了提高計算精度，都需要提高標記點的數目，因此該方法的計算量較大，且無法模擬氣泡破裂等行為。

Popinet等[35]基于FTM研究了粘性對固體邊界附近氣泡潰滅射流形成的影響。Liu等[36]在FVM法的基礎上，利用固定網格上的交錯網格直接求解無粘不可壓縮假設的N-S方程，并用FTM模擬了固體附近環形氣泡的動力學，分析了不同壁面距離下水層的變化過程、飛濺流和徑向流的發展過程、環形氣泡的分裂現象以及固體壁面中心壓力的變化趨勢。Johnsen等[37]使用高階精確的激波和FTM模擬了平面剛性表面附近和自由場中氣泡的潰滅，通過比較潰滅時間、氣泡位移、界面速度和表面壓力與驅動壓力比和氣泡與壁面距離的函數，與現有的理論和實驗結果展現出良好的一致性。雷杰等[38]用FTM方法模擬同軸雙氣泡，發現雙氣泡的上升速度大于單氣泡的上升速度，合并后的雙氣泡的速度與直徑相同的單氣泡的速度相同，下層氣泡的速度隨著氣泡間距的減小而增大。

3 結論與展望

目前應將提高氣泡測量方法的時間分辨率與空間分辨率、擴大氣泡測量范圍、增強氣泡在復雜流場環境中的適應性作為重點。傳統的測量方法只能獲得氣泡的二維信息，而不能獲得氣泡的三維空間位置。目前數值模擬僅考慮了重力、表面張力、浮力等因素，對浮選過程中湍流特性與渦旋尺度等微觀方面的研究較少。部分模型的預測結果與實驗結果不吻合，難以準確計算浮選設備的內力場，這些問題有待進一步研究。

未來的研究可以更加關注氣液固三相流體的探索；進一步深入理解氣泡形成和消失的機制；引入更精細的數值模擬方法并結合實驗驗證，以提高對氣泡行為的理解；實現氣泡的三維測量；研究氣泡的形態、運動特性以及其與固體表面的相互作用；探索氣泡在化工、生物醫學和能源等不同領域中的應用潛力；改進研究方法和技術，提高研究的準確性和可靠性。