金幣引發的思考

巫文慧 整理

《論擲骰子游戲中的計算》被認為是關于概率論的最早系統論著。這本書由荷蘭著名數學家克里斯蒂安·惠更斯于1657 年編著。它的來源，蘊藏著一個有趣的小故事。

17 世紀的歐洲，數學界人才濟濟。法國貴族德·美爾向數學家帕斯卡請教一個自己遇到的“分金幣”問題。德·美爾和一位朋友各押注32 枚金幣，玩投擲骰子的游戲。規則如下：若德·美爾先擲出三次“6 點”，或這位朋友先擲出三次“4 點”，則判定為贏了對方。誰料，游戲開始一半，正當德·美爾擲出兩次“6 點”，朋友擲出一次“4 點”時，德·美爾接到國王的緊急命令，游戲不得不終止。那么此時，64 枚金幣應該如何分呢？如果平分，顯然不公平，德·美爾只需要再擲出一次“6 點”就可以贏得所有金幣；但如果就此判定德·美爾贏，也不公平，朋友也是有機會贏的。帕斯卡對這個問題非常感興趣，為此，他苦思冥想了三年之久。

就在有了一點頭緒的時候，帕斯卡通過書信的方式，把自己的想法分享給了好朋友，數學界的怪才——費馬。費馬把原來游戲中擲出“6 點”或“4 點”的問題，簡化成拋硬幣的問題。假設游戲沒有中斷，可以分別算出兩人贏得游戲的概率。就這樣，兩位摯友一同做試驗，并仔細分析試驗過程中出現的各種計算問題，最終完整地解決了“分金幣”的問題。帕斯卡更是將此題的方法進一步推廣，更加一般化，建立了“數學期望”這一概率論的重要概念。這是描述隨機變量取值的平均水平的一個量。數學家惠更斯在帕斯卡和費馬研究的理論基礎之上，解決了擲骰子中的一些數學問題。同時，惠更斯將自己的研究成果編寫成了《論擲骰子游戲中的計算》一書。但為了紀念早期概率論真正的創立者帕斯卡和費馬，人們仍然將概率論的誕生日，定為兩位數學家通信的那一天——1654年7月29日。