理清思路 充分聯想 分步答題

文／環靖

當遇到函數類型的解答題時，我們在理清問題（條件）后，可先明確問題考查的知識點，再思考解法，充分聯想，從已知想可知，從未知想需知，尋找解決問題的突破口，養成“有思考就寫”的習慣，最終搭建從已知到未知的橋梁。那么，如何做到規范解答呢？怎樣才能做到步步得分呢？下面，我們結合題目具體分析。

例1（9 分）已知二次函數y=x2+2mx+m2-1（m為常數）。

（4 分）（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點；

（5 分）（2）若函數的圖像與x軸的兩個公共點分別在原點的兩側，求m的取值范圍。

【分析】第（1）問考查二次函數圖像與x軸交點個數，常見的解法是將二次函數圖像與x軸交點個數轉化為一元二次方程解的個數；第（2）問，對于與x軸交點橫坐標的符號判斷問題，可利用數形結合思想深入思考。

【規范解答】

（1）證明：（證法一）當y=0 時，x2+2mx+m2-1=0。（1分）

∵b2-4ac=4m2-4（m2-1）=4＞0，（2分）

∴方程x2+2mx+m2-1=0 有兩個不相等的實數根。（3分）

∴該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。（4分）

（證法二）當y=0 時，x2+2mx+m2-1=0。（1分）

解得x1=-m+1，x2=-m-1。（2分）

∵-m+1≠-m-1，

∴方程x2+2mx+m2-1=0 有兩個不相等的實數根。（3分）

∴該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。（4分）

（2）解：當y=0時，x2+2mx+m2-1=0。

解得x1=-m+1，x2=-m-1。（5分）

∴函數圖像與x軸的交點坐標為（-m+1，0），（-m-1，0）。（6分）

∵函數圖像與x軸的兩個公共點分別在原點的兩側，且-m+1＞-m-1，（7分）

∴-m+1＞0且-m-1＜0。（8分）

解得-1＜m＜1。（9分）

【點評】第（1）問難度較小，是絕大多數同學都能解決的基礎題，在解題時要注意書寫“當y=0 時”；第（2）問要注意“與x軸的兩個公共點分別在原點的兩側”，表示公共點橫坐標異號。

例2（9 分）南京、上海相距約300km，快車與慢車的速度分別為100km/h 和50km/h，兩車同時從南京出發，勻速行駛，快車到達上海后，原路返回南京，慢車到達上海后停止。設兩車出發后的時間為xh，快車、慢車行駛過程中離南京的路程為y1、y2km。

（4分）（1）求y1、y2與x之間的函數表達式，并在圖1 的平面直角坐標系中畫出它們的圖像；

圖1

（2 分）（2）若鎮江、南京相距約80km，求兩車經過鎮江的時間間隔；

（3 分）（3）直接寫出出發多長時間后，兩車相距100km。

【分析】第（1）問考查用等量關系求函數表達式并畫出函數圖像；第（2）問可將函數問題轉化為方程問題；第（3）問可以從數與形兩個方面解決兩車相距問題。

【規范解答】

解：（1）當0≤x≤3 時，y1=100x；當3≤x≤6時，y1=600-100x；（1分）

當0≤x≤6時，y2=50x。（2分）

y1、y2與x的函數圖像如圖2。（4分）

（2）當y1=80 時，100x=80 或600-100x=80，解得x=0.8或5.2；

當y2=80時，50x=80，解得x=1.6。（5分）

所以1.6-0.8=0.8，5.2-1.6=3.6。（6分）

兩車經過鎮江的時間間隔為0.8h或3.6h。

【點評】解答第（1）問時容易忽略原路返回的過程，畫圖時要注意關鍵點的坐標；第（2）（3）問不要遺漏原路返回時快車與慢車之間的狀態，同時要注意分類討論。