調制光學參量放大器對雙機械振子量子糾纏與壓縮的影響

杜宏杰，郭金良

（天津師范大學物理與材料科學學院，天津 300387）

腔光力系統[1]是研究量子力學特性由介觀尺度到宏觀尺度的一種方法，其主要研究對象是機械振子與光腔間可控的輻射壓力相互作用.近年來，憑借潛在的應用價值和前沿的研究成果，腔光力系統成為應用工程科學和基礎研究科學的有力平臺.此外，量子糾纏作為量子物理學的基石，在量子理論基礎和量子信息處理等潛在應用中具有重要的作用[2].宏觀糾纏不僅可以幫助科研人員闡明宏觀自由度由經典世界到量子體系的轉變[3-5]，而且在連續變量系統中也是重要的資源[6-7].因此，制備宏觀糾纏具有重要的意義.目前，已有研究在各種光學機械裝置中提出許多方案來產生量子糾纏，如通過光（微波）場與一個可動鏡間的直接輻射-壓力耦合產生光（微波）-機械糾纏[8]，但該光-機械糾纏容易被系統的熱噪聲破壞.Mari 和Eisert[9-10]通過將周期性調制驅動場引入經典光機系統極大地增強了光機糾纏，但受限于系統的穩定性，糾纏強度仍無法超過1 ebits 的穩態糾纏極限.此外，還有一種宏觀糾纏是2 個機械振子間的機械-機械糾纏，由于早期基于直接輻射-壓力相互作用方案制備所得機械-機械糾纏較脆弱[11-12]，研究人員在光機系統中應用了如直接機械耦合、壓縮真空光輸入、單光子強耦合或周期調制泵浦等技術，但糾纏的增強量并不顯著.近年來，研究人員提出許多使2 個力學振子產生糾纏的方案，如利用糾纏交換[13]、使用壓縮光驅動雙腔[14]以及注入一對糾纏光束到獨立的2 個光學腔[15].Joshi 等[16]利用光纖對2 個不同的Fabry-Perot 腔進行耦合，但所得力學糾纏很小且受限于很低的熱溫度.Chen 等[17]利用周期性調制驅動，使由2 個力學模組成的光學腔壓縮復合模產生了較強的力學糾纏.實現宏觀振子的壓縮對精密測量的科學研究非常重要.近年來，研究人員通過各種非線性方案實現了機械振子的穩態壓縮，如機械振子固有的非線性[18]以及系統中內在的非線性耦合[19]或非線性介質[20]等.Lu 等[21]利用非線性機械振子在腔光力系統中成功引入機械非線性，將系統動力學線性化，構造有效哈密頓量制備機械壓縮.此外，熱庫方案通過不同頻率的2 個激光場驅動系統將哈密頓量線性化設計為非對稱的Rabi 型相互作用，實現了機械振子的穩態強壓縮[22].

非線性介質與光機系統的組合效應使得強壓縮的制備變得容易，并取得了實質性進展，如二階非線性簡并光學參量放大器（OPA）在產生壓縮光方面效果良好[23].實驗表明，放置在腔內部的OPA 可以極大地增強機械冷卻，產生強的機械壓縮，并將單光子的光機耦合強度提升到強耦合狀態，提高檢測光機位置的精度[24-27].Hu 等[28]通過調制OPA 增強機械糾纏，并將周期調制腔驅動和OPA 的參數驅動聯合，在腔光機系統中實現了雙重機械壓縮[29]，但有關2 個機械振子間宏觀機械-機械糾纏的研究相對較少.

基于這種聯合驅動效應的良好效果，本研究主要討論了在施加OPA 的腔光力系統中，OPA 對雙機械振子量子糾纏和壓縮的影響.通過對系統相關參數的討論以及求解系統穩態的動力學演化，分析調制OPA對力學糾纏和壓縮的影響.

1 模型與哈密頓量

圖1 為由2 個機械振子和簡并的光學參量放大器（OPA）組成的復合腔光力系統.

圖1 腔光力系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cavity photomechanical system

圖1 系統中，2 個機械振子通過輻射壓力同時與1 個光腔耦合.機械振子的質量為m，頻率為ωm，耗散為γm，頻率為ωc、衰減率為κ 的光腔被頻率為ωl、強度為E 的激光場驅動.此外，置于光腔中的OPA 被頻率為2ωp的泵浦激光驅動，其產生的參量增益為Λeiθ，該增益由泵浦激光的強度和相位共同決定.以驅動激光頻率ωl為旋轉框架，系統哈密頓量可以寫為（hˉ=1）

式（1）中：△0=ωc-ωl和Ω =2ωp-2ωl分別為光腔和簡并光子相對于驅動激光的失諧量；a 和a?為腔模的產生和湮滅算符；qj和pj分別為2 個振子的坐標和動量算符，滿足對易關系[qj，pj]=ihˉ；g 為由輻射壓力引起的光腔和機械振子間的單光子光力耦合強度.

考慮到系統的耗散和漲落，式（1）中復合光力系統的動力學可用一組朗之萬方程（QLEs）描述，δO/δt=i[H，O]+N-Hdiss，其中N 為量子噪聲算符，Hdiss描述系統的耗散，O=pj，qj，a 為表征系統的算符，

式（2）中：ain（t）為平均值為0 的腔場輸入噪聲算符，滿足關聯函數〈〉= δ（t - t′）[19]；ξj（t）為作用于機械振子的熱噪聲算符；在高品質機械振子極限下Q≡ωm/γm>>1，滿足馬爾可夫近似，即〈ξj（t）ξj（t′）+ξj（t′）ξj（t）〉/2 = γm（2nm+ 1）δ（t - t′）[30]，且nm=[exp（hˉωm/kBT）-1]-1表示機械振子的平均熱激發數；kB為玻爾茲曼常數；T 為環境的溫度.

當腔場受到強激光驅動時，對朗之萬方程組（式（2））采用標準的線性化技術進行處理，將每個海森堡算符重寫為其穩態平均值與微小漲落的和，即O=〈O（t）〉+δO，并通過對腔場進行強激光驅動使腔內光子數〈a（t）〉滿足〈a（t）〉1.式（2）中，δp1、δp2和δa 為圍繞著穩態平均值的小波動算子，在這種強激光驅動的情況下，可以安全地忽略非線性項.因此，式（2）可以通過忽略波動中高于一階項的項被線性化.關于經典平均值〈O（t）〉的詳細討論在下面章節中，同時量子漲落部分δO 的線性化朗之萬方程可以表示為

式（3）中：△1（t）=△0-g〈q1（t）〉-g〈q2（t）〉為由機械運動產生的腔場的有效失諧；式（3）中已經忽略掉非線性項[31]，因此系統的有效哈密頓量可以表示為

2 系統的經典動力學及其解析解計算

量子漲落部分（式（3））的演化與經典動力學〈O（t）〉有關，為研究系統的動力學演化，首先要求解經典平均值.本文中相同頻率的2 個機械振子同時與1 個腔場耦合，因此認為其經典動力學是相同的，即〈q1（t）〉=〈q2（t）〉=〈q（t）〉，〈p1（t）〉=〈p2（t）〉=〈p（t）〉，經典平均值的演化可以通過以下非線性微分方程描述

雖然精確求解式（5）中的平均值非常困難，但如果系統遠離光力非穩態和多穩態時，可以用微擾的方式來處理光力耦合[8].在弱光力耦合強度為g 和頻率失諧為Ω 的條件下，將近似解析解展開為雙重冪級數的形式[32-33]，即

將式（6）代入式（5）可得與時間無關的系數On，j（O=p，q，a，j ＝0）

當j≥0 時，

圖2 為腔模平均值〈a（t）〉實部和虛部的時間演化關系及相空間軌跡圖，圖2（a）為通過數值解（藍色實線）和解析解（紅色虛線）所得腔模平均值〈a（t）〉的實部和虛部隨時間的演化圖像，其中時間單位τ ＝2π/Ω，所選系統參數為（單位為ωm）κ ＝0.1，Δ0＝1.06，g ＝4×10-6，γm＝10-6，E ＝1.4×104，nm＝0，Λ ＝0.3κ，θ ＝0，Ω ＝2，截斷式（8）到|n|≤1 和j≤8.由圖2（a）可知，在長時極限下，〈a（t）〉的演化周期與調制周期τ ＝2π/Ω 相同，且解析結果（紅色虛線）與數值模擬結果（藍色實線）非常吻合，說明用微擾的方法求解解析解是可行的.圖2（b）為〈a（t）〉的相空間演化軌跡，其中紅線和藍線分別表示近似解析解和數值解.數值解給出的軌跡（藍線）在數百個調制周期后收斂為與分析結果（紅線）一致的極限環.

圖2 腔模平均值〈a（t）〉實部和虛部的時間演化關系及相空間軌跡圖Fig.2 Time-evolution relations and phase-space trajectories of the real and imaginary parts of the mean value〈a（t）〉of a cavity mould

圖3 為機械模在不同時間間隔內的相空間演化軌跡，藍色實線和紅色虛線分別為數值模擬結果和解析結果，所選參數與圖2 相同.

圖3 不同時間間隔力學模的經典平均值〈q（t）〉和〈p（t）〉的相空間演化軌跡Fig.3 Phase space evolution trajectories of the classical mean〈q（t）〉and〈p（t）〉for the mechanical modes for different time intervals

由圖3 可知，由于γm=κ，經典平均〈q（t）〉和〈p（t）〉在相空間中的演化需要260τ～280τ 才能演化到解析結果所預測的極限圓.

圖4 為系統達到穩定時腔模平均值的模在時間間隔為895τ～900τ 內的動力學演化關系，所選參數與圖2 相同.

圖4 系統達到穩定時腔模平均值的動力學演化關系圖Fig.4 Kinetic evolution of the cavity mode average value when the system reaches stability

圖4 中，〈a（t）〉的解析解（虛線）與數值解（實線）擬合較好，進一步驗證了微擾近似解析解的準確性.

3 力學糾纏與壓縮度量

為在數值上驗證第2 節中系統經典動力學的定性討論，本研究通過負對數值來度量力學糾纏.首先，引入腔模的振幅和相位漲落算符δX=（δa+δa）?/和δY = （iδa - δa?）/及其相應的噪聲算符δXin=則式（3）可以表示為u˙（t）=M（t）u（t）+n（t），其中u（t）T=（δq1，δp1，δq2，δp2，δX，δY），矩陣

式（9）中：n（t）T= [0，ξ（1t），ξ（2t），δXi（nt），δYin（t）]，R1=-κ+2Λcos（Ωt-θ），R2=△-2Λsin（Ωtθ），R3=△-2Λsin（Ωt-θ），R4=-κ-2Λcos（Ωt-θ），G（Xt）和G（Yt）分別為有效耦合G（t）=g〈a（t）〉的實部和虛部.為了確保系統的穩定性，Routh-Hurwitz準則要求M（t）本征值的實部在任何時候都必須小于0[10].后文中所選參數均已驗證滿足穩定性條件，系統最終會趨于一個穩定的高斯態.6 × 6 協方差矩陣V（t）可以描述這個高斯型系統的特性，矩陣元Vi，j=〈ui（t）uj（t）+uj（t）ui（t）〉/2.結合式（9）有

式（10）中：D=diag[0，-γm（2nm+1），0，-γm（2nm+1），κ，κ]為噪聲關聯矩陣.V˙（t）可以描述整個系統的動力學演化，同時通過數值模擬可以直接求解式（10）.系統經過一段時間的演化后，經典動力學具有一個穩定的周期時，可用負對數值EN度量雙模高斯態中的兩體糾纏.提取協方差矩陣V（t）的前四行和前四列，即可組成有關2 個力學模式的協方差矩陣

式（11）中：A、B 和C 分別為2×2 的子矩陣，負對數值

式（12）中

式（13）中：Σ（V）=detA+detB-2detC，如EN>0，即η<1/2，說明2 個力學振子間存在糾纏.

協方差矩陣V（t）的第1 個對角矩陣元V11（t）=〈δq（t）2〉和第2 個對角矩陣元V22（t）=〈δp（t）2〉分別表示力學振子的位移和動量漲落的方差.系統達到穩定時，如滿足〈δq（t）2〉<1/2 或〈δp（t）2〉>1/2，則對應的坐標或動量分量被壓縮.力學壓縮的強度可用dB 為單位來度量，對應的計算方式為-log10[〈δO（t）2〉/〈δO（t）2〉vac]（O=p 或q）和〈δq（t）2〉vac=〈δp（t）2〉vac=1/2 分別表示力學模真空態的位移和動量方差.

4 結果與討論

4.1 機械糾纏

通過對負對數值EN進行數值模擬，分析OPA 對機械糾纏的影響.首先，給出OPA 的相位對機械糾纏EN的影響.圖5 為不同相位時，EN隨時間t 的變化圖像.圖5 中，E ＝6×104，其他參數與圖2 相同.由圖5可以看出，系統經過一段時間的演化后，機械糾纏與經典動力學一樣最終以周期τ 隨時間變化.因此，下文只考慮相位θ ＝0 的情況.

圖5 力學糾纏EN 在不同的參量相位下隨時間t 的演化關系Fig.5 Evolution of mechanical entanglement EN with time t for different parametric phases

由于機械糾纏的演化具有周期性，可以通過一個周期內EN的最大值來量化機械糾纏的大小[34].即

圖6 為機械糾纏的最大值EN，max隨OPA 失諧量Ω/ωm的變化關系，圖6 中最佳失諧Ωopt/ωm＝2.008，其他參數與圖5 相同.

圖6 最大機械糾纏EN，max 隨OPA 失諧量Ω/ωm 的變化關系Fig.6 Variation of maximum mechanical entanglement EN，max with OPA detuning Ω/ωm

由圖6 可以看出，存在最優的調制頻率Ωopt/ωm＝2.008 使EN，max最大，且由于光力耦合對光腔有效失諧△（t）的輕微修正，最優調制頻率Ωopt接近但略大于2ωm，這正是前文討論中選取Ω ＝2ωm的原因.

為研究有限熱溫度和OPA 對機械糾纏的影響，圖7 為不同熱聲子數條件下以及OPA 的增益Λ 在有限溫度下機械糾纏隨時間的演化關系圖，圖7 中參數與圖5 相同.圖7（a）為不同熱聲子數nm＝0（藍色）和nm＝0.2（紅色）條件下機械糾纏隨時間的演化.圖7（b）為OPA 的增益Λ ＝0（藍色）和Λ ＝0.3κ（紅色）對有限溫度下機械糾纏演化的影響.

圖7 系統達到穩定時機械糾纏EN 隨時間的演化關系Fig.7 Evolution of mechanical entanglement EN with time as the system reaches stability

由圖7（a）可以看出，隨著熱聲子數的增加，環境溫度的升高抑制了系統的量子效應，導致系統機械糾纏的值降低.由圖7（b）可以看出，與Λ ＝0 的情況相比較，隨著Λ 的增大，機械糾纏被增強，這表明在OPA 的輔助下機械糾纏可以在一個相對較大的熱聲子數條件下存在，即機械糾纏對熱噪聲具有很強的魯棒性.

4.2 壓縮效應

最后，通過計算動量漲落的方差〈δp2〉研究調制OPA 對機械壓縮的影響.根據海森堡測不準原理，當〈δp2〉<1/2 時，機械振子的動量獲得壓縮.圖8 為OPA的增益Λ 取不同值時，〈δp2〉隨時間的變化，圖8 中其他參數與圖5 相同.

圖8 力學漲落的方差〈δp2〉隨時間的變化關系Fig.8 Variance of the force rise and fall〈δp2〉versus time

由圖8 可知，相比于Λ=0 的情況，隨著Λ 的增大，機械振子的動量壓縮被周期性加強.當Λ=0.8κ 時，〈δp2〉最小值達到7.12 dB（對應的動量方差〈δp2〉min=0.097 41），遠大于一般的機械壓縮，可以認為是強壓縮[35-37]，這說明機械壓縮可以在調制OPA 的輔助下增強.

圖9 為熱聲子數nm對機械壓縮的影響，圖9 中其他參數與圖5 相同.

圖9 力學漲落的方差〈δp2〉隨時間的變化關系Fig.9 Varianceofthemechanicalriseandfall〈δp2〉versustime

由圖9 可以看出，〈δp2〉的最小值隨熱聲子數nm的增加略有增加，即使nm增大到500，仍可實現機械壓縮，因此系統產生的機械壓縮對環境溫度具有很強的魯棒性.

以上討論的機械壓縮是在邊帶可分辨的條件下，即ωm?κ.而標準的腔光力系統很難在實驗中獲得高品質的腔，并滿足可分辨邊帶條件，因此討論在邊帶不可分辨條件（κ>ωm）下是否可以實現機械壓縮非常必要.

圖10 給出邊帶不可分辨條件（κ>ωm）下，力學漲落的方差〈δp2〉隨時間的變化關系，圖10 中其他參數與圖5 相同.

圖10 邊帶不可分辨條件（κ>ωm）下力學漲落的方差〈δp2〉隨時間的變化關系Fig.10 Variance of mechanical rise and fall〈δp2〉versus time under indistinguishable conditions（κ>ωm）in the sidebands

由圖10 可以看出，機械壓縮的程度隨著腔耗散率κ 的增加明顯減弱，但仍可以在邊帶不可分辨條件（κ>ωm）下實現機械壓縮.因此，在調制OPA 的輔助下，對于耗散較大（κ>ωm）的光力系統也可以實現機械壓縮.

5 結論

本文研究了與同一光腔耦合的2 個機械振子間的量子糾纏和機械壓縮.通過數值和解析求解經典平均值的運動方程，分析了系統動力學的演化.計算結果表明，調制光學參量放大器對雙機械振子腔光力系統中的量子糾纏和機械壓縮效應的影響均有良好的效果：

（1）對系統施加調制OPA，通過調節OPA 相對于驅動激光的失諧量可以增強2 個機械振子間的糾纏.

（2）在調制OPA 的輔助下，機械振子間的糾纏對系統的熱噪聲表現出很強的魯棒性.

（3）在邊帶可分辨條件下，通過調制OPA 的作用可以實現較強的機械壓縮，且對于邊帶不可分辨的情況，利用調制OPA 也可產生機械壓縮.因此調制OPA對于系統實現機械壓縮具有關鍵的作用.