抓住函數(shù)本質(zhì) 突破思維盲區(qū)

文／何平

函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)是初中階段函數(shù)的三個重要分支。在解決函數(shù)問題時，我們常因為思考問題不全面或者忽視相關函數(shù)的概念和圖像性質(zhì)而出現(xiàn)一些錯誤。現(xiàn)將函數(shù)中易混淆的知識點進行辨析，希望同學們能及時查漏補缺，舉一反三。

一、忽視函數(shù)的概念而出錯

例1二次函數(shù)y=（m-1）x2+x+m2-1的圖像經(jīng)過原點，則m的值為________。

【錯解】∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，∴將x=0，y=0代入可得m2-1=0，于是m=±1。

【錯因剖析】忽視了二次函數(shù)中a≠0，即m-1≠0的條件限制。

【正解】由題意可得m2-1=0 且m-1≠0，解得m=-1。

例2已知函數(shù)y=（m+1）x2-4x+2（m是常數(shù)）的圖像與x軸只有一個交點，則m=_______。

【錯解】當y=0時，（m+1）x2-4x+2=0。

∵函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，∴b2-4ac=0，即（-4）2-4×（m+1）×2=0，解得m=1。

【錯因剖析】看到y(tǒng)=（m+1）x2-4x+2（m是常數(shù)）這個函數(shù)表達式，部分同學會認為此函數(shù)一定是二次函數(shù)，忽略了當二次項系數(shù)為零時，此函數(shù)是一次函數(shù)，也符合題意。

【正解】當m+1≠0 時，此函數(shù)為二次函數(shù)，由上述解法可得m=1；當m+1=0時，y=-4x+2 為一次函數(shù)，函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，即m=-1。綜上可得m=±1。

【總結】解決此類問題，我們需要結合函數(shù)的概念來分析。其中，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的限制條件都是k≠0，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的限制條件是a≠0。例1 忽視了上述限制條件；例2在未說明哪一類函數(shù)的情況下，需要對函數(shù)進行分類討論，如果缺少分類的意識，就容易漏解。

二、忽視函數(shù)的性質(zhì)而出錯

例3如圖1，點P在反比例函數(shù)y=圖像的一支上，過點P作PM⊥x軸于點M，點N是y軸上一動點，連接PN、MN。已知△PMN的面積為6。

圖1

（1）k的值為（ ）。

A.6 B.-6 C.12 D.-12

（2）這個函數(shù)的圖像位于哪些象限？y隨x的增大怎樣變化？

（3）若點P（x1，y1）、Q（x2，y2）在這個反比例函數(shù)的圖像上，且x1＜x2，試比較y1與y2的大小。

【錯解】（1）選A或B或C；（2）這個函數(shù)的圖像位于第二、四象限，y隨x的增大而增大；（3）y1＜y2。

【錯因剖析】（1）錯選A，是誤認為k就是△PMN的面積；錯選B，是在A 的基礎上考慮了反比例函數(shù)在第二象限，k是負數(shù)；錯選C，是雖然理解了k與△PMN的面積的關系，但忽視了反比例函數(shù)在第二象限時，k是負數(shù)這一要求。

（2）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，此題k=-12，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。性質(zhì)中，“在每一個象限內(nèi)”容易被忽略，而它不可缺少，否則將出現(xiàn)錯誤。例如，反比例函數(shù)，當x=-2時，y=6；當x=2 時，y=-6，y隨x的增大而減少，這與性質(zhì)不符，原因就是（-2，6）和（2，-6）不在同一象限內(nèi)。

（3）出現(xiàn)錯誤是因為忽視了反比例函數(shù)增減性中“在每一個象限內(nèi)”的要求，對于x1＜x2這一條件缺少分類討論，從而導致錯誤。

【正解】（1）∵PM⊥x軸于點M，

∴PM∥y軸。

∴△PMN底邊PM上的高就是平行線間的距離。

又∵△PMN的面積為6，

∴|k|=2×6=12。

又∵圖像在第二象限，∴k=-12。故選D。

（2）∵k=-12，

∴y=-的圖像在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。

（3）當x1＜x2＜0或0＜x1＜x2時，則y1＜y2；當x1＜0＜x2時，則y2＜y1。

例4已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像經(jīng)過點（2，3）、（3，0）。

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）當-1＜x＜2 時，y的取值范圍為________。

【錯解】（1）略。

（2）由（1）得y=-x2+2x+3。當x=-1時，y=0；當x=2時，y=3，∴0＜y＜3。

【錯因剖析】上述解法在已知自變量的取值范圍時，采用臨界值代入計算，忽視了二次函數(shù)的對稱性、增減性和頂點坐標的性質(zhì)。

【正解】（1）易得y=-x2+2x+3；（2）畫出y=-x2+2x+3 的圖像，如圖2 所示，頂點坐標是（1，4），觀察圖像可知當-1＜x＜2時，y的取值范圍為0＜y≤4。

圖2

【總結】函數(shù)主要研究其圖像、性質(zhì)和應用，在給定自變量x的取值范圍時，求y的取值范圍，先代入臨界值計算，然后根據(jù)函數(shù)圖像的增減性進行判斷，其中反比例函數(shù)要考慮所在的象限，二次函數(shù)要考慮頂點坐標，避免產(chǎn)生錯誤。

三、忽視函數(shù)圖像與方程不等式的聯(lián)系而出錯

例5如圖3，將二次函數(shù)y=（x+1）2-4 的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖像的其余部分不變，即得到y(tǒng)=|(x+1)2-4 |的圖像。根據(jù)圖像，若關于x的方程 |(x+1)2-4|=k有四個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________。

圖3

【錯解】∵二次函數(shù)頂點坐標是（-1，4），∴k＜4。

【錯因剖析】只分析了二次函數(shù)的頂點坐標，而對于問題中方程“有四個不相等的實數(shù)根”沒有正確理解。應利用數(shù)形結合的思想從函數(shù)的視角去分析，將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題。

【正解】由題意得y=| (x+1)2-4 |的圖像與y=k的圖像有四個交點，由函數(shù)圖像可知，0＜k＜4。

【總結】熟練掌握函數(shù)圖像及其性質(zhì)，利用兩個函數(shù)的交點和圖像的直觀性解決方程和不等式相關聯(lián)的問題。