基于改進NSGA-II算法的RV減速器參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化研究*

楊昊霖,王茹蕓,羅利敏,貢林歡,樓應(yīng)侯

(1.寧波大學(xué) 機械工程與力學(xué)學(xué)院,浙江 寧波 315211;2.寧波中大力德智能傳動有限公司,浙江 寧波 315211;3.寧波大學(xué) 科學(xué)技術(shù)學(xué)院,浙江 寧波 315211)

0 引 言

RV減速器是工業(yè)機器人、高端醫(yī)療器械等設(shè)備的核心部分。作為一種高精密減速器,傳動壓力角、傳動效率等關(guān)鍵性能參數(shù)直接影響著設(shè)備的運行精度,從而嚴(yán)重影響RV減速器的使用壽命。

目前,國內(nèi)外專家針對擺線輪壓力角的設(shè)計提出了多種優(yōu)化方案。徐宏海等人[1]采用了公式法,通過分析齒廓參數(shù)對壓力角的影響,發(fā)現(xiàn)了平均壓力角的變化規(guī)律;但其沒有考慮因單目標(biāo)優(yōu)化而引起的減速器體積變大、傳動效率變低等問題。紀(jì)姝婷等人[2]采用了公式法,基于擺線形成機理,推導(dǎo)了壓力角的數(shù)學(xué)方程,發(fā)現(xiàn)了各機構(gòu)設(shè)計參數(shù)對壓力角的影響;但其沒有考慮參數(shù)優(yōu)化對傳動效率的影響。王文濤[3]采用了將模數(shù)引入到擺線輪中的方法,發(fā)現(xiàn)了最小壓力角隨各種參數(shù)的變化規(guī)律;但是,其沒有對多齒嚙合的平均壓力角進行研究。MOLODTSOV D[4]采用了遺傳學(xué)算法優(yōu)化參數(shù),通過建立擺線輪齒廓方程和平均壓力角方程,仿真分析了設(shè)計參數(shù)對壓力角的影響規(guī)律;但是,其優(yōu)化研究依舊停留在單目標(biāo)優(yōu)化階段。

鑒于目前對壓力角相關(guān)參數(shù)在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中的研究較少,筆者采用公式法推導(dǎo)出相互制約的一組優(yōu)化目標(biāo)(壓力角、體積、傳動效率),基于改進的NSGA-II算法進行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計;最后,進行有限元分析和實驗驗證,以期為RV減速器的優(yōu)化設(shè)計提供參考。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題概述

在旋轉(zhuǎn)矢量(rotary vector,RV)減速器的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計過程中,需先確立優(yōu)化目標(biāo),建立目標(biāo)函數(shù),然后選擇合適的設(shè)計變量,設(shè)置約束條件。優(yōu)化目標(biāo)之間必然會相互影響。

RV減速器由兩級傳動機構(gòu)構(gòu)成,低速級為擺線輪針齒傳動機構(gòu),高速級為漸開線行星齒輪傳動機構(gòu)。其中:低速級部分是優(yōu)化設(shè)計過程中的關(guān)鍵。

擺線輪的齒廓曲線如圖1所示。

圖1 擺線輪的齒廓曲線

擺線輪的標(biāo)準(zhǔn)齒廓方程表示如下:

x=rrpsinθ-esinzpθ+rpcosβy=rrpcosθ-ecoszpθ+rpsinβ

(1)

式中:rrp為針齒半徑;e為偏心距;rp為針齒分布圓半徑;zp為針齒齒數(shù)。

擺線輪與針齒壓力角示意圖如圖2所示。

圖2 擺線輪與針齒壓力角示意圖

依據(jù)擺線輪與針齒的壓力角示意圖受力分析,可求得0號針齒在嚙合點A點處的壓力角α0(θ),計算公式表示如下:

(2)

擺線輪上各嚙合點的壓力角的平均值表示如下:

(3)

式中:αi為第i個針齒與擺線輪嚙合點的壓力角,傳動壓力角為銳角,即αi≤90°[5]。

1.1 壓力角與體積

最大接觸力Fmax計算公式[6]表示如下:

(4)

為加快計算速度,筆者將兩級減速傳動部分的體積作為判斷減速器體積的標(biāo)準(zhǔn),所以目標(biāo)函數(shù)中RV減速器的體積公式表示如下[8]：

(5)

式中:bj為漸開線齒輪的齒寬;bc為擺線輪的齒寬;m為漸開線齒輪模數(shù);z1為輸入齒輪的齒數(shù);z2為行星輪的齒數(shù)。

針齒半徑對體積及壓力角的影響如圖3所示。

圖3 針齒半徑對體積及壓力角的影響

其他參數(shù)條件不變時,針齒半徑與最大傳動壓力角成反比,最大傳動壓力角與體積成正比。

由最大傳動壓力角的加權(quán)變化規(guī)律,以及通過分析最大接觸力計算公式(4)與RV減速器體積V的計算公式(5),可以推導(dǎo)出最大傳動壓力角與RV減速器的體積互相干涉。

因此,單獨對壓力角參數(shù)進行優(yōu)化會導(dǎo)致減速器結(jié)構(gòu)不夠緊湊以及加工和安裝困難,優(yōu)化模型必須考慮減速器的體積。

1.2 體積與傳動效率

RV減速器的傳動效率會隨扭矩的增加而提高,增加扭矩可以改善RV減速器內(nèi)部的潤滑系統(tǒng)[9],但減小減速器體積會限制扭矩和傳動比大小,所以傳動效率需納入優(yōu)化模型中。

由克萊依聶斯公式[10]推導(dǎo)出RV減速器的傳動效率公式,表示如下:

(6)

ηn與ηM的計算公式表示如下:

(7)

(8)

式中:P1為傳遞功率;v為齒輪節(jié)圓的圓周速度;b為齒輪寬度;ut為潤滑油在工作溫度下的運動黏度。

1.3 傳動壓力角與擺線輪修形

根據(jù)前人研究結(jié)果,即“正等距+負(fù)移距”的組合修形為最佳的修形方案[11],所以筆者所做研究均以該方式進行修形方案的設(shè)計。

正等距修形是指在加工擺線輪時,將刀具磨輪的半徑增加一個距離Δrrp,即針齒半徑由原來的尺寸rrp增加到rrp+Δrrp。

負(fù)移距修形則是固定擺線輪的位置,將刀具磨輪向擺線輪中心遠離一個距離Δrp,即針齒的中心圓半徑由rp變?yōu)閞p-Δrp。

將修形參數(shù)代入式(1)中,即可得到擺線輪經(jīng)過正等距與負(fù)移距修形后的齒廓方程[12],表示如下:

(e-k1(rrp+Δrrp)S)cosiHθ

(9)

式中:iH為擺線輪和針齒的傳動比;S為擺線輪和針齒的綜合系數(shù)。

其中:S=(1+k12-2k1cosφ)1/2。

筆者利用MATLAB編程,得出不同修形量對于擺線輪傳動壓力角的影響規(guī)律。

等距修形量對傳動壓力角的影響規(guī)律如圖4所示。

圖4 等距修形量對傳動壓力角的影響規(guī)律

移距修形量對傳動壓力角的影響規(guī)律如圖5所示。

圖5 移距修形量對傳動壓力角的影響規(guī)律

根據(jù)優(yōu)化后的平均壓力角值可反選出更合適的等距修形量與移距修形量,以此優(yōu)化修形方案。

2 數(shù)學(xué)模型建立

2.1 改進的NSGA-II算法程序

筆者采用的改進NSGA-II算法基于非支配占優(yōu)排序遺傳學(xué)算法(non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅱ,NSGA-II)改進了交叉算子系數(shù)生成,且擁有更為合理的排擠機制,可根據(jù)自變量范圍矩陣隨機編碼生成種群,具有解集分布性好、時間復(fù)雜度低、收斂速度快等優(yōu)點[13]。

該算法改進之處在于:NSGA-II算法選擇用于計算個體擁擠度的參考點,是按各個目標(biāo)分別進行選擇。筆者采用多個目標(biāo)綜合選擇法,這樣使得擁擠度的計算與篩選更為準(zhǔn)確。

改進的NSGA-II流程圖如圖6所示。

圖6 改進的NSGA-II流程圖

2.2 約束與變量設(shè)置

對于約束的處理,筆者采用基于擁擠距離的非占優(yōu)排序法[14]。

先定義解的反約束量bi(x)表示如下:

(10)

然后,定義總約束量φ(x)表示如下:

(11)

式中:ci(x)為目標(biāo)函數(shù)。

模型中存在如齒輪模數(shù)、齒數(shù)等離散變量。計算過程中產(chǎn)生的子代會出現(xiàn)無定義的值,需要進行后處理。筆者對變量進行上下隨機取整后得到優(yōu)化圓整值。

整數(shù)處理方法表示如下:

(12)

對于非整數(shù),需要將所有可取值共同排序。例如模數(shù)值mi在2～2.5之間,則使結(jié)果在2、2.5這兩個處理結(jié)果取相同的概率。

處理方法表示如下:

(13)

2.3 設(shè)計變量

如前所述,筆者將整體優(yōu)化目標(biāo)相關(guān)的設(shè)計參數(shù)(變量)確定為針齒分布圓半徑rp、漸開線齒輪模數(shù)m、短幅系數(shù)k1、針齒半徑rrp、針徑系數(shù)k2、針齒齒數(shù)zp、輸入齒輪齒數(shù)z1、行星輪寬度bp、擺線輪寬度bc、偏心距e等。

設(shè)計變量矩陣表示如下:

(14)

式中:m為離散變量;zp,z1為整數(shù)變量;其余為連續(xù)變量。

2.4 多目標(biāo)函數(shù)建立

筆者根據(jù)式(1)～式(9)建立以RV減速器整機綜合性能為優(yōu)化目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)。

2.4.1 減速器的體積

減速器體積的目標(biāo)函數(shù)表示如下:

(15)

2.4.2 擺線輪平均傳動壓力角

擺線輪平均傳動壓力角的目標(biāo)函數(shù)表示如下:

(16)

2.4.3 減速器的傳動效率

筆者針對取輸出轉(zhuǎn)速為15 r/min條件下的最高傳動效率進行研究。

傳動效率的目標(biāo)函數(shù)表示如下:

(17)

2.5 約束條件設(shè)置

根據(jù)機械設(shè)計手冊,確定各約束條件的取值范圍[15]。約束條件主要為8個。

1)輸入齒輪的齒數(shù)

已知在標(biāo)準(zhǔn)齒輪的設(shè)計中,為避免根切現(xiàn)象而限制最低齒數(shù)為17,但若是齒輪材料滿足齒輪彎曲強度,即使齒數(shù)低于17也只會出現(xiàn)輕微的跟切現(xiàn)象;而且若使用成型法或變位加工法加工齒輪,根切現(xiàn)象也不會出現(xiàn)。所以為了獲得更緊湊的結(jié)構(gòu),優(yōu)化程序無需對輸入齒輪的齒數(shù)進行約束[16]。

2)短幅系數(shù)

短幅系數(shù)k1,取值范圍0.75～0.9,計算公式表示如下:

(18)

3)針齒系數(shù)

針齒系數(shù)k2,取值范圍1.0～1.6,計算公式表示如下:

(19)

4)針齒半徑

針齒半徑rrp必須小于最大曲率半徑ρ0,ρ0計算公式表示如下:

(20)

5)針齒中心圓直徑

針齒中心圓直徑dp的取值范圍為[144,164]mm。

6)擺線輪寬度

擺線輪寬度bc取值范圍為[0.1dp,0.2dp]mm。

7)擺線輪接觸強度

按擺線輪所用材料(GCr15),許用接觸強度σHP選1 300 MPa～1 500 MPa,擺線輪接觸強度σHt滿足條件如下:

(21)

8)徑向間隙

擺線輪修形產(chǎn)生的徑向間隙Δr,取值范圍為[0.01,0.1]mm。其計算方法表示如下:

Δr=Δrrp-Δrp

(22)

2.6 計算實例

2.6.1 多目標(biāo)優(yōu)化求解

此處以某公司220BX型RV減速器為例,筆者將該型號減速器參數(shù)初始數(shù)據(jù)輸入進行優(yōu)化[17-18]。

改進NSGA-II優(yōu)化迭代圖如圖7所示。

圖7 改進NSGA-II優(yōu)化迭代圖

圖7中:圓點表示迭代700次后的帕雷托最優(yōu)解集。可以看出,解集在整個搜索域范圍分布均勻,即各優(yōu)化目標(biāo)之間相互平衡制約,使結(jié)果不會偏向某一目標(biāo)。筆者在最優(yōu)解集中采用模糊集合理論[19]選出一組最優(yōu)解。

某公司220BX型RV減速器優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 某公司220BX型RV減速器優(yōu)化結(jié)果

由表1可知:與原始參數(shù)值相比,多目標(biāo)優(yōu)化后的減速器在其平均傳動壓力角、體積、傳動效率各參數(shù)上均有了一定程度的優(yōu)化,其中,平均壓力角減小了10.94%,體積減小了11.47%,傳動效率提高了4.9%。

以上結(jié)果表明,多目標(biāo)優(yōu)化模型具有可靠性,能夠綜合提升RV減速器的性能。

2.6.2 優(yōu)化模型的靜強度應(yīng)力分析

筆者利用SolidWorks建立RV減速器的3D模型,對模型進行簡化,再對簡化模型進行有限元分析,通過仿真計算校核模型的合理性[20]。

各零件材料參數(shù)如表2所示。

表2 各零件材料參數(shù)

整機模型如圖8所示。

圖8 整機模型

筆者對模型進行簡化,去除如倒角、輸出行星架等不影響計算結(jié)果的局部細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu),然后進行網(wǎng)格劃分。

網(wǎng)格劃分如圖9所示。

圖9 網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格類型為C3D8R,數(shù)量共計96 989個。筆者設(shè)置邊界條件為太陽輪與參考坐標(biāo)原點剛性耦合,針齒殼、行星架固定,施加784 N·m的轉(zhuǎn)矩,并約束漸開線行星輪和擺線輪的軸向位移;最后,對模型進行求解。

高速級傳動應(yīng)力分布如圖10所示。

圖10 高速級傳動應(yīng)力分布

由圖10可知,高速級傳動系統(tǒng)的最大應(yīng)力位于太陽輪與行星輪接觸處,最大應(yīng)力為182.5 MPa,未達到材料的屈服強度。

低速級傳動應(yīng)力分布如圖11所示。

圖11 低速級傳動應(yīng)力分布

由圖11可知,低速級傳動系統(tǒng)中應(yīng)力最大值在曲柄軸與擺線輪接觸處,其最大值為208 MPa。

以上特征均符合RV減速器的設(shè)計原理[21],說明上述優(yōu)化設(shè)計是合理的。

3 傳動效率對比實驗

為了驗證優(yōu)化設(shè)計的可行性,筆者針對實驗樣機進行傳動效率的對比實驗。

RV減速器的專用實驗平臺如圖12所示。

圖12 RV減速器傳動效率試驗臺

該實驗設(shè)備由驅(qū)動電機部分、2個扭矩轉(zhuǎn)速傳感器、溫度傳感器、實驗用RV減速器、磁力制動器和手動控制器6個部分組成。

實驗儀器主要參數(shù)如表3所示。

表3 實驗儀器主要參數(shù)

針對優(yōu)化后的擺線輪、針齒、輸入齒輪,筆者采用齒輪加工平臺以及其他設(shè)備進行加工。

齒輪加工平臺如圖13所示。

圖13 齒輪加工平臺

齒輪加工平臺工作溫度設(shè)置為25 ℃,輸入速度設(shè)置為5 r/min～15 r/min,扭矩設(shè)置為0 N·m～1 500 N·m,時長設(shè)為60 s,采集頻率為5 Hz。

傳動效率實驗數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 傳動效率實驗數(shù)據(jù)

從表4的數(shù)據(jù)中可以看出:通過樣機對比實驗測試得到的輸出轉(zhuǎn)矩為784 N·m時,220BX型RV減速器在優(yōu)化前的傳動效率均值為79.69%,優(yōu)化后的傳動效率均值為83.75%,基本符合預(yù)期結(jié)果。

由此可見,采用RV減速器參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型不僅可以優(yōu)化傳動壓力角,同時可以減小RV減速器體積,還可以有效提高減速器的傳動效率。

4 結(jié)束語

筆者采用改進的NSGA-II算法,運用公式法推導(dǎo)出了擺線輪平均傳動壓力角、體積及傳動效率之間的制約關(guān)系,并以此為目標(biāo)函數(shù),完成了RV減速器建模和優(yōu)化方案的設(shè)計任務(wù)(該優(yōu)化結(jié)果能夠在保證擺線輪平均傳動壓力角減小的同時,減小RV減速器的體積,并提高傳動效率,優(yōu)化修形方案);最后,進行了有限元分析和傳動效率對比實驗,驗證了多目標(biāo)優(yōu)化的有效性。

研究結(jié)果表明:

1)采用數(shù)學(xué)公式分析了RV減速器結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響因素,推導(dǎo)出了平均傳動壓力角、體積及傳動效率為一組優(yōu)化目標(biāo);以10個變量、3個目標(biāo)函數(shù)、8個約束條件建立了多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型;

2)采用改進的NSGA-II算法對目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化,通過ABAQUS有限元分析與傳動效率對比實驗,驗證了該模型可以用于有效優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

在后續(xù)研究中,筆者將以上述研究成果為參考,通過在優(yōu)化目標(biāo)中加入傳動誤差、嚙合回差等目標(biāo)函數(shù),以此來優(yōu)化設(shè)計參數(shù),并在多目標(biāo)優(yōu)化程序中加入相關(guān)的約束條件和變量以進行建模,從而進一步提升RV減速器的綜合性能。