在“讀圖”中探尋函數“風景”

文／孫德萍

一次函數是初中數學中一個基礎且重要的模型。其中，一次函數的應用常借助函數圖像獲取信息，用數形結合思想解決函數、方程、不等式等綜合運用的問題。同學們只有學會讀圖，才能領略函數中更美麗的“風景”。

一、讀懂圖像中的關鍵數據

例1一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)，沿一條筆直的公路勻速開往乙地。圖1 中的線段OA和線段BC分別表示貨車和轎車離甲地的距離y（km）與貨車出發(fā)時間x（h）之間的函數關系。

圖1

（1）轎車出發(fā)時，兩車相距_____km；

（2）若轎車比貨車提前0.6小時到達乙地，求線段BC對應的函數表達式及a的值；

（3）若轎車出發(fā)1.6h后，與貨車的距離小于12km，寫出轎車速度v的取值范圍。

【分析】橫軸表示貨車出發(fā)的時間，縱軸表示它們離甲地（出發(fā)地）的距離。除此之外，我們還要讀懂圖中三個已知數據，即300km，5h，1.4h 所表示的實際意義。

解：（1）由圖像可知A（5，300），可得貨車速度是300÷5=60（km/h）。所以轎車出發(fā)時，兩車相距60×1.4=84（km）。

（2）由題意可知C（4.4，300），設線段BC對應的函數表達式為y=kx+b。

將C（4.4，300）、B（1.4，0）代入，

所以線段BC對應的函數表達式為y=100x-140。

由圖像可知，a小時轎車追上貨車，所以100a-140=60a。解得a=3.5。

（3）由題意可知，

解得105＜v＜120。所以轎車速度v的取值范圍是105＜v＜120。

【小貼士】如何求圖像中交點的坐標呢？既可以基于兩個函數表達式建立方程組進行求解，也可以直接理解實際意義，利用算術方法求解。

二、抓住圖像中關鍵的點

例2甲、乙兩地相距40km，一輛慢車和一輛快車先后從甲地出發(fā)沿同一直道勻速前往乙地。慢車先出發(fā)，行駛一段時間后停車休息，待快車追上后立即以原速度勻速行駛，直至到達乙地。快車比慢車晚20min 出發(fā)，始終保持勻速行駛，且比慢車提前到達乙地。兩車之間的距離y（單位：km）與慢車的行駛時間x（單位：min）之間的部分函數圖像如圖2 所示。請結合圖像解決下面的問題：

圖2

（1）慢車的速度為________km/min，快車的速度為________km/min；

（2）請根據題意補全圖像。

【分析】橫軸表示慢車行駛的時間，縱軸表示兩車之間的距離。圖中有三個關鍵的點，即點A（20，10）、B（30，5）、C。后面的圖像還有兩個關鍵的點，分別是快車到達乙地和慢車到達乙地。

解：（1）慢車20min 行駛10km，故慢車的速度為10÷20=0.5（km/min）；快車的速度為（30×0.5-5）÷（30-20）=1（km/min）。

（2）補全圖像如圖3。

圖3

【小貼士】對于一次函數應用中的行程問題，我們可以畫線性示意圖來理解題意，將所給的函數圖像與其表示的實際意義聯(lián)系起來，弄清每一階段中的路程、速度和時間，分析運動狀態(tài)，理解折線中各關鍵點的實際意義，從中得到正確的信息，從而分析和解決問題。