追根析分布，變中尋本質
——一元二次方程根的分布問題的解決策略

文／謝曉華

二次函數一直是初中數學中考中重點考查的內容，其考查范圍主要包括：二次函數的概念、求解二次函數表達式、二次函數的圖像及性質、二次函數與一元二次方程的關系、用二次函數解決實際問題等。現以2023 年江蘇省南京市中考第25 題第（3）問為例，剖析一元二次方程根的分布情況的問題。

例已知二次函數y=ax2-2ax+3（a為常數，a≠0）。若該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0）、（x2，0），且-1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是________。

【分析】二次函數y=ax2-2ax+3（a為常數，a≠0）的圖像與x軸的交點橫坐標是一元二次方程ax2-2ax+3=0的根，二次函數y=ax2-2ax+3 過定點（0，3），且對稱軸為直線x=1，由于a的符號未知，故分a＞0和a＜0兩種情況討論。

解：二次函數y=ax2-2ax+3的對稱軸為直線x=1，過定點（0，3），頂點坐標為（1，3-a），二次函數y=ax2-2ax+3 與x軸有兩個公共點且滿足-1＜x1＜x2＜4。

如圖1，當a＞0 時，二次函數圖像開口向上，可得3-a＜0，∴a＞3。

圖1

如圖2，當a＜0 時，二次函數圖像開口向下，可得

圖2

綜上，a的取值范圍為a＞3 或a＜-1。

【點評】解決一元二次方程根的分布問題的一般思路：首先，結合二次函數的表達式尋找二次函數已經確定的條件（開口方向、對稱軸、定點等）；其次，根據已有條件，畫出二次函數的大致圖像，需注意如有確定不了的條件要分類討論；最后，結合圖像，以開口方向、對稱軸、頂點坐標、判別式、端點處函數值等為思考方向，找到問題成立的限制條件，并正確求解。

下面我們以二次函數y=ax2-2x+3（a為常數，a＞0）與x軸有兩個交點為例，改變交點的取值范圍來探究交點存在的條件。

變式1若該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0）、（x2，0），且x1＜4＜x2，則a的取值范圍是________。

【分析】此二次函數開口向上，過定點（0，3），與x軸兩個交點的橫坐標一個大于4、另一個小于4，由此畫出其大致圖像（如圖3）。

圖3

【點評】二次函數開口向上時，如果此函數對應的一元二次方程的兩個根x1、x2滿足x1＜z＜x2，則應滿足二次函數在z處函數值小于0。

變式2已知二次函數y=ax2-2x+3（a為常數，a＞0）。若該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0）、（x2，0），且1＜x1＜x2，則a的取值范圍是________。

【分析】此二次函數開口向上，過定點（0，3），與x軸兩個交點的橫坐標均大于1，可以畫出其大致圖像（如圖4）。由條件“與x軸有兩個公共點”，可知b2-4ac＞0 或頂點處縱坐標小于0；由條件1＜x1＜x2，可知對稱軸大于1，且二次函數在端點1處的函數值大于0。

圖4

解：如圖4，由題意知，

【點評】二次函數開口向上時，如果此函數對應的一元二次方程的兩個根x1、x2滿足m＜x1＜x2，則應滿足對稱軸大于m，b2-4ac＞0，端點m處函數值大于0。同理，兩根x1、x2滿足x1＜x2＜n，則應滿足對稱軸小于n，b2-4ac＞0，端點n處函數值大于0。

變式3若該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0）、（x2，0），且1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是________。

【分析】已知二次函數開口向上，過定點（0，3），與x軸兩個交點介于1、4 之間，由此畫出其大致圖像（如圖5）。由條件“與x軸有兩個公共點”，可知b2-4ac＞0 或頂點處縱坐標小于0；由條件1＜x1＜x2＜4 可知對稱軸在1、4 之間，二次函數在端點1、4處的函數值都要大于0。

圖5

解：如圖5，由題意知，

【點評】二次函數開口向上時，如果該函數對應的二次方程的兩個根x1、x2滿足m＜x1＜x2＜n（m＜n），則應滿足對稱軸大于m且小于n，b2-4ac＞0，端點m、n處的函數值都大于0。

變式4若該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0）、（x2，0），且1＜x1＜3＜x2＜4，則a的取值范圍是________。

【分析】二次函數開口向上，過定點（0，3），與x軸兩個交點的橫坐標一個介于1、3 之間，另一個介于3、4 之間，畫出其大致圖像（如圖6）。

圖6

解：如圖6，由題意知，

【點評】二次函數開口向上時，如果此函數對應的二次方程的兩個根x1、x2滿足m＜x1＜z＜x2＜n，此二次函數需滿足端點m處函數值大于0，端點z處函數值小于0，端點n處函數值大于0。