一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“相交情誼”

文／曹丹

數(shù)學(xué)教材中的例題都是編者精心遴選設(shè)計(jì)的，具有代表性。下面以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第131 頁(yè)的例題為例，談?wù)劺}的學(xué)習(xí)與拓展（例題解決過程見教材）。

例題已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)y=x+1 的圖像的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-3。

（1）求k的值，并畫出這個(gè)反比例函數(shù)的圖像；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，指出當(dāng)x＜-1時(shí)，y的取值范圍。

【點(diǎn)評(píng)】例題主要是根據(jù)反比例函數(shù)的圖像特征，分析反比例函數(shù)的類型，進(jìn)而根據(jù)條件確定函數(shù)表達(dá)式。第（2）問要結(jié)合函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解。

結(jié)合例題的已知信息，我們還可以繼續(xù)思考，解決其他問題。

（4）當(dāng)x取什么值時(shí)，反比例函數(shù)y=的值大于一次函數(shù)y=x+1的值？

（5）將兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)記作A、B，連接OA、OB，求△AOB的面積。

【解析】（3）同學(xué)們可以先畫出y=x+1 的圖像，由圖像得兩個(gè)函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-3，-2）和（2，3），所以方程的解是x=-3或x=2。

（4）由函數(shù)圖像知，x＜-3 或0＜x＜2。

（5）令y=x+1 與y軸的交點(diǎn)為C。把x=0代入y=x+1，得y=1，

∴OC=1。

變式1如圖1，一次函數(shù)y1=kx+b（k≠0）與函數(shù)為的圖像交于A（4，1）、兩點(diǎn)。點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖像于點(diǎn)Q，若△POQ的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

圖1

變式2已知反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像與一次函數(shù)y=-x+b的圖像如圖2，則函數(shù)y=x2-bx+k-1 的圖像可能為（ ）。

圖2

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=-x+b的圖像，可知k＞0，b＞0。所以函數(shù)y=x2-bx+k-1的圖像開口向上，對(duì)稱軸為直線。由兩個(gè)交點(diǎn)為（1，k）和（k，1），得k-b=-1，b=k+1。根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得k＞1，從而得函數(shù)y=x2-（k+1）x+k-1，即y=x2-x+k（1-x）-1。當(dāng)x=1 時(shí)，y=-1，即圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，-1）。由k＞1 得k-1＞0，所以圖像不過原點(diǎn)。符合以上條件的只有A選項(xiàng)。